Построения в пространстве

1. Построения в пространстве.

геометрия 10

2. Две плоскости, имеющие одну общую точку (общую прямую) по А3

β
α
а
α
β
=а

3. Три плоскости, имеющие две общие точки (т.е. общую прямую)

γ
а
β
α
α
β
γ =а

4. Три плоскости, имеющие одну общую точку.

γ
β
О
α
α
β
γ =О

5. Три попарно пересекающиеся прямые

I случай
II случай
Не лежат в одной плоскости
Лежат в одной плоскости

6. Плоскость α пересекается с плоскостью β, плоскость β пересекается с плоскостью γ. Плоскости α и γ не имеют общих точек.

α
β
γ

7. Треугольник АВС и четырехугольник АСОР не лежат в одной плоскости.

В
С
А
β
О
Р
α

8. Стороны треугольника АВС АВ и ВС пересекают плоскость α в точках Р и Н соответственно.

В
Р
Н
α
А
(АВС) ∩ α = РН
С

9. Вершина В треугольника АВС не лежит в плоскости α, а прямая АС лежит в α.

В
А
α
(АВС) ∩ α = АС
С

10. Прямая а параллельна стороне АВ треугольника АВС и не лежит в плоскости треугольника.

а
В
А
α
С

11. Признак скрещивающихся прямых

а
b
О
b α
а α=О
α
О b
а
b

12. Признак параллельности прямой и плоскости.

а
b
a║b
b α
α
a║α

13. Скрещивающиеся прямые. Доказательство через признак.

В1
С1
Дано:
АВСDA1B1C1D1 – куб.
А1
D1
Доказать:
А1В1
В
СС1
С
Доказательство:
А
D
А1В1 (А1В1С1)
СС1
(А1В1С1) = С1
С1 А1В1
А1В1
СС1

14. Скрещивающиеся прямые. Доказательство от противного.

В1
С1
Дано:
АВСDA1B1C1D1 – куб.
А1
D1
Доказать:
А1В1
В
С
СD1
Доказательство:
1. А1В1 ║ С1D1
А
D
А1В1 ║ (CC1D1)
С1D1 (CC1D1)
2. СD1 (CC1D1), значит
СD1 ║ А1В1 или СD1 А1В1
3. Предположим, что СD1 ║ А1В1. C1D1 CD1 = D1. Значит, через точку D1
поведены две прямые, параллельные прямой А1В1. Это противоречит аксиоме о
параллельных, следовательно СD1
А1В1