Преобразование выражения Asinx+Bcosx к виду Csin(x+t)

1.

Струкова Наталья Федоровна,
учитель математики и информатики
высшей квалификационной категории.
МБОУ «СОШ № 13»,
г. Златоуст, Челябинская обл.

2.

Задача 1
• Преобразуем выражение Asinx+Bcosx
• Пусть С2=A2+B2 , тогда C
A2 B 2
A B2 C
A
B
A B
2 1
1, т.к. 2 2
2
C
C
C
C
C C
2
2
2
2
2
Зная, что sin2a + cos2a = 1, имеем:
A
B
cos t , sin t
C
C
2

3.

Задача 1
• Учитывая это имеем:
A
B
A sin x B cos x C ( sin x cos x)
C
C
C (cos t sin x sin t cos x) C sin( x t )
Итак, Asinx+Bcosx=Csin(x+t), где C A 2 B 2
t= arcsinB/C

4.

Пример 1
Решить уравнение:
Решение:
3sinx+4cosx=5
Имеем,3sin x 4 cos x 5
3
4
5( sin x cos x) 5sin( x t ) 5
5
5
C 3 4 5
2
2
Решим уравнение 5sin(x+t)=5
sin(x+t)=1
x t
Ответ:
x
2
2
2 k
t 2 k
4
, где t=arcsin
5

5.

Пример 2.
Преобразуем
выражение 5sinx-12cosx
.
C 25 144 13
Имеем, ,5 sin x 12 cos x
5
12
13( sin x cos x) 13 sin( x t )
13
13
12
t arcsin
13