Площадь треугольника, теорема синусов, теорема косинусов

1. Решение задач по темам: «Площадь треугольника», «теорема синусов», «Теорема косинусов».

Геометрия
9 класс
Корельская Галина Юрьевна
Романенко Елена Леонидовна
МБОУ СОШ № 33 г. Архангельск

2.

«Расскажи мне, и я забуду,
покажи мне, и я запомню,
дай мне сделать самому,
и я пойму.»
О. Хайям.

3.

Площадь треугольника
B
c
A
Площадь треугольника
равна половине
произведения его двух
сторон на синус угла
между ними.
a
b
С
1
S c b sin A
2

4.

Теорема синусов
B
c
A
Стороны треугольника
пропорциональны
синусам
противолежащих углов
a
b
С
a
b
c
2R
sin A sin B sin C

5.

Теорема косинусов
B
c
A
a
b
С
Квадрат стороны
треугольника равен
сумме квадратов двух
других его сторон без
удвоенного произведения
этих сторон на косинус
угла между ними.
a b c 2bc cos A
2
2
2

6.

Задачи
1) Дано: ABC
AB BC 6 см
B 30o
Найдите: S ?
2 ) Дано:
ABC
AB 4 6 см
BC 6 3 см
С 45o
Найдите: sin A?
3) Дано: ABC
AB 5 см
BC 8 см
B 120 o
Найдите: AC ?

7.

1
1) S AB BC sin B
2
1
o
S 6 6 sin 30
2
2
см
S 9
Ответ: 9 см 2
AB
BC
2)
sin C sin A
6 3 sin 45o
sin A
4 6
3
sin A
4
Ответ: 0,75
3) AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
1
2
AC 25 64 2 5 8
2
AC 129 см
Ответ: 129 см

8.

В треугольнике АВС
угол А равен 60 o
Сторона AB 2 см , а сторона BC 3 см
Составить план решения задачи для
нахождения: площади треугольника;
градусной меры B ;
B
длины стороны АС .
3
2
A
b
С

9.

План решения:
AB
BC
1) Найти угол С по теореме синусов:
sin C sin A
2 ) Найти B по теореме о сумме углов треугольника:
B 180o ( A C )
3) Найти сторону АС по теореме косинусов:
AC AB BC 2 AB BC cos B
2
2
или по теореме синусов:
4)
S ABC
2
AB
АC
sin C sin В
1
o
AB BC sin 60
2

10.

В треугольнике ABC a = 28, b = 35, c = 42.
Найдите косинус угла, лежащего против
меньшей стороны треугольника.
По теореме косинусов
a b c 2bc cos
b2 c2 a 2
cos
2bc
2
а
b
α
с
2
2

11.

1225 1764 784
cos
2 35 42
2205
cos
2940
3
cos
4
Ответ : 0,75

12.

В ABC AA1 и СС1 - медианы. Они пересекаются
в точке О.
AA1 9 см, СС1 12 см, AOC 120o.
Найдите площадь треугольника.

13.

Дано: ABC
AA1 и СС1 - медианы
AA1 СС1 в точке O
C1
o
120
AA1 9см;
AOC
B
СС1 12см;
60
A
O
A1
120
C
Найдите: площадь ABC ?

14.

Решение задачи:
AO 2
1)
;
A1O 1
AO
2
;
AA1 AO 1
AO 2 AA1 2 AO;
3 AO 2 9;
AO 6 см.

15.

СO 2
2)
;
С1O 1
СO
2
;
СС1 СO 1
СO 2СС1 2СO;
3СO 2 12;
СO 8 см.

16.

3) AOC По теореме косинусов
2
2
2
o
AС AO CO 2 AO CO cos120 ;
1
1
2
o
AС 36 64 2 6 8 ; cos120 ;
2
2
2
AС 148;
AС 148;
AС 4 37 ;
AС 2 37 см.

17.

4) AOС1
OС1 4 см;
По теореме косинусов
AС1 AO OC 2 AO OC1 cos 60 ;
2
2
2
1
o
AС1 36 16 2 6 4 cos 60 ;
1
2
AС1 52 2 6 4 ; AС12 28;
2
AС1 2 7 см;
AB 4 7 см.
AB 2 AC1;
2
o

18.

5) СOA1
OA1 3 см;
По теореме косинусов
A1C A1O OC 2OA1 OC cos 60 ;
1
2
A1С 9 64 2 3 8 ;
2
2
A1С 49;
A1С 7 см;
BC 2 A1C; BC 14 см;
2
2
2
o

19.

6) ABC По теореме косинусов
2
2
2
AС AB BС 2 AB BC cos B;
2
2
2
AB BС AС
cos B
;
2 AB BC
10
112 196 148
;
cos B
; cos B
7 7
2
4
7
14
2
2
sin B cos B 1;
sin B 1 cos B ;
2
100 sin B 9 21 ;
sin B 1
;
49
49 7

20.

1
7) S AB BC sin B;
2
1
9 21
S 4 7 14
;
2
49
S 36 3
Ответ: 36 3
см 2 .
см .
2

21. Задачи для закрепления материала.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕРИАЛА.
1.
2.
Найдите площадь треугольника и его сторону
лежащую против угла в 135o, если две другие
стороны равны 2 2 см, и 3 см,
В ABC, AA1 и CC1 – медианы, они
пересекаются в точке О, AA1 4,5, CC1 6.
Площадь треугольника ABC равна 9 см.
Найдите: AOC.

22.

Ответы:
1)
S 3см ,
2
29 см,
2)
o
30 или 150
o

23.

Правильный путь таков:
усвой то , что сделали твои
предшественники
и иди дальше.
Л.Н.Толстой.

24. Домашние задания

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
1.
2.
Стороны треугольника 3 см, 5 см и 7 см.
Найдите наибольший угол треугольника.
Диагонали параллелограмма равны 6 см и
o
10 см, а угол между ними 45. Найдите
площадь параллелограмма.

25. МОЛОДЦЫ!

Спасибо за работу!!!
Удачи в изучении геометрии!
Литература : Б.Г.Зив « Дидактические материалы
по геометрии».