Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB

1. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Дискретные сигналы.
Z-преобразование
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

1) Z-преобразование связано с преобразованием Лапласа:
Интегральное преобразование Лапласа
X ( p) x(t ) e pt dt
0
x(t ) непрерывная функция времени (функция-оригинал)
X ( p) изображение функции x(t ) по Лапласу
p оператор Лапласа (комплексная частота)
p j
2) Преобразование Лапласа справедливо в области абсолютной
сходимости несобственного интеграла.
2

3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Дискретное преобразование Лапласа
t nT
X (e
pT
)
x(nT ) e pnT
n 0
Z-преобразование
z e pT
X ( z)
x(nT ) z n
n 0
x(nT ) функция дискретного времени
X ( z ) z -изображение функции x (nT )
3

4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА (1)

Z-преобразование справедливо в области абсолютной сходимости
ряда
| x(nT ) z n |
n 0
Свойства Z-преобразования
1) Линейность
x(n) a1 x1 (n) a2 x2 (n) ...
X ( z ) a1 X1 ( z ) a2 X 2 ( z ) ...
2) Теорема о задержке
x(n) X ( z )
x ( n m) X ( z ) z m
4

5. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА (2). ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

3) Теорема о свертке
x ( n)
m 0
x1 (m) x2 (n m) X ( z ) X 1 ( z ) X 2 ( z )
Обратное Z-преобразование
x ( n)
1
X ( z ) z n 1dz
2 j C
C замкнутый контур на комплексной z-плоскости,
охватывающий начало координат и особые точки функции X ( z )
Если X(z) – дробно-рациональная функция, ее особыми точками
являются полюсы.
5

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОГО Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (1)

1) Теорема Коши о вычетах
x ( n)
K
Resαk X ( z ) z n 1
k 1
α k k -й полюс
Resα k вычет в k -м полюсе
Resαk X ( z ) z n 1 lim ( z αk ) X ( z ) z n 1
z αk
Пример
X ( z)
1
1 a1 z 1
x(n) a1n
6

7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОГО Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (2). СВЯЗЬ КОМПЛЕКСНЫХ P И Z-ПЛОСКОСТЕЙ (1)

2) Разложение на простые дроби дробно-рациональной функции X(z)
M 1
X ( z)
1
k 1 1 k z
x ( n)
M 1
k 1
Ak
Ak k n
3) Использование таблицы соответствий
Связь комплексных p и z-плоскостей
z e pT
e( j )T
e T e j T e T e j
7

8. СВЯЗЬ КОМПЛЕКСНЫХ P И Z-ПЛОСКОСТЕЙ (2)

8
Формы представления переменной z
1) алгебраическая
z j
2) показательная
z re j
Сравнение форм представления переменной z
r e T
Смысл нормированной частоты – угол на комплексной z-плоскости,
измеряемый в радианах.

9. ПРИМЕРЫ (1)

9
ПРИМЕРЫ (1)
1) Начало координат p-плоскости: p=0; σ = 0; ω=0;
z e pT e T e j 1e j 0 1
jω
p
0
j Im
z
σ
0
1
Re

10. ПРИМЕРЫ (2)

10
ПРИМЕРЫ (2)
2) Точки на оси ординат p-плоскости
p j
T
z
0;
T
j T
e pT e T e j T 1e T
jω
π
j
T
π
j
T
j Im
p
σ
0
1e j 1
1
z
0
Re

11. ПРИМЕРЫ (3)

11
ПРИМЕРЫ (3)
3) Отрезок на оси частот p-плоскости
z e pT
j p j
0;
T
T
T
T
T j T
j
e e
1e ; единичная окружность
(один оборот)
jω
p
j Im
j
π
T
z
j
σ
0
π
j
T
Re
1
0
j
1

12. ПРИМЕРЫ (4)

12
ПРИМЕРЫ (4)
4) Ось частот p-плоскости
j p j
0;
z e pT e T e j T 1e j ; единичная окружность
(бесконечное число оборотов)
jω
p
5π / T
j Im
3π / T
j
π /T
- π /T
- 3π / T
- 5π / T
z
σ
0
Re
1
0
j
1

13. ПРИМЕРЫ (5)

13
ПРИМЕРЫ (5)
5) Левая p-полуплоскость
j p j
0;
z e pT e T e j T re j ; r 1; единичный круг
jω
jη
p
πT
j
σ
0
-π T
z
ξ
1
0
j
1

14. ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЙ

U
a1(0n ( )z r
) 22 (r*
1,
1ncos
h
asin
)1nn *(n10; 1)
a
uhH02((nzn))) * r
11
2
1 0,aaz1nzsin
0 a 2 z
ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЙ
14

15. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Дискретные сигналы.
Z-преобразование
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)