Проецирование плоскости. Лекция 3

1. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ

Горячкина А.Ю.

2.

Плоскость – неопределяемое понятие геометрии
Классификация плоскостей
Плоскости
Общего положения
Частного положения
Уровня
Проецирующие
Плоскость общего положения – не параллельна и не перпендикулярна ни
одной из плоскостей проекций.
Плоскость частного положения – параллельна или перпендикулярна к
плоскостям проекций:
плоскость уровня – плоскость, параллельная плоскости проекций;
проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная плоскости проекций.

3.

ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Способы задания плоскости на чертеже
Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость в пространстве
В"
B"
B"
C"
А"
C"
A"
B"
C"
А"
A"
C"
x
B'
В'
А'
B'
B'
A'
C'
А'
C'
Рис. 3.1
C'
A'
C'

4.

Задание плоскости следами
Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается
с плоскостями проекций.
- горизонтальный след плоскости («нулевая горизонталь» плоскости) h0α
- фронтальный след плоскости («нулевая фронталь» плоскости) f0α
- профильный след плоскости («нулевая профильная прямая»)
p0α
xα , yα , zα - точки схода следов
z
Zα
f0α
x
p0α
Xα
0
Yα
h0α
Рис. 3.2
Yα
y
Рис. 3.3
y

5.

Задание плоскости следами
f0α≡ f0α"
1"
x
Xα
f0α'
1'
2"
h0α"
2'
h0α ≡ h0α'
Рис. 3.2

6.

ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ
Признаки принадлежности:
Теорема. Если точка принадлежит плоскости, то проекции точки принадлежат
одноименным проекциям прямой, лежащей в этой плоскости
A
α < = > A'
lα' ᴧ A''
lα''
Теорема. Если прямая принадлежит плоскости, то проекции хотя бы двух ее точек
принадлежат одноименным проекциям прямых, лежащих в этой плоскости
l"
a"
Построение неизвестной проекции точки,
принадлежащей плоскости α
1"
B"
Алгоритм решения:
b"
1. Провести через заданную проекцию точки
2"
A"
одноименную проекцию вспомогательной
прямой l , принадлежащей данной плоскости.
x
2. Построить вторую проекцию вспомогательной
b'
прямой l .
2'
3. Найти недостающую проекцию точки на
A'
B'
основании признаков принадлежности
l'
1'
a'
Рис. 3.4

7.

Следствие. Если прямая принадлежит плоскости, то следы прямой принадлежат
одноименным следам плоскости.
Fa ≡Fa''
f0α
a"
x
Xα
Ha''
Fa'
a'
Ha ≡ Ha'
Рис. 3.5
Рис. 3.6
h0α

8.

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
1. Линии уровня плоскости – прямые, принадлежащие плоскости и
параллельные какой-либо плоскости проекций:
hα
– горизонталь плоскости
α
hα ║ π1
h'' ║ x
h' ║ h0α
f0α
b"
a"
h"
Fh ≡Fh''
Xα
1"
2" h"
Fh'
a'
h'
b'
1'
h'
2'
h0α
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Рис. 3.9

9.

fα – фронталь плоскости α
fα ║ π2
f ' ║ 0x , f '' ║ f0α
A"
f0α
f"
1"
b"
2"
a"
Xα
Hf "
f'
A'
f'
Hf ≡ Hf '
h0α
Рис. 3.10
f"
Рис. 3.11
a'
1'
2'
Рис. 3.12
b'

10.

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
2. Линии наибольшего наклона (ЛНН) плоскости к плоскостям проекций –
прямые, принадлежащие плоскости и образующие с соответствующей
плоскостью проекций наибольший угол:
- линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной плоскости
проекций (линия ската)
перпендикулярна к горизонтали плоскости α
a ┴ hα
- линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости
проекций перпендикулярна к фронтали плоскости α
b ┴ fα
Линии наибольшего наклона используются для определения двугранных углов
между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций
ПРАВИЛО определения угла наклона заданной плоскости к плоскости проекций
1. Провести линию наибольшего наклона (ЛНН)
перпендикулярно к одноименной линии уровня
плоскости.
2. Определить угол наклона построенной ЛНН к
выбранной плоскости проекций (см. правило
определения длины отрезка прямой).
3. Построенный угол для ЛНН равен углу наклона
самой данной плоскости к выбранной плоскости
проекций.

11.

Линия наибольшего наклона плоскости α
к плоскости π1
f0α
Fa"
a"
x
Xα
Ha "
Fa'
a'
Ha '
Рис. 3.14
h0α
линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной
плоскости проекций
(линия ската) перпендикулярна
к
горизонтали плоскости α
a ┴ hα (h0α )

12.

Линия наибольшего наклона плоскости α
к плоскости π2
f0α
Fb"
b"
x
Xα
Fb'
Hb "
b'
Hb '
Рис. 3.14
h0α
линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости
проекций перпендикулярна к фронтали плоскости α b ┴ fα (f0α )

13.

Построение ЛНН плоскости α к плоскостям проекций
A"
f"
3"
6"
1"
b"
c"
2"
5"
h"
d"
a"
4"
x
A'
5'
f'
6'
3'
2'
4'
a'
b'
h'
d'
1'
c'
Рис. 3.15

14.

Плоскости частного положения
Проецирующие плоскости
Горизонтально-проецирующая
плоскость
горизонтальной плоскости проекций
–
перпендикулярна
α ┴ π1
f0α
A"
x
Xα
β
A'
Рис. 3.17
Рис. 3.16
f0α ┴ x
β = α^π2
A' , a' , Ф'
h0α
h0α
к

15.

Фронтально-проецирующая
плоскость
фронтальной плоскости проекций
–
перпендикулярна
α ┴ π2
f0α
A"
α
x
Xα
h0α
Рис. 3.18
h0α ┴ x
α = α^π1
A'
Рис. 3.19
A'' , a'' , Ф''
f0α
к

16.

Профильно-проецирующая плоскость – перпендикулярна к профильной
плоскости проекций
α ┴ π3
z
f0α
β
A"'
A"
α
x
p0α
y
0
A'
h0α
y
Рис. 3.20
h0α || x , f0α || x , α = α^π1 , β = α^π2 ,
Рис. 3.21
A''' , a''' , Ф'''
Горячкина А.Ю.
p0α

17.

Плоскости частного положения
Плоскости уровня
Горизонтальная плоскость – параллельна горизонтальной плоскости
проекций
α ║ π1
z
f0α A"
B"
C"
B"' A"' C"'
p0α
yA
x
y
yA
B'
0
A'
C'
y
Рис. 3.22
f0α || x
Рис. 3.23
p0α || x
A'B'C' = ABC

18.

Фронтальная плоскость – параллельна фронтальной плоскости
проекций
α ║ π2
z
B"
p0α
B"'
A"
A"'
C"'
C"
x
y
0
h0α
A'
B'
C'
y
Рис. 3.24
Рис. 3.25
h0α ┴ y
p0α ┴ y
A''B''C'' = ABC

19.

Профильная плоскость – параллельна профильной плоскости
проекций
α ║ π3
z
f0α
yA
A"'
A"
C"
C"'
B"'
B"
x
y
0
C'
yA
A'
B'
h0α
Рис. 3.26
h0α ┴ x ,
f0α ┴ x ,
y
Рис. 3.27
A'''B'''C''' = ABC