Тема. Приближение сплайнами
Приближение сплайнами
Приближение сплайнами
Приближение сплайнами
Линейные сплайны
Параболические сплайны
Параболические сплайны
Кубические сплайны
Кубические сплайны
Кубические сплайны
Кубические сплайны
Кубические сплайны
Кубические сплайны
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
1.27M
Category: mathematicsmathematics

Приближение сплайнами

1. Тема. Приближение сплайнами

yi+1
Линейный
сплайн
yi
Кубический
сплайн
Параболический
сплайн
xi
xi+1

2. Приближение сплайнами

y
yi
Sn–1(x)
S1(x)
S0(x)
xi
x

3. Приближение сплайнами

Постановка задачи.
Сетка (табличные значения функции):
{xi}: i = 0, 1, …, n
{yi}: yi = f (xi)
Количество узлов – n + 1. Количество
сплайнов – n: S0(x), S1(x), …, Sn–1(x). Для
Si(x) область действия x [xi, xi+1].

4. Приближение сплайнами

Постановка задачи.
m
Si x c ji ji x , ji x x xi
j
j 0
m
Si x c ji x xi , i 0,1,..., n 1, m 1, 2,3
j
j 0
ai = c0i, bi = c1i, ci = c2i, di = c3i
При m > 1 требуются граничные условия.

5. Линейные сплайны

m = 1:
Si x ai bi x xi , i 0,1,..., n 1
Si xi 1 Si 1 xi 1 , i 0,1,..., n 2
yi
ai yi , bi
xi
Здесь ∆xi = xi+1 – xi, ∆yi = yi+1 – yi.

6. Параболические сплайны

m = 2:
Si x ai bi x xi ci x xi , i 0,1,..., n 1
2
Si xi 1 Si 1 xi 1 ,
Si xi 1 Si 1 xi 1 , i 0,1,..., n 2
Граничные условия:
1. A0 = f (x0);
2. An = f (xn).

7. Параболические сплайны

bi 1 bi
ai yi , ci
.
2 xi
Если A0 = f (x0), то
2 yi
b0 A0 , bi 1
bi , i 0,1,..., n 2.
xi
Если An = f (xn), то
2 yi
bn An , bi
bi 1 , i n 1, n 2,..., 0.
xi

8. Кубические сплайны

m = 3:
Si x ai bi x xi ci x xi di x xi , i 0,1,..., n 1
2
3
Si xi 1 Si 1 xi 1 , Si xi 1 Si 1 xi 1 ,
Si xi 1 Si 1 xi 1 , i 0,1,..., n 2
Граничные условия:
1. A0 = f (x0), An = f (xn);
2. B0 = f (x0), Bn = f (xn).

9. Кубические сплайны

ai yi ,
yi xi
bi
2M i M i 1 ,
xi
6
1
ci M i ,
2
M i 1 M i
di
, i 0,1,..., n 1.
6 xi

10. Кубические сплайны

Если A0 = f (x0), An = f (xn), то
b0 = A0, bn = An
AM g
x0
xn 1
a00 3 ; ann 3 ;
1
A a jj x j 1 x j , j 1, 2,..., n 1;
3
1
a j , j 1 a j 1, j 6 x j , j 0,1,..., n 1

11. Кубические сплайны

Если A0 = f (x0), An = f (xn), то
b0 = A0, bn = An
AM g
y0
yn 1
g 0 x A0 ; g n An x ;
0
n 1
g
g yi yi 1 , i 1, 2,..., n 1
i xi xi 1
M = (M0, M1, M2, …, Mn)

12. Кубические сплайны

Если B0 = f (x0), Bn = f (xn), то
M0 = B0, Mn = Bn
AM g
M = (M1, M2, …, Mn–1)
1
a jj a jj 3 x j 1 x j , j 1, 2,..., n 1;
A
1
a
x j , j 1, 2,..., n 2
j , j 1 a j 1, j a j , j 1 a j 1, j
6

13. Кубические сплайны

Если B0 = f (x0), Bn = f (xn), то
M0 = B0, Mn = Bn
AM g
yi yi 1
gi gi 1 n 1
1 n 1 , i 1, 2,..., n 1,
xi xi 1
x0
xn 1
B0 , i 1
Bn , i n 1
1 6
; n 1 6
0, i 1
0, i n 1

14. Примеры

Параболический сплайн.
f x x
i
x
y
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
Результирующая сетка: {4/9, 9/4, 25/4}
Граничные условия: f x
1
1
A0 1, A3
6
2 x
Далее строим сплайны S0(x), S1(x), S2(x).

15. Примеры

i
x
y
1
x0 1
4
1
y0 1
2
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
3
; x1 4 1 3; x2 9 4 5;
4
1
; y1 2 1 1; y2 3 2 1
2
2 y0
2 y1
2 1 2
1
b0 1, b1
b0
1 , b2
b1
x0
34
3
x1
2 y2
2 1 1 1
2 1 1 1
, b3
b2
3 3 3
x2
5 3 15

16. Примеры

i
x
y
1
x0 1
4
1
y0 1
2
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
3
; x1 4 1 3; x2 9 4 5;
4
1
; y1 2 1 1; y2 3 2 1
2
b1 b0 1 3 1
b2 b1
4
c0
, c1
0,
2 x0 2 3 4
9
2 x1
b3 b2 1 15 1 3
2
c2
2 x2
2 5
75

17. Примеры

i
x
y
a
b
c
0
1/4
1/2
1/2
1
–4/9
1
1
1
1
1/3
0
2
3
4
9
2
3
2
3
1/3 1/15
–2/75
2
1
1 4
1
1
S0 x 1 x x , x ,1
2
4 9
4
4
1
2
S1 x 1 x 1 0 x 1 , x 1, 4
3
1
2
2
S 2 x 2 x 4 x 4 , x 4,9
3
75

18. Примеры

2
494
4 1 4 1 4 4 1
S0
0.678
729
9 2 9 4 9 9 4
1 9 17
9
S1 1 1
1.417
3 4 12
4
2
1 25
523
25
2 25
S2 2 4 4
2.615
3 4
200
4
75 4

19. Примеры

i
x
y
1
x0 1
4
1
y0 1
2
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
3
; x1 4 1 3; x2 9 4 5;
4
1
; y1 2 1 1; y2 3 2 1
2
2 y2
2 y1
1
2 1 1 7
b3 , b2
b3
, b1
b2
6
x2
5 6 30
x1
2 y0
2 1 7 13
2 1 2 13 9
, b0
b1
3 30 30
x0
3 4 30 10

20. Примеры

i
x
y
1
x0 1
4
1
y0 1
2
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
3
; x1 4 1 3; x2 9 4 5;
4
1
; y1 2 1 1; y2 3 2 1
2
b1 b0 13 30 9 10
b2 b1 7 39 13 30
14
c0
, c1
2 x0
2 3 4
45
2 x1
2 3
b3 b2 1 6 7 30
1
1
, c2
30
2 x2
2 5
150

21. Примеры

i
x
y
a
b
c
0
1
2
1/4
1
4
1/2
1
2
1/2
1
2
9/10 13/30 7/30
–14/45 –1/30 –1/150
3
9
3
3
1/6
2
1 9
1 14
1
1
S0 x x x , x ,1
2 10
4 45
4
4
13
1
2
S1 x 1 x 1 x 1 , x 1, 4
30
30
7
1
2
S2 x 2 x 4
x 4 , x 4,9
30
150

22. Примеры

2
967
4 1 9 4 1 14 4 1
S0
0.663
9 2 10 9 4 45 9 4 1458
2
13 9 1 9 143
9
S1 1 1 1
1.49
30 4 30 4
96
4
2
7 25
25
1 25
1993
2.491
2
2 4
4
30 4
800
4
150 4

23. Примеры

Точность интерполяции:
x
P(x)
L(x)
f (x)
δ
1/4
9/4
25/4
0.293
1.699
2.012
0.293
1.699
2.012
0.5
1.5
2.5
41.4%
13.3%
19.5%
x
4/9
S(x)
0.678
S(x)
0.663
f (x)
2/3
δ
0.6-1.7%
9/4
1.417
1.490
1.5
0.6-5.5%
25/4
2.615
2.491
2.5
0.4-4.6%

24. Примеры

Точность интерполяции:

25. Примеры

Кубический сплайн.
f x x
i
x
y
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
Результирующая сетка: {4/9, 9/4, 25/4}
1
1
B0 2, B3
Гранич. условия: f x
3
108
4 x
Далее строим сплайны S0(x), S1(x), S2(x).

26. Примеры

i
x
y
1
x0 1
4
1
y0 1
2
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
3
; x1 4 1 3; x2 9 4 5;
4
1
; y1 2 1 1; y2 3 2 1
2
1
5
1
1
1 3
3
x1
3 4 3
3 x0 x1
6
6
4
A
1
1
1
1
1
x1
x1 x2 3
3 5
6
3
6
3
2
1
2
8
3

27. Примеры

i
x
y
1
x0 1
4
1
y0 1
2
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
3
; x1 4 1 3; x2 9 4 5;
4
1
; y1 2 1 1; y2 3 2 1
2
y1 y0 x0
1 1 2 3 4
1
2
M
0
3 3 4 6
x x
0.0833
6
12
1
0
g
y2 y1 x2
1 1 5 1 407 0.1256
x x 6 M 3
3240
1
2
5 3 6 108

28. Примеры

5
4
1
2
1
2 M 1 0.0833
8 M 2 0.1256
3
1033
299
M1
0.0517; M 2
0.0374
19980
7992

29. Примеры

1033
299
1
M 0 2; M1
; M2
; M3
19980
7992
108
y0 x0
1 2 3 4
1033
b0
2 M 0 M 1 2 2
x0
6
34 6
19980
y1 x1
187513
1.1731; b1
2M1 M 2
159840
x1
6
1 3 1033 299 32267
2
0.4037; b2
3 6 19980 7992 79920
y2 x2
1 5 299 1 1349
0.2701
2M 2 M 3 2
x2
6
5 6 7992 108 4995

30. Примеры

1033
299
1
M 0 2; M1
; M2
; M3
19980
7992
108
1
1
c0 M 0 2 1;
2
2
1
1 1033
1033
c1 M 1
0.0259;
2
2 19980
39960
1
1 299
299
c2 M 2
0.0187
2
2 7992
15984

31. Примеры

1033
299
1
M 0 2; M1
; M2
; M3
19980
7992
108
1033
2
M1 M 0
38927
19980
d0
0.4330;
6 x0
6 3 4
89910
299 1033
M 2 M1
571
7992
19980
d1
0.0008;
6 x1
6 3
719280
1
299
M3 M2
5
108
7992
d2
0.0009
6 x2
6 5
5328

32. Примеры

i
x
y
a
b
c
d
0
1/4
1/2
1/2
1.1731
–1
0.4330
1
2
1
4
1
2
1
2
0.4037 0.2701
–0.0259 –0.0187
–0.0008 0.0009
2
3
9
3
3
2
1
1
1
1
1
S0 x 1.1731 x 1 x 0.4330 x , x ,1
2
4
4
4
4
S1 x 1 0.4037 x 1 0.0259 x 1 0.0008 x 1 , x 1, 4
2
3
S 2 x 2 0.2701 x 4 0.0187 x 4 0.0009 x 4 , x 4,9
2
3

33. Примеры

2
2
4 1
4 1
4 1
4 1
S0 1.1731 1 0.4330
9 2
9 4
9 4
9 4
0.6935
2
3
9
9
9
9
S1 1 0.2701 1 0.0259 1 0.0008 1
4
4
4
4
1.4658
2
3
25
25
25
25
S 2 2 0.3176 4 0.0187 4 0.0009 4
4
4
4
4
2.5236

34. Примеры

Точность интерполяции:
x
P(x)
L(x)
f (x)
δ
1/4
9/4
25/4
0.293
1.699
2.012
0.293
1.699
2.012
0.5
1.5
2.5
41.4%
13.3%
19.5%
x
4/9
S(x)
0.678
S(x)
0.663
S(x)
0.694
f (x)
2/3
δ2
0.6-1.7%
δ3
4.10%
9/4
1.417
1.490
1.466
1.5
0.6-5.5%
2.27%
25/4
2.615
2.491
2.524
2.5
0.4-4.6%
0.96%

35. Примеры

Точность интерполяции:

36. Примеры

Кубический сплайн.
f x x
i
x
y
0
1/4
1/2
1
1
1
2
4
2
3
9
3
Результирующая сетка: {4/9, 9/4, 25/4}
Гранич. условия:
1
1
f x
A0 1, A3
6
2 x
Далее строим сплайны S0(x), S1(x), S2(x).

37.

1
1
x0
0
3 x0
6
1
1 x 1 x x
x1
0
1
6 0 3
6
A
1
1
0
x1
x1 x2
6
3
1
0
0
x2
6
1 3
1 3
1
0
0
3 4
6 4
4
1
1
1 3 1 3 3
3
0
6 4 3 4
8
6
1
1
1
0
0
3
3
5
5
6
3
6
1
1
0
0
5
5 0
6
3
0
0
1
x2
6
1
x2
3
1
8
5
4
1
2
0
0
1
2
8
3
5
6
0
0
5
6
5
3

38. Примеры

y0
12
1
A
0
1
x
0
3
4
3
y1 y0 1 1 2
1
3
x1 x0
3
3
4
g
y2 y1 1 1
2
15
x
x
5
3
1
2
y2 1 1 1
A3
30
x2 6 5
2948
304
M0
1.2680; M 1
0.1308;
2325
2325
53
4
M2
0.0228; M 3
0.0086
2325
465

39. Примеры

2948
304
53
4
M0
; M1
;M2
; M3
2325
2325
2325
465
y1 x1
b0 A0 1; b1
2M 1 M 2
x1
6
1 3 304 53 737
2
0.4755; b2
3 6 2325 2325 1550
y2 x2
1 5 53 4
2M 2 M 3 2
x2
6
5 6 2325 465
38
0.2452
155

40. Примеры

2948
304
53
4
M0
; M1
;M2
; M3
2325
2325
2325
465
1
1 2948
1474
c0 M 0
0.6340;
2
2 2325
2325
1
1 304
152
c1 M 1
0.0654;
2
2 2325
2325
1
1 53
53
c2 M 2
0.0114
2
2 2325
4650

41. Примеры

2948
304
53
4
M0
; M1
;M2
; M3
2325
2325
2325
465
304 2948
M1 M 0
5288
2325
2325
d0
0.2527;
6 x0
6 3 4
20925
53
304
M 2 M1
251
2325
2325
d1
0.0060;
6 x1
6 3
41850
4
53
M3 M2
11
465
2325
d2
0.0005
6 x2
6 5
23250

42. Примеры

i
x
y
a
b
c
d
0
1
2
1/4
1
4
1/2
1
2
1/2
1
2
1
0.4755 0.2452
–0.6340 –0.0654 –0.0114
0.2527 0.0060 0.0005
2
3
9
3
3
2
1
1
1
1
1
S0 x 1 x 0.6340 x 0.2527 x , x ,1
2
4
4
4
4
S1 x 1 0.4755 x 1 0.0654 x 1 0.0040 x 1 , x 1, 4
2
3
S 2 x 2 0.2452 x 4 0.0114 x 4 0.0005 x 4 , x 4,9
2
3

43. Примеры

2
2
4 1
4 1
4 1
4 1
S0 1 0.6340 0.2527
9 2
9 4
9 4
9 4
0.6723
2
3
9
9
9
9
S1 1 0.4755 1 0.0654 1 0.0060 1
4
4
4
4
1.5039
2
3
25
25
25
25
S 2 2 0.2452 4 0.0114 4 0.0005 4
4
4
4
4
2.4993

44. Примеры

Точность интерполяции:
x
P(x)
L(x)
f (x)
δ
1/4
9/4
25/4
0.293
1.699
2.012
0.293
1.699
2.012
0.5
1.5
2.5
41.4%
13.3%
19.5%
x
4/9
S(x) S(x) S(x) S(x) f (x)
δ2
δ3
δ3
0.678 0.663 0.693 0.672 2/3 0.6-1.7% 3.95% 0.80%
9/4
1.417 1.490 1.474 1.504 1.5 0.6-5.5% 1.73% 0.27%
25/4 2.615 2.491 2.569 2.499 2.5 0.4-4.6% 2.76% 0.04%
English     Русский Rules