Исследование функции и построение графика

1.

Проведите полное исследование и постройте график функции
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
Исследование функции и
построение графика
Порядок исследования функции
1. Область определения
2. Общие свойства (четность/нечетность/периодичность)
3. Непрерывность функции
4. Поведение функции на границах D(f)
5. Точки пересечения с осями (x=0, y=?; y=0, x=?)
6. Промежутки знакопостоянства функции
7. Первая производная
8. Критические точки
9. Исследование на монотонность и экстремумы
10. Исследование на выпуклость и вогнутость

2.

Исследование функции и построение графика
Проведите полное исследование и постройте график функции
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
1. D(f): x \{0}
2. D(f)
f ( x)
Порядок
симметрична относительно (0;0)
( x) 10( x) 28( x) 24 x 10 x 28 x 24 f ( x)
2x2
2( x ) 2
f ( x )
3
2
3
2
f(x) – функция общего вида, не периодическая
3. Функция непрерывна при x - ;0) 0;+ )
4. Поведение функции на границах области определения
x 10 x 28 x 24 const
x 0
2x2
0
3
2
lim
x 3 10 x 2 28 x 24 const
lim
x 0
2x2
0
x 0 ур е верт. ас ты
1. D(f)
2. Свойства
3. Непрерывность
4. Асимптоты
5. x=0, y=?; y=0, x=?
6. f(x) +/7. f’(x) +/- /
8. Критич.точки
9. f’’(x) +/- /
10 28 24
10 28 24
x 3 1 2 3
x 1 2 3
x 10 x 28 x 24
x x
x
x x
x
lim
lim
lim
2
2
x
x
x
2x
x 2
2
10 28 24
гор. ас та отсутствует
x
1
2
3
3
2
x x
x
x 10 x 28 x 24
lim
lim
x
x
2
2x2
3
2

3.

Исследование функции и построение графика
4. Поведение функции на границах области определения
x 0 ур е верт. ас ты
гор. ас та отсутствует
10 28 24
x
1 2 3
f ( x)
x 3 10 x 2 28 x 24
x x
x 1
k1 lim
lim
lim
x
x
x
x
2x 2 x
x3 2
2
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
Порядок
3
x 10 x 28 x 24 x
b1 lim ( f ( x) kx) lim
x
x
2x2
2
3
2
28 24
x 2 10
x x2
lim
5
x
x2 2
x 3 10 x 2 28 x 24 x
14 12
f ( x)
5 2 kx b a( x )
2
2x
2
x x
y=0,5x+5 – уравнение наклонной асимптоты
1. D(f)
2. Свойства
3. Непрерывность
4. Асимптоты
5. x=0, y=?; y=0, x=?
6. f(x) +/7. f’(x) +/- /
8. Критич.точки
5. Точки пересечения с осями
9. f’’(x) +/- /
х≠0. Нет точек пересечения с осью ОY
y 0
x 3 10 x 2 28 x 24 0
x 0
1
10
28
24
Какие корни будем проверять?
-2
1
8
12
0
x 2 8 x 12 0
x2 2
x 6
3
Точки пересечения с осями:
А(0;-2), B(0;-6)
А(-2;0), B(-6;0)

4.

Исследование функции и построение графика
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x2
y
x 0 ур е верт . ас ты
y
x
5 ур е накл. ас ты
2
lim f ( x)
x 0
5
lim f ( x)
x 0
lim f ( x)
x
lim f ( x)
x
A( 2;0)
B( 6;0)
y
1
-10
-6
-2
-1
0
x+5
5
,
=0
x 3 10 x 2 28 x 24 x
14 12
f ( x)
5 2
2
2x
2
x x
x=0
x

5.

Исследование функции и построение графика
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
y
Порядок
1. D(f)
2. Свойства
3. Непрерывность
5
4. Асимптоты
5. x=0, y=?; y=0, x=?
6. f(x) +/7. f’(x) +/- /
1
,5
y=0
x+5
-2
-6
-10
-1
0
x
8. Критич.точки
9. f’’(x) +/- /
6. Промежутки знакопостоянства функции
x 3 10 x 2 28 x 24 ( x 2) 2 ( x 6)
f ( x)
2x2
2x2
-
+
-6
+
+
-2
0
f ( x) 0 на x ( 6; ) \ {0}
f ( x) 0 на x ( ; 6)
х
x=0

6.

Исследование функции и построение графика
7. Первая производная
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
x 3 10 x 2 28 x 24
f ' ( x)
2
2
x
x
10 x 2 28 x 24
3
3x
2
Порядок
2x2 2x2
(2 x 2 ) 2
x
3
10 x 2 28 x 24
1. D(f)
2. Свойства
3. Непрерывность
20 x 28 2 x 4 x x 10 x 28 x 24
4 x4
2
3
2
4. Асимптоты
5. x=0, y=?; y=0, x=?
6. f(x) +/-
2 x 3 x 2 20 x 28 x 2 x x 3 10 x 2 28 x 24 2
4x4
7. f’(x) +/- /
8. Критич.точки
2 x 3 x 3 20 x 2 28 x x 3 10 x 2 28 x 24 2
4x4
3x
3
20 x 2 28 x 2 x 3 20 x 2 56 x 48
x 3 28 x 48
0
2 x3
2 x3
1
0
-28
-48
Какие корни будем проверять?
-2
9. f’’(x) +/- /
1
-2
-24
0
x 2 2 x 24 0
x2 4
x 6
3
f ' ( x)
f (x)
f ' ( x)
+
( x 2)( x 4)( x 6)
2 x3
-4
max
-
+
-2
min
0
+
6
min
х

7.

Исследование функции и построение графика
+
f ' ( x)
-4
f (x )
max
-
+
-2
0
min
max
+
6
х
min
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
Порядок
1. D(f)
f ( x) на x ( ; 4]; [ 2;0);[6; )
2. Свойства
f ( x) на x [ 4; 2]; (0;6]
3. Непрерывность
f max ( 4)
8 1
( 4) 10 ( 4) 28 ( 4) 24 64 160 112 24
32 4
32
2 ( 4) 2
3
f min ( 2) 0
f min (6) 10
2
4. Асимптоты
5. x=0, y=?; y=0, x=?
6. f(x) +/7. f’(x) +/- /
2
3
8. Критич.точки
9. f’’(x) +/- /

8.

Исследование функции и построение графика
f ( x) 0 на x ( 6; ) \ {0}
f ( x) 0 на x ( ; 6)
y
f ( x) на x ( ; 4]; [ 2;0); [6; )
f ( x) на x [ 4; 2]; (0;6]
f max ( 4) 0,25
f min ( 2) 0
f min (6) 10
B
2
3
1
A 4;
4
2
B 6;10
3
5
А
5
5x+
,
0
y=
-10
-6
-4
1
-2
-1
0
x=0
6
x

9.

Исследование функции и построение графика
x 3 28 x 48
f ' ( x)
2 x3
x 3 10 x 2 28 x 24
f ( x)
2x 2
x 3 28 x 48 x 3 28 x 48 2 x 3 2 x 3 x 3 28 x 48
f ' ' ( x)
3
3 2
2
x
2x
3x
2
f (x)
-
3
4
7
3. Непрерывность
4. Асимптоты
5. x=0, y=?; y=0, x=?
6. f(x) +/8. Критич.точки
+
2
2. Свойства
7. f’(x) +/- /
56 x 144 28 x 72
0
x4
2 x4
f ' ' ( x)
1. D(f)
28 2 x3 6 x 2 x3 28 x 48 2 x 2 3 x 2 28 x 2 x 2 x 3 28 x 48 3
4 x6
2 x2 2 x4
2 x 2 3x3 28 x x3 28 x 48 3
3 x 3 28 x 3 x 3 3 28 x 3 48
2x4
2 x2 2 x4
Порядок
+
0
2
х
9. f’’(x) +/- /
18
18
18
10 28 24
9
7 7 3 49
18
28 7 24 49
4
7
7
7
5
5
f 2
2
7
9
81
2 7
2 18 2 324
7
18
2
7
26 6 7 7
0.4
7
81

10.

Исследование функции и построение графика
f ( x) 0 при x ( 6; ) \ 0
f ( x) 0 при x ( ; 6)
y
f ( x) на x ( ; 4]; [ 2;0);[6; )
f ( x) на x [ 4; 2]; (0;6]
f max ( 4) 0,25
f min ( 2) 0
f min (6) 10
B
2
3
1
A 4;
4
2
B 6;10
3
5
А
5
5x+
,
0
y=
-10
-6
-4
1
-2
-1
0
x=0
6
x