Введение в задачи исследования и проектирования цифровых систем. Вопросы анализа дискретных процессов и систем

1. Введение в задачи исследования и проектирования цифровых систем

Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики - процессов управления
Веремей Е.И.
Введение в задачи
исследования и проектирования
цифровых систем
Лекции 6 ─ 9
Раздел 2. Вопросы анализа дискретных
процессов и систем

2.

Вопросы анализа дискретных систем
1
1. Ряды и преобразование Фурье для числовых
последовательностей
f { f [n]}
f k { f k [n]}, k
f k [ n] e
j
2
kn
N
f [n] f [n mN ], m N
2
k,
N
N 1
1
f [n] F [k ]e
N k 0
e j k n
N 1
F [k ] f [n]e
n 0
j
2
kn
N
j
1
2
kn
N
Коэффициенты конечного ряда
Фурье

3.

2
Вопросы анализа дискретных систем
1. Ряды и преобразование Фурье для числовых
последовательностей
N 1
F [k ] f [n]e
j
2
kn
N
n 0
A[ k ] F [ k ]
F F[k ] , k 0, N 1
Комплексный спектр периодической
последовательности
A A[k ] , k 0, N 1
Амплитудный спектр
периодической последовательности
[k ] arg F[k ]
[k ] , k 0, N 1
Фазовый спектр
периодической последовательности

4.

Вопросы анализа дискретных систем
3
1. Ряды и преобразование Фурье для числовых
последовательностей
5
0
-20
-10
0
10
n
20
30
x[n]
10
5
0
0
2
4
6
8
10
n
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
k
12
14
16
18
20
100
|F(k)|
x[n]
10
50
0
40

5.

Вопросы анализа дискретных систем
4
1. Ряды и преобразование Фурье
f { f [n]}
n
n N
1
Произвольная
последовательность
Условие абсолютной суммируемости
f [ n] Q x
n
F ( j )
n
f [n]e
n
j
F ( j ) F (e )
j
A( ) F (e )
( ) arg F (e j )
j n
Дискретное по времени
преобразование Фурье (ДВПФ)
последовательности {f [n]}
Комплексная частотная (спектральная)
характеристика (КЧХ) последовательности f
Амплитудная частотная (спектральная)
характеристика (АЧХ) последовательности f
Фазовая частотная (спектральная)
характеристика (АЧХ) последовательности f

6.

Вопросы анализа дискретных систем
5
e n , если n 0;
f e [ n]
0, если n 0.
1. Ряды и преобразование
Фурье
0
25
x[n]
20
15
10
5
0
-15
-10
-5
0
n
5
10
15
6
|F(w)|
4
2
0
-20
-15
-10
-5
0
w
5
10
15
20

7.

Вопросы анализа дискретных систем
6
f
1. Ряды и преобразование Фурье
Произвольная
1
{ f [n]}
n N последовательность
j
F (e )
f [n]e
j n
A( ), ( )
n
Прямое ДВПФ
для {f [n]}
1. F (e j ) A( ) A( ) ( ) ( )
2. F (e
j ( 2 k )
j
) F (e )
k N 1
3. F (e j ) F (e j ) [0, ], 2
1
f [ n]
F ( j )e j n d
2
Обратное ДВПФ для {f [n]}

8.

7
Вопросы анализа дискретных систем
2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
f { f [n]} { f n }
n 0,1,..., N 1
Конечная
последовательность
n N
Два варианта превращения в бесконечную последовательность:
а) Периодическая
f p f p [n] f pn
последовательность
f p [n] f [n]
б) последовательность,
f i f i [n] f in
дополненная нулями
Прямое ДПФ:
N 1
F [k ] f [n]e
n 0
1
f p [n] f p [n mN ]
f [n], если n 0,1,..., N 1,
f i [n]
0, если n 0 или n N 1.
Обратное ДПФ:
2
j
kn
N
N 1
1
f [n] F [k ]e
N k 0
j
2
kn
N

9.

Вопросы анализа дискретных систем
8
5. Понятие качества функционирования ЦС
Три варианта варьируемых элементов в DLTI системах:
1. Конечные наборы настраиваемых параметров
h Ep
2. Входные дискретные сигналы
u {u[n]}
3. Передаточные матрицы регуляторов
{d[n]}
K (z )
{e[n, h]}
T(z,h)
{d[n]}
J J (h) J ({e[n, h]}) J (T( z, h){d[n]})
{e[n]}
T(z)
{u[n]}
n [n1, n2 ]
{d[n]}
J J (u) J ({e[n, u]}) J T( z )
{u[n]}

10.

Вопросы анализа дискретных систем
9
5. Понятие качества функционирования ЦС
{e[n]}
{d[n]}
{e[n, K]}
H(z,K)
T(z)
{u[n]}
{d[n]}
{y[n]}
K(z)
e T11 ( z ) T12 ( z ) d
T
(
z
)
T
(
z
)
y
21
u
22
e = H( z, K )d, H(s, K) T11(s) T12 (s)K(s) E T22 (s)K(s) 1T21(s)
J J (u) J ({e[n, K ]}) J H( z, K ){d[n]}

11.

10
Вопросы анализа дискретных систем
5. Понятие качества функционирования ЦС
Классические функционалы качества
x[n 1] F(n, x[n])
{ [n]} [n] [n] [n]
x { [n]}
[0] 0
x { [n]}
[0] 0
Tp inf nm : [n] M (0, ), n nm
m 0
Jm
0
m max [n]
n [ 0, )
Tp
Jp
Nk
( [n] [n])' R( [n] [n])
n 0
[n] 0

12.

Вопросы анализа дискретных систем
11
5. Понятие качества функционирования ЦС
Функционалы качества как нормы выходных сигналов
{d[n]}
{e[n, h]}
Пространство l2
[n]
T(z,h)
2
n
Пространство
m:
e~[n] e'[n]e[n]
[n] ce
:
2
[n]
2
n
sup [n]
e 2 e~ 2
n N 1
n
2
e~[n]
e e~ sup e[n]
n N 1
J 2 J 2 (h) e 2 {e[n, h]} 2 T( z, h){d[n]} 2
J J (h) e {e[n, h]} T( z, h){d[n]}

13.

Вопросы анализа дискретных систем
12
5. Понятие качества функционирования ЦС
Функционалы качества как нормы передаточных матриц
{d[n]}
{e[n]}
2
H(z)
2[n]
S
n
[
n
]
z
E ( z ) Z{ [n]}
n
2 [ n]
n
n
1
zn
[n]
E ( z ) dz
2 j
z
Дискретный аналог теоремы Парсеваля:
1
1 1
S [ n]
E ( z ) E ( z ) dz
2 j
z
n
2
e = H( z )d,
e e~
2
2
2
2
e~ 2 [n]
n
1
2
j 2
S [ n]
E (e ) d
2
n
e[n]
1
n 1
E
(
z
)
z
dz
2 j
z

14.

Вопросы анализа дискретных систем
12
5. Понятие качества функционирования ЦС
Функционалы качества как нормы передаточных матриц
Теорема Парсеваля для векторных сигналов:
{d[n]}
{e[n]}
E(z) = H( z )D( z )
e
2
2
e'[n]e[n]
n
e
H(z)
2
2
e'[n]e[n]
n
1
1
1
E
'
(
z
)
E
(
z
)
dz.
2 j
z
D( z ) D' ( z 1 ) I ms ms
1
1
1
1 1
1
tr
H
(
z
)
H
'
(
z
)
dz
tr
H
'
(
z
)
H
(
z
)
dz
2 j
z
2 j
z
Нормы передаточных матриц по пространствам H2 и H∞
H
2
2
1
1
1
tr H' ( z )H( z ) dz
2 j
z
H
2
2
1
j
j
tr
H
'
(
e
)
H
(
e
) d
2
H max [H(e j )]

15.

Вопросы анализа дискретных систем
12
5. Понятие качества функционирования ЦС
Функционалы качества как нормы передаточных матриц
{u[n]}
{ y[n]}
H (z)
H 2 0.3569
H
0.5738
H
2
2
1
1
j
j
j 2
H
(
e
)
H
(
e
)
d
H
(
e
) d
2
2
H
2
max H (e j )
2
x1[n 1] 0.04886 x1[n] 0.4040 x2 [n] 0.2306 x3[n] 0.4326 u[n],
x2 [n 1] 0.06819 x1[n] 0.3540 x2 [n] 0.4081 x3[n],
x3[n 1] 0.4602 x1[n] 0.08946 x2 [n] 0.03682 x3[n] 0.1253u[n],
y[n] 0.2877 x1[n] 1.146 x2 [n] 1.191x3[n].
0.02482 z 2 0.3317 z 0.004783
H ( z) 3
z 0.2684 z 2 0.01354 z 0.1155
A(w)
A max
0.6
0.55
0.5
A(w)
z1,2 0.158 0.416 j
z3 0.584
0.65
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
-4
-3
-2
-1
0
w 1/s
1
2
3
4