Второй и третий признаки равенства треугольников

1. Второй и третий признаки равенства треугольников

2. Повторение: Треугольник

Дано:
∆АВС
А, В, С – вершины ∆АВС
АВ, ВС, АС– стороны ∆АВС
А, В, С – углы ∆АВС
Вершины (3)
В
Стороны (3)
А
С
Углы (3)

3. Первый признак равенства треугольников

Теорема
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника равны соответственно двум
сторонам
и
углу
между
ними
другого
треугольника, то такие треугольники равны.
С1
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АС = А1С1, АВ = А1В1,
А = А1
А1
С
А
В
В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

4. Перпендикуляр к прямой

Дано:
прямая а,
АН – перпендикуляр к а
АН а
Н – основание
перпендикуляра
А
а
0
1
2
3
4
Н
5
6
7
8
9
10
11

5. Перпендикуляр к прямой

Теорема
Из точки не лежащей на прямой, можно
провести перпендикуляр к этой прямой, и
притом только один.
А
В
Дано:
прямая ВС, А ВС
С
Доказать:
1) существует АН ВС;
2) АН – единственный
М

6. Медиана треугольника

Определение
Отрезок,
соединяющий
вершину
треугольника с серединой противоположной
стороны, называется медианой треугольника.
А
В
М
Дано:
∆АВС, М ВС
ВМ = МС
АМ – медиана ∆АВС
С

7. Медиана треугольника

Любой треугольник имеет три медианы.
Медианы треугольника пересекаются в одной
точке.
А
С1
В
В1
А1
С
Дано: ∆АВС
А1 ВС, ВА1 = А1С;
В1 АС, АВ1 = В1С;
С1 АВ, АС1 = С1В;
АА1 ВВ1, СС1 – медианы ∆АВС

8. Биссектриса треугольника

Определение:
Отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной
стороны,
называется
биссектрисой треугольника.
А
В
К
Дано:
∆АВС, ВАК = САК,
К ВС
АК – биссектриса ∆АВС
С

9.

Биссектриса треугольника
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
А
С1
В
В1
А1
С
Дано: ∆АВС
А1 ВС, ВАА1 = САА1;
В1 АС, АВВ1 = СВВ1;
С1 АВ, ВСС1 = АСС1;
АА1 ВВ1, СС1 – биссектрисы ∆АВС

10. Высота треугольника

Определение
Перпендикуляр,
проведённый
из
вершины
треугольника
к
прямой,
содержащей
противоположную сторону, называется высотой
треугольника.
А
В
Н
Дано:
∆АВС, АН ВС, Н ВС
АН – высота ∆АВС
С

11.

Высота треугольника
Любой треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника или их продолжение
пересекаются в одной точке.
А
С1
В1
В
А1
С
Дано: ∆АВС
А1 ВС, АА1 ВС;
В1 АС, ВВ1 АС;
С1 АВ, СС1 АВ;
АА1 ВВ1, СС1 – высоты ∆АВС

12.

Равнобедренный треугольник
Определение
Треугольник называется равнобедренным,
если две его стороны равны.
А
В
основание
Дано: ∆АВС
АВ = АС
АВ, АС – боковые стороны ∆АВС
ВС – основание ∆АВС
С

13.

Равносторонний треугольник
Определение
Треугольник, все стороны которого
равны называется равносторонним.
А
В
Дано: ∆АВС
АВ = АС = ВС
С

14.

Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 1
В равнобедренном
основании равны.
А
Дано: ∆АВС
АВ = АС
1 2
В
D
треугольнике
Доказать:
В = С
С
углы
при

15.

Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 2
В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведённая к основанию, является медианой и
высотой.
А
Дано: ∆АВС
АВ = АС; 1 = 2.
1 2
Доказать:
1) BD = DC;
2) AD DC.
В
3 4
D
С

16.

Свойства равнобедренного треугольника
Утверждение 1
Высота равнобедренного треугольника, проведённая
к основанию, является медианой и биссектрисой.
Утверждение 2
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая
к основанию, является высотой и биссектрисой.
А
В
D
С
Дано: ∆АВС – р/б
АВ = АС;
BD = DC;
AD DC;
В = С.

17. Второй признак равенства треугольников

Теорема
Если сторона и два прилежащих к ней углам
одного
треугольника
соответственно
равны
стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
С1
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АВ = А1В1,
А = А1, В = В1
А1
С
А
В
В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

18. Третий признак равенства треугольников

Теорема
Если три стороны одного треугольника
соответственно
равны
трём
сторонам
другого
треугольника,
то
такие
треугольники равны.
С1
С
А
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АВ = А1В1,
АС = А1С1,
ВС = В1С1
А1
В
В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

19.

Дома:
• Выучить теоретический
материал ; П9 -20, стр. 18-40.
• Решить № 121; 122; 123; 124.