Построение сечений многогранников
Основные методы построения сечений
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии
610.50K
Category: mathematicsmathematics

Построение сечений многогранников

1. Построение сечений многогранников

Урок геометрии
в 10 классе
Учитель математики СОШ №115 г Перми
Арапова Т.А.

2. Основные методы построения сечений

Метод,
основанный на
использовании
аксиом и теорем
стереометрии
Метод
внутреннего
проектирования
Метод
следов
Х
Учитель математики Арапова Т.А.

3. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
В
α
А
А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой
плоскости.
Учитель математики Арапова Т.А.

4. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
а
А
А3. Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих
плоскостей.
α
β
Учитель математики Арапова Т.А.

5. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
Т3. Если две параллельные
плоскости пересечены третьей,
линии их пересечения
параллельны.
α
β
γ
Учитель математики Арапова Т.А.

6. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 1. Построить сечение через точки К,Р,М.
В1
Р
C1
М
А1
Построение:
1. РК
2. МК
3. МР
D1
МРК – искомое сечение
Комментарии:
В
А
К
С
Точки М
Р ии КР
К лежат
лежат вв плоскости
плоскости CDD
АDD
А1В111С
C
А11D, 1 ,
искомое сечение пересекает правую
переднюю
верхнюю
грань
грань
грань
по
РК по МК
МР
D
Учитель математики Арапова Т.А.

7. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 2. Построить сечение, проходящее через точку Р и параллельное ВDD1В1 .
В1
Р
C1
Р1
А1
Построение:
1. РР1║ D1В1
2. РР2║ D1D
D1
3. Р1Р3║ D1D
4. Р2Р3║ DВ
РР1Р3Р2 – искомое сечение
В
А
Р2
Р3
D
Комментарии:
Искомое сечение ║ плоскости ВDD1В1 ,
С
значит линии пересечений нижней
верхней
левой
передней
грани
грани
грани
грани
и ии
и данных
данных
плоскостей
плоскостей
должны
должны
быть
быть
параллельны.
Учитель математики Арапова Т.А.

8. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 3. Построить сечение, проходящее через точки МРК .
Построение:
В1
C1
А1
D1
М
Р
О1
А
В
К О
3
О4
С
О2
D
1. МР
2. РК
3. МР∩АD=О1
4. О1К∩СВ=О2
5. РК∩ВВ1=О3
6. О2О3∩СС1=О4
7. МО4
РКО2О4М – искомое сечение
Комментарии:
Точки О
Прямые
М2ииРК
К
иО
РРО
илежат
лежат
лежат
вввплоскости
в
плоскости
плоскости
плоскости
на левой
АА
АВCD
D
грани

1лежат
4 ВВ
1 лежат
11В
11ВА
искомое
С
искомое пересекает
сечение
переднюю
левую
нижнюю
1В1ВС , сечение
грань по КО
пересекает
МРзаднюю
КР
грань по О2О4
2
Учитель математики Арапова Т.А.

9. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РК
РМ
КМ
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Учитель математики Арапова Т.А.

10. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
2. РМ∩DС=О2
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Точки М и Р лежат на правой грани ,
искомое сечение пересекает грань
по МР
Учитель математики Арапова Т.А.

11. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩АА1=О2
3. КО1∩DC=О3
3. КО1∩CC1=О4
C1
А1
Р
В1
М
С
D
О1
К
А
В
Комментарии:
Обе прямые лежат на правой грани
Учитель математики Арапова Т.А.

12. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
4. РО3
4. МК
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Обе прямые лежат на нижней
грани. Искомое сечение пересекает
грань по КО3
Учитель математики Арапова Т.А.

13. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DА=О2
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Точки М и О3 лежат на задней грани
искомое сечение пересекает грань
по МО3
Учитель математики Арапова Т.А.

14. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
О3
D
С
О1
6. KО4∩AB=О6
6. KО4∩AA1=О5
К
А
В
О4
Комментарии:
М О3 и DD1 лежат на задней грани
Учитель математики Арапова Т.А.

15. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
О1
К
А
В
О4
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
7. О3О5
7. МО5
Комментарии:
K О4 и AA1 лежат на левой грани.
Искомое сечение пересекает
грань по КО5
Учитель математики Арапова Т.А.

16. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
О1 РМО КО М– искомое сечение
3
5
К
А
В
Комментарии:
О4
Учитель математики Арапова Т.А.

17. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИТЕ САМИ Построить сечение
через точки К,Р,М.
В1
Р
А1
C1
D1
М
В
А
С
К
Учитель математики Арапова Т.А.
D

18. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИТЕ САМИ Построить сечение
через точки К,Р,М.
В1
СВЕРИМСЯ!
Р
А1
C1
D1
М
В
А
С
К
Учитель математики Арапова Т.А.
D

19. Метод следов

След секущей плоскости –
это прямая, по которой
А1
секущая плоскость
пересекает плоскость
какой-либо грани
многогранника.
В1
C1
D1
α
В
Плоскость сечения α
пересекает
плоскость основания АВСD
по прямой а
А
а – след секущей плоскости α
Учитель математики Арапова Т.А.
С
D
а

20. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
В1
C1
О
А1
D1
Р
К
В
С
Р1
А
Х
D
К1
У
Комментарии: ХСпроецируем
насекущей
плоскость
АВСD.
Упринадлежит
принадлежитР,К,О
следу
следу
секущей
плоскости.
плоскости.
Учитель математики Арапова Т.А.

21. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
4. ХУ
5. АD∩ХУ=Т
6. ТО∩АА1=О1
7. КО1∩ВВ1=О2
D1
C1
О
А1
B1
Р
О1
К
D
О2
С
Р1
А
Т
Х
В
К1
У
Комментарии: ХУ
Искомая
- след секущая
секущей плоскость
плоскости пересекает левую
грань по ОО
переднюю
грань
по
КОматематики
Учитель
Арапова Т.А.
1
1

22. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
4. ХУ
5. АD∩ХУ=Т
6. ТО∩АА1=О1
7. КО1∩ВВ1=О2
8. РО2∩СС1=О3
9. О2О
D1
C1
О
О3
А1
B1
Р
О1
К
ОО3О2О1– искомое сечение
D
О2
С
Р1
А
Т
Х
В
К1
У
Комментарии:
Искомая секущая плоскость пересекает правую
грань по О3О2
Учитель математики Арапова Т.А.

23. Метод внутреннего проектирования

Пример
Построить
сечение
через точкисечений
К,Р,О.
Метод5.удобен
при
построении
в тех случаях,
1.
АА1РР
когда
почему-либо
неудобно находить след секущей
1
плоскости.
2. DD1ОО1
В1
О
C1
А1
D1
К
Р
В
Комментарии: Плоскость АА
DD11РР
ОО1,1,
определяется параллельными
прямыми АА
DD11 ии РР
OO11
О1
С
Р1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
D

24. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
М
А1
D1
К
Р
В
О1
С
М1
Комментарии:
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

25. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
А1
D1
К
Р
М2
В
О1
С
М1
Комментарии:
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

26. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
М
А1
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии: Точка S принадлежит
искомому сечению
А
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

27. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
5. ОМ2 ∩ DD1=S
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии:
Точки S и Р лежат
на правой грани , искомое сечение
пересекает грань по SР
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

28. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
6. SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
М
H
А1
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии:
Точки O и H лежат
на задней грани , искомое сечение
А
пересекает грань по OH
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

29. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
5. ОМ2 ∩ DD1=S
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
7. OH∩ BB1=L
Р
М2
8. SK
S
В
Комментарии:
Точки К и S лежат
на передней грани , искомое
сечение пересекает грань по SK
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

30. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
V
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
М
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
7. OH∩ BB1=L
Р
М2
8. SK
S
9. KL ∩ AB1=V
В
Комментарии:
Точки K и L лежат
на левой грани , искомое сечение
пересекает грань по VK
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

31. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
6. SP ∩ CC1=H
7. OH∩ BB1=L
C1
V
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
L О
М
H
А1
D1
К
Р
М2
8. SK
S
9. KL ∩ AB1=V
10. OV
KVOHS-искомое сечение
В
Комментарии:
Точки O и V лежат
на верхней грани, искомое сечение
А
пересекает грань по VO
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

32. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РК
РМ
РМ
C1
А1
Р
В1
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
Учитель математики Арапова Т.А.

33. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
2. РМ∩DС=О2
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
РМ и DС – скрещивающиеся
прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

34. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩АА1=О2
3. КО1∩DC=О3
3. КО1∩CC1=О4
C1
А1
Р
В1
М
С
D
О1
К
А
В
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

35. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
4. РО3
4. МК
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
Учитель математики Арапова Т.А.

36. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DА=О2
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

37. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
О3
D
С
О1
6. KО4∩AB=О6
6. KО4∩AA1=О5
К
А
В
О4
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

38. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
О1
К
А
В
О4
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
7. О3О5
7. МО5
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
О5
Учитель математики Арапова Т.А.
English     Русский Rules