Показательная функция

1. Показательная функция

• Рассмотрим функцию y 2
X
0
1
2
3
-1
-2
y
1
2
4
8
1/2
1/4
x
1
• Рассмотрим функцию y
2
X
0
1
2
-1
-2
-3
y
1
1/2
1/4 2
4
x
8
Функцию вида y a , где а>0, а 1,
называют показательной функцией.
x

2.

Показательная функция
y=ах,
а 0,
a 1
область
определения
( ; + )
область
значений
(0; + )
при a>1 возрастает на всей
области определения,
y
a>1
1
0 1
при 0<a<1
убывает на всей
области определения
y=ax
y
x
y=ax
0<a<1
1
0 1
x

3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Показательное уравнение – это уравнение, в котором
неизвестное содержится в показателе степени.
Уравнения вида
af(x)=ag(x),
где a – положительное число (т.е. а>0), отличное от 1
(a 1), и уравнения, сводящиеся к этому виду,
называются показательными.
6 x 7
Пример.
2
2 5
x
x 1
14 x 3
2
200

4. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

• 1. Решаемые переходом к одному основанию.
• 2. Решаемые переходом к одному показателю степени.
• 3. Решаемые вынесением общего множителя за скобку.
• 4. Сводимые к квадратным или кубическим введением
замены переменной.

5. 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СВЕДЕНИЕМ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ

• 54x+2 = 125
• 54x+2 =53
• 4x+2 = 3
•4 x = 1
• x = 0,25
• Ответ: x =0,25

6.

• 2. Решаемые переходом к одному показателю степени.
Решение путем деления !
Если обе части уравнения степени с равными
показателями, то уравнение решают делением обеих
частей на любую из степеней.
3х=2х |разделим обе части на 2х
3х: 2х=2х: 2х
(3/2)х=1
(1,5)х=1
(1,5)х=(1,5)0
х =0

7. 3. Решение разложением на множители

• Если одна из частей уравнения содержит
алгебраическую сумму степеней с одинаковыми
основаниями , показатели которых отличаются на
постоянное слагаемое , то такое уравнение решается
разложением на множители.

8. Пример показательного уравнения, одна из частей которого содержит алгебраическую сумму

3x 1 2 3x 2 25
2
3 3 2 3 3 25
x
1
x
1
1
2 27 2 25
3 3 2 25
3 2 3
9
9
9
9
9
25
x 25
3 25 делим на
9
9
9
x
3 25
25
3x 9
x
3x 32
x 2

9. 4. Сведение показательных уравнений к квадратным

Одним из наиболее распространенных методов решения
уравнений (в том числе и показательных), является метод замены
переменной, позволяющий свести то или иное уравнение к
алгебраическому (как правило, квадратному) уравнению.
Решить уравнение
Пусть
5 t
x
25 6 5 5 0
x
x
52 x 6 5x 5 0
x 2
x
(5 ) 6 5 5 0
2
t 6 t 5 0
Тогда
5 1
5 5
x
Обратная замена:
t 1; t 5
x
5 5
5 5
x 0
x 1
x
0
x
1