Типовые распределения времени наработки объекта до отказа

1.

Лекция 3
Тема 2. ТИПОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ
НАРАБОТКИ ОБЪЕКТА ДО ОТКАЗА
2.1 Показатели безотказности объектов АО при
нормальном распределении и нормальном
распределении, усеченном слева

2.

При нормальном распределении случайная величина
наработки до отказа может принимать любое значение от - до + .
В этом случае плотность и функция распределения величины
имеют вид
Нормальное распределение,
2
(t
m
)
2
2
усеченное слева
1
f (t)
e
2
2
(
x
m
)
t
2
2
1
F
(
t)
e
2
dx

3.

Так как реальное время лежит в пределах 0<t< , то
необходимо, чтобы выполнялось условие
f (t)dt
=1 .
0
Если заштрихованная часть рисунка ничтожно мала (q 0), то
можно расчет характеристик надежности проводить,
используя функцию распределения, заменяя нижний предел в
интеграле на 0.
Однако, если заштрихованная площадь под кривой f (t)
является значительной, то ее необходимо учитывать. Для
этого случая можно записать
2
(
t
m
)
2
2
q
f*
(
t
)
e
2
qf
(
t
)

4.

Нормирующий множитель q находится из условия равенства
единицы площади под кривой f (t ) . С учетом этого после
преобразований получим
1
q
0
.
5
(
t
m
/
)
2
t
u
1
2dt
(u
)
e
2
0

5.

qf (u)du
t
t
f (u)du
0
( t m ) 2
*
(t)
f (t)
P(t)
1
2
e
2 2
/{0.5 [(t m ) / ]} - интенсивность отказов
2
M
*
[ ] m
q
2
e
m
2
2
- математическое
ожидание наработки до отказа

6.

Основные характеристики распределения (продолжение)
Дисперсия времени наработки до отказа
2
2
0
,
5
D
[
]
[
1
K
K
m
/]
0
0
*
где
K0 =
e
m 2
2 2
,

7.

2.2 Показатели безотказности объектов АО при
экспоненциальном распределении

8.

Случайная величина (СВ) называется экспоненциально
распределенной с параметром , если ее функция распределения
имеет вид
t
F
(
t
)
1
e
,
t 0, > 0.
Распределение имеет следующие характеристики:
– вероятность безотказной работы
t
P
(
t
)
1
F
(
t
)
e
– плотность вероятности распределения СВ
t
f (t)
e
– математическое ожидание СВ :
1
M
[
]
tf
(
t
)
dt
T
0
0

9.

– дисперсия СВ :
- СКО
1
D
[
]
M
[
t
T
]
0
2
[ ]
– интенсивность отказов
2
1
f
(
t
)
1
(
t
)
.
P
(
t
)
Т
0
Свойство экспоненциального закона распределения:
вероятность безотказной работы на интервале (t, t + t) не зависит от
времени предшествующей работы t, а зависит только от t:
(
t
t
)
P
(
t
t
)e
t
P
(
t
,
t
t
)
e
t
P
(
t
) e

10.

Функции для экспоненциального закона распределения

11.

2.3. Показатели безотказности объектов АО при
равномерном распределении

12.

Случайная величина (СВ) называется равномерно
распределенной, если ее плотность распределения внутри интервала
(a, b) постоянна и равна нулю вне этого интервала.
Характеристики распределения :
– плотность распределения СВ
0
,
при
t a
;
1
f (t)
, при
a
t
b
;
b
a
0
,
при
t
b
;

13.

0
,
при
t
a
;
– функция распределения СВ :
t
a
dt t
F
(
t
)
,при
a
t
b
;
b
ab
a
a
1
,
при
t
b
.
При решении задач надежности принимают а = 0, т.е. t (0,b) и
f (t)=0, если t (0,b). В этом случае характеристики надежности
имеют вид, показанный на рисунке

14.

1
, при
t
b
;
f (t)
b
0
, при
t
b
.
- функция распределения и вероятность безотказной работы
t
F (t) ;
b
t
P
(
t
)
1
;t
[
0
,b
].
b
- математическое ожидание и дисперсия
b
b2
2
2
t
b
t
b
b
[
] dt
D
[
]
dt
b
2
b 4 12
0
0
- интенсивность отказов
f
(
t) 1
(
t)
.
P
(
t) b
t
Равномерный закон распределения используется при
моделировании надежности при априорной неопределенности
параметров.

15.

2.4. Показатели безотказности объектов АО при
распределении Вейбулла-Гнеденко

16.

Случайная величина (СВ) распределена по закону ВейбуллаГнеденко, если ее функция распределения имеет вид
b
(
t/a
)
,
a>0 , b>0.
F
t)
1
e
(
При b=1 распределение является экспоненциальным с параметром
=1/а.
Характеристики распределения:
– вероятность безотказной работы:
P
(
t
)
F
(
t
)
e
b
1
dF
(
t
)b
t
(
t
/
a
)
b
f
(
t
)
e
dt
a
a
– плотность вероятности:
– интенсивность отказов:
b
(
t
/
a
)
b
1
f
(
t
)b
t
b
b
1
(
t
)
t
b
P
(
t
)a
a
a

17.

– среднее время безотказной работы:
где (1 1) – гамма-функция от параметра
b
таблице.
- дисперсия времени наработки до отказа
1
M
[
] a
(
1
) ,
b
1
( 1)
b
находится по
12
]
D
[
]
a
[{
(
1
)}
{
1
)}
b
b
x
1
t
(x
) t
22
e dt
(
x
)
(
x
1
)
(
x
1
);
(
1
/
2
)
;
0
Областью применения распределения Вейбулла-Гнеденко являются
стареющие объекты: гироскопические приборы, электродвигатели и
некоторые типы полупроводниковых приборов.

18.

(0) = 0; при b >1
limt
( ) ;
t
при b <1
lim
(t) 0 .
t

19.

2.5 Показатели безотказности объектов АО при
линейной интенсивности отказов

20.

Случайная величина при линейной интенсивности отказов
(t)=а0+а1t имеет следующие характеристики:
– функция распределения
a
t2
1
(
a
t
)
0
2
F
(
t
)
1
e
- вероятность безотказной работы
2
a
t
(a
t 1 )
0
2
P
(t)
e
– плотность распределения времени безотказной работы
2
a
t
1
(
a
t
)
0
2
f
(
t
)
(
a
a
t
)
e
0 1
– средняя наработка до первого отказа
2
a
t
1
(
a
t
)
0
2
T
P
(
t
)
dt
e
dt
0
0
0
(*)

21.

Проведем в (*) замену переменных
a
a
dz
a
dt
1t 0 z
1
2 2
2
a
1
Тогда выражение (*) можно преобразовать к виду
2
a
0
2
z
2
a
2
1
1
T
e
e 2dz
0
2
a
a
1
t 0
a
1
=
=
a
0
a
a
2
e2
1
0
1
a
a
1
1
Используя таблицы для нормальной функции распределения,
рассчитывается средняя наработка объекта до отказа.