Действительные числа. Степенная функция. Материалы по математике для обучающихся 10-11 класса

1. Действительные числа. Степенная функция.

Материалы по математике для
обучающихся 10-11 класса.

2. Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь вид а , где - целое число, а каждая из букв , , - это одна из

Действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь вид а 0 , 1 2 3 , где а0
целое число, а каждая из букв а1 , 2 , а3 - это одна
из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
а аа а
а
Примеры:
1. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным)
является числовое значение выражения:
( 8 3)(3 2 2 ) ( 4 2 3)(3 2 2 )
( 4 2 3)(3 2 2 ) (2 2 3)(3 2 2 )
8 9 1
Число -1 является рациональным (его можно представить в виде дроби).
63 28 9 7 4 7
2. Вычислить:
9 7 4 7 3 2 49
6 7 42
Выполните самостоятельно: из § 2 учебника «Алгебра и начала анализа 1011» (автор Алимов Ш. А. и другие) упражнение № 9 (2-4), упражнение
№ 10 (2-4).

3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Определение:
Числовая последовательность, первый член которой
отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная
со второго, равен предшествующему члену,
умноженному на одно и то же не равное нулю число,
называется геометрической прогрессией.
1 1 1 1 1
Пример:
1, , , , , ,
2 4 8 16 32
Знаменатель геометрической прогрессии g =
а а а
а а а
2
3
4
1
2
3
Геометрическая прогрессия называется убывающей, если
модуль её знаменателя меньше единицы.

4.

Пример.
Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно
3
убывающей:
12
,
b
b
7
11
4
Решение:
3
b7 12, b11 4
6
b7 b1 g
b
11
b1 g
10
10
b
b
11
7
g
g
b
b g
1
6
g
4
1
4
3
4
12
4
1
1
16
2
Так как знаменатель геометрической прогрессии меньше 1, то это
убывающая геометрическая прогрессия.
Выполните самостоятельно: упражнение № 16 (3).

5. Арифметический корень натуральной степени.

Определение:
Арифметическим корнем натуральной степени п ≥ 2 из неотрицательного
Числа а называется неотрицательное число b, п- я степень которого равна а.
n
Например:
3
a b, b a; a 0, b 0
n
64 4
так как
и
4 0 43 64
Арифметический корень n-й степени обладает следующими свойствами:
a 0, b 0и n, m – натуральные числа, причем п ≥ 2 , m ≥ 2, то
Если
1.
3.
n
ab
n
n
b.
при b=0
(n a ) m n a m m- целое
а>0
2.
4.
n a
b
m n
a
n
b
a mn a

6.

1.
Докажем, например, что n ab n a n b
Воспользуемся определением арифметического корня:
n
a n b 0, так как a 0 и b 0;
2.
( n a n b ) n ab, Так как ( n a n b ) n ( n a ) n ( n b ) n ab.
Аналогично доказываются и остальные свойства:
Примеры:
4
27
4
3 4 2 7 * 3 4 81 4 34 3
Примеры:
1
1
4 81 4 625 3 5 1 5 4
3
3
3
5
343 0,125 343 0,125 7 0,5 3,5
3
3
19 5 243 5 243 3
7
5
1,5
32
32
32 2
3
729 6 729 3
6
( х)
3
3
х
6
3 ( х )3 х
2
2
548 2 420 2 (548 420) (548 420)
128 968 64 2 484 2 64 484 4
8 22 2 174

7. Тождественные преобразования выражений с арифметическим корнем натуральной степени: примеры заданий из Открытого Банка Задач

Единого Государственного Экзамена
по математике.
9
7 18 7 18 7 2 18 7 18 7 3
1
6
18 3
18 3
7
7
7
5482 420 2 (548 420) (548 420) 128 968 64 2 484 2 64 484 4
8 22 2 352
5 3 9 6 9 5 6 9 2 6 9 5 6 93 5 6 (32 ) 3 5 6 36 5 3 15
(а 6) 2 (а 10) 2 , если 6 а 10.
(а 6) 2 а 6 а 6; (а 10) 2 а 10 10 а, то
(а 6) 2 (а 10) 2 (а 6) (10 а ) а 6 10 а 4

8. Степень с рациональным показателем.

Если п – натуральное число, m – целое число, то при а >0
m
справедливо равенство:
m
п
а an
Примеры:
4
1
2
3
4
b b ;
3
5
1 5 1
x
x
2
3
x
1
5
3 2
2 3
2
3 2
3
3
64
8
;
8
(
2
)
(
2
)
2
4
64
8

9. Свойства степени с рациональным показателем.

Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они
аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь m и nрациональные числа:
а a
m
n
a
m n
Для того, чтобы умножить степени с одинаковыми основанием, нужно
сложить их показатели, основание оставить без изменений

10. Свойства степени с рациональным показателем.

m и n- рациональные числа:
m
a
m n
a
n
a
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их
показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.

11.

Свойства степени с рациональным показателем.
m и n- рациональные числа:
( a m ) n a m n
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить
показатели степени, основание оставить без изменений.

12.

Свойства степени с рациональным показателем.
m и n- рациональные числа:
( ab) n a n b n
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно
перемножить основания и возвести результат в исходную степень.

13.

Свойства степени с рациональным показателем.
m и n- рациональные числа:
a n
an
( )
b
bn
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно
разделить основания и возвести результат в исходную степень.
Выше перечисленные свойства справедливы для любых рациональных
показателей.

14. Примеры решения заданий из Открытого Банка Задач Единого Государственного Экзамена по математике

6n
1
3
1
12
n n
1
4
6 п
1 1 1
3 12 4
4 1 3
12 12 12
6 п
6 п 0 6 1 6
a 3,33
2
при а
2 ,11
2 , 22
a a
7
.
a 3,33
а 3,33
2 1 7
3, 33 4 , 33
1
4,33 а
а ( ) 3,5
2 ,11 2 , 22
а
а
7
2
n
1
12
5
6
1
4
n n
п 64
п
5 1 1
6 12 4
10 1 3
12 12 12
п
6
12
1
2
п п п 64 8

15. Задания для самостоятельной работы.

1. Выполните упражнение
№ 57- 60 на странице 31 учебника.
2. Вычислите значения выражений № 68-70.
3. Прочитайте решение задачи
№ 10 на странице 30 учебника.
4. Выполните упражнение № 75.

16. Домашняя работа №-57

1)
1
2
64 64 8;
1
2) 27 3
3)
4)
5)
6)
2
3
8
27 3;
3
3
4
81
16
9
8
4
0 , 75
1, 5
2
3
3
2
3
2
22 4;
3
81 4 (34 )3 33 27;
16
9
3
4
23
1
1
4 ( 161 )3 ( )3 ;
2
8
1 3
1 3
1
( ) ( )
.
9
3
27

17.

Домашняя работа №-58
1)
2)
3)
4
5
11
5
2
7
5
7
2 2
4 11
5 5
2
5 5 5
2 5
7 7
2
3
1
6
2 1
3 6
1
3
5
6
1 5
3 6
9 :9 9
4)
4 :4 4
5)
8
1
12
4
8
142
23 8;
5 5;
1
3
6
9 3;
4
8
13
12
12 ;
3
1
8
12 .

18.

Домашняя работа №-59
1)
2)
3)
2
5
2
5
5
92 272 5 92 9 3 5 92 92 9 5 95 9;
2
3
2
3
3
7 2 492 3 7 2 7 4 3 76 3 7 2
9 27
7 49
3
4
2
3
4
144 : 9
4
4
4)
3
2
150 : 6
3
2
3
7 2 49;
1443 : 93 4 (12 2 )3 : (32 )3 4 (4 2 )3
2
3
2 2
3
2
4
12
2
4
2
3 4
23 8;
150
3
2
25 25 25 25 25 25 5 125.
6

19.

Домашняя работа №-60:
1)
2)
0,04
1 0, 75
16
1,5
9
7
4
1 3
8
2
0,125
23
2
7
6
5
2
3
4 4
4
5
8 :8 3 3 8
4)
5 0,2
3
4
4
23 24 8 16 24;
0,5
0,2
3
2 2
3)
52 5
4
3 3
9 2
7 7
2
3 3
3
6 4
5 5
10 3
2
10 2
5
53 2 2 121;
8 3 1;
1
2
5 0,2 25 53 25 125 150.
2
3

20.

Домашняя работа №-68:
1)
5
2 2
5
2 2
2)
3
:9
3)
5
4)
0,5
3
2
2
5
2 2 2 2
2
3
3
5
8
5
3 3
0,5
2 1;
0
3 1;
0
5 125;
2 8
3
12 161.
4

21.

Домашняя работа №-69:
1)
2 3 5
2
8 2
3
2
9 32 2 ;
5
2 3
5
2
3
5
2
2
4;
3
2)
3)
4)
5
5 1
5
1 2
1 5
1 2
1 5
2 1
2
51 2 1 ;
5
624
1 5 1 5
4
5 5
1 5 1
.
625
0

22.

Домашняя работа №-70:
1)
4
2)
27
3)
4)
2
3
22 2 ;
33 3 ;
2 1 3 1 3
3 3 2 3 32 2
91 3 31 3 3 2 3 3
3 2
4
1 2
2
2
4 2
22 3 2 1
2 4 2
3 1 3 2 3
3;
2 8.
3

23. Иррациональное уравнение.

Определение:
• уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком
корня (радикала), называется иррациональным.
4 2х 6
Возведем
уравнение во вторую степень :
4 2 х 36
2 х 36 4
2 х 32
32
х
2
х 16

24.

Выполните самостоятельно:
53 2 х 7
18
1
2 х 52 8
7 х 28
7
18
2
1
7 х 31 4
4 х 40
4
17
15 2 х 3
55 3 х 7