Физико-математические основы ОФЭКТ

1. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» КАФЕДРА «МЕДИЦИНСКАЯ ФИЗИКА» Курс «ФИЗИКА РАДИОИЗОТОПНОЙ МЕДИЦИНЫ»

доцент каф. 35, к.ф.-м.н. Штоцкий Ю.В.

2. Содержание

Излучение точечного источника. Закон Бера
Основная задача ОФЭКТ. Круговая геометрия измерений в ОФЭКТ.
Влияние факторов геометрического ослабления и ослабления
излучения веществом
Методы обращения интегрального экспоненциального
преобразования Радона:
1. Метод двумерной фильтрации
2. Метод Фурье-синтеза
3. Метод одномерной фильтрации
Методы коррекции на поглощение. Метод корректирующей матрицы
2

3.

1. Уравнение переноса излучения
1.1. Закон распространения внешнего излучения в веществе.
I0 - интенсивность тонкого пучка γ-излучения,
падающего на слой вещества:
μ(x) - распределением коэффициента
линейного поглощения (ослабления)
вдоль распространения пучка;
P(x) = μ(x)·dx - вероятность поглощения γкванта при прохождении элементарного
пути dx.
Стационарное уравнение переноса излучения в поглощающей неоднородной
среде
dI x
x I x
dx
(1)
Решением уравнения (1.1) будет закон Бугера-Ламберта-Бэра для поглощающей
неоднородной среды
I x
x
I0 exp
0
x dx
(2)
3

4.

1.2. Закон распространения излучения при действии внутренних
источников излучения (самоизлучающие объекты)
I0 - интенсивность точечного источника,
излучающего в телесный угол 4π;
μ(x) - распределением коэффициента
линейного поглощения вдоль прямой,
соединяющей источник с небольшой
площадкой Δσ, наклоненной под
углом φ к этой прямой.
Тогда интенсивность I(x), приходящаяся на площадку Δσ, будет равна:
x
1
I x I 0
exp
x
d
x
cos
2
0
4 x
(3)
Выражение (1.3) учитывает четыре основных фактора:
геометрическое ослабление;
ослабление излучения в веществе;
наклон площадки детектора.
4

5.

2. Круговая геометрия измерений в ОФЭКТ
с параллельными проекциями
θ
2.1. Основная задача ОФЭКТ восстановление двумерного
распределения источников
излучения s(x,y), целиком
расположенного в области с
коэффициентом ослабления
излучения μ(x,y).
Схема кругового сканирования
с параллельными проекциями
Набор отсчётов, зафиксированный элементами ПЧД, определяет проекцию
(под углом θ). Затем система «Коллиматор-Детектор» поворачивается
относительно объекта на угол Δθ и вновь измеряется проекция. Измерения
повторяются, пока система «Коллиматор-Детектор» не повернётся на угол
2π. По измеренному набору проекций необходимо восстановить двумерное
5
распределение источников излучения s(x,y).

6.

2.2. Выражение для проекции p(ξ,θ), измеренной под углом θ во
вращающейся системе координат
y
x cos sin
y sin cos
( x, y )
y
( , )
0
хcos уsin
xsin ycos
(4)
x
x
Распределение источников излучения s(ξ,θ) :
s , s cos sin , sin cos
Распределение линейного коэффициента поглощения μ(ξ,θ):
, cos sin , sin cos
Тогда выражение для проекции p(ξ,θ) – интенсивность излучения,
выходящего из объекта, будет иметь вид:
L2
s ,
p ,
exp
,
d
d
2
l1 4 R
l2
(5)
6

7.

2.3. Влияние геометрического ослабления
и ослабления излучения веществом
2.3.1. Геометрическое ослабление
при равномерном распределении источников [sΘ(ξ,ϛ) = const = C] и
отсутствии поглощения [μΘ(ξ,ϛ) = 0] равно:
l2
С
С
p ,
d
2
4
l1 4 R
d
С
(l2 l1 )
2
4 ( R l2 )( R l1 )
l1 R
l2
Если не учитывать зависимость фактора геометрического ослабления
от ϛ [т.е. (R - ϛ) = R], то получим:
l
С
С (l2 l1 )
~
p ,
d
2
4 R
4
R2
l
2
1
Тогда относительный вклад учёта фактора ϛ при характерных размерах
томографии головы человека (R = 25 см; l1 = -l2 = 8 см) составит:
2
2
2
2
~
p
,
p
,
R
R
l
R
l
R
R
l
R
l
l
8
~
1
2
p ,
0.102
2
p ,
R
R2
R 25
т.е. геометрическое ослабление вносит искажения на уровне 10%.
7

8.

2.3.2. Ослабление излучения веществом
при равномерном распределении источников [sΘ(ξ,ϛ) = const = C],
при равномерном распределении поглощения - [μΘ(ξ,ϛ) = const = μ]
и отсутствии геометрического фактора равно:
L2
l2
C
p , С exp , d d С exp L2 d e L2 l 2 e L2 l1
l1
l1
l2
Если не учитывать поглощение излучения в веществе (т.е. μ = 0),
то получим:
l
~
p , Сd С l2 l1
2
l1
Тогда относительный вклад учёта фактора поглощения излучения в
веществе μ при характерных размерах L2 = 8 см; l1 = -l2 = 8 см), μ = 0.15 см-1
для источника 99mTc (Еγ = 140 кэВ) в мягких тканях человека составит:
p , ~
p , e L l e L l e l l e0 e 2 l 2 l 1 0.09 2
1.64
L l
L l
0
2 l
p ,
e
e
e e
1 0.09
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
т.е. относительный вклад фактора поглощения излучения в 16 раз больше
вклада фактора геометрического ослабления. Следовательно, ослаблением
излучения в веществе пренебречь нельзя.
8

9.

Тогда уравнение для проекции примет следующий вид
(несущественные постоянные множители отброшены):
L2
p , s , exp , d d
l1
l2
Если бы μ(x,y) = 0, то это выражение превратилось бы в
преобразование Радона относительно s(x,y), к
которому применимы методы, рассмотренные в
трансмиссионной РКТ.
Если считать μ(x,y) неизвестной функцией, подлежащей определению
[как и s(x,y)], то задача становится слишком
сложной для решения, т.к. нужно по одной
двумерной функции р(ξ,Θ) восстановить две
двумерные функции - μ(x,y) и s(x,y). Возможное
решение задачи – использование алгебраических
методов.
Если считать μ(x,y) произвольной, но известной функцией (например,
с помощью РКТ), то решение этой задачи возможно,
по-видимому, только в алгебраической форме.
9

10.

2.4. Вид экспоненциального преобразования Радона
Будем считать, что μ(x,y) = μ = const (промежуточный случай),
для которого найдено аналитическое решение.
Тогда:
l2
p , s , е L2 d
(6)
l1
Учитывая, что конфигурация области, ослабляющей излучение,
известна (сам исследуемый объект), можно скорректировать каждую
проекцию на постоянный для неё множитель ехр(-μL2).
Тогда уравнение ( 6) примет вид:
l2
p , s , е d
l1
Т.к. s(x,y) = 0 вне интервала [l1; l2], пределы интегрирования можно
продлить до бесконечности:
p ,
s
,
е
d
s
х
,
,
,
y
,
,
е
d
s
cos
sin
,
sin
cos
е
d
(7)
10

11.

Это выражение называется экспоненциальным преобразованием Радона.
С помощью δ-функции Дирака его можно представить в виде:
p ,
x sin y cos
s
x
,
y
x
cos
y
sin
е
dxdy
(8)
Целью коррекции ослабления излучения является получение из
исходных проекций таких скорректированных проекций, которые
совпадали бы с проекциями, полученными в отсутствие поглощающей
среды. Тогда для обращения этих скорректированных проекций
относительно s(x,y) можно применить методы, рассмотренные в
трансмиссионной РКТ.
Большинство приближённых методов коррекции основаны на:
использовании оппозитных проекций [p(ξ,ϛ) и p(-ξ,Θ+π)].
методе корректирующей матрицы (не использующем
оппозитные проекции), основанным на итерационном применении
алгоритмов трансмиссионной РКТ с коррекцией ослабления
излучения в каждой точке (пикселе) получаемого изображения.
11

12.

3. Приближённые методы обращения
экспоненциального преобразования Радона.
3.1. Использование оппозитных проекций
Напомним выражения для прямой p(ξ,Θ) и оппозитной p(-ξ,Θ+π) проекций:
l2
p , s еxp L2 d
l1
p ,
l1
l2
s exp L d s exp L d
1
l2
1
l1
Пусть на линии проецирования находится только один
точечный источник s(ϛ) = Cδ(ϛ-ϛ0).
Тогда при отсутствии поглощающей среды [μ(x,y)=0]
прямая и оппозитная проекции равны:
p , 0 p , 0
а при её наличии:
p , 0 C exp L2 0
p , 0 C exp L1 0
12

13.

p , ,
Покажем, что выражение для скорректированной проекции ~
совпадающей с проекцией, полученной в отсутствие поглощающей
среды, является среднее геометрическое значение, умноженное на
известный множитель, равный exp L2 L1
~
p , 0 ~
p , 0
2
~
p , ~
p ,
L2 L1
С exp L2 0 L1 0 C exp
2
Существенно, что скорректированная проекция не зависит
от позиции точечного источника на линии проецирования.
13

14.

3.2. Метод корректирующей матрицы
Алгоритм использования корректирующей матрицы:
сначала восстанавливают «нулевое» приближение s0(х,у) к искомой
функции s(х,у) по измеренным проекциям p(ξ,Θ) при помощи методов РКТ;
затем находят первое приближение s1(х,у) с использованием выбранных
элементов матрицы с(х,у), корректирующей ослабление излучения в среде :
s1(х,у) = с(х,у)·s0(х,у)
1
2
1
exp l d ; l L2 x sin y cos
где: c x, y
2 0
по найденному приближению s1(х,у) вычисляют проекции p1(ξ,Θ) и
определяют их отклонение от измеренных проекций по формуле:
pl1(ξ,Θ) = p(ξ,Θ) - p1(ξ,Θ);
по этому отклонению находят элементы распределения sl1(х,у), также
используя методы РКТ;
затем находят второе приближение s2(х,у) к искомой функции s(х,у) по
формуле:
s2(х,у) = s1(х,у) + с(х,у)·sl1(х,у)
Затем процесс коррекции повторяется.
Как правило, процесс сходится за 1-2 итерации.
14

15.

Определение корректирующей матрицы с(х,у).
Рассмотрим точечный источник s(х,у) = Cδ(х-х0)·δ(у-у0).
Запишем выражение для проекции (8) в виде:
p ,
L2 x sin y cos
s
x
,
y
x
cos
y
sin
е
dxdy
L2 x sin y cos
C
x
x
y
y
x
cos
y
sin
е
dxdy
0
0
l L2 x0 cos y0 sin
C e l
x cos y sin
Применим к проекциям метод фильтрованных обратных проекций для
РКТ с фильтром Рамагандрана и Лакшминарайянана и получим:
15

16.

f ,
p , h d
0
1
0
0
02
1
2 0 0
p 0 ,
sin
c
sin
c
d 0
0
0
2
2
2
02
1
2 0 0
C
sin
c
sin
c
exp l
0
0
2
2
2
Выполнив операцию обратного проецирования в точке [x0,y0] найдём:
~
s x0 , y0 s x, y x x0
y y0
1
2
2
0
1
2
2
f x cos y sin , d
0
x x0
y y0
2
02
f , d C 2 exp l d
4 0
(при ξ → ξ sinc[ ] → 1, a {sinc[ ] - sinc2[ ]/2} → 1/2
16

17.

Определим элементы корректирующей матрицы с(х0,у0)·следующим образом:
~
s x0 , y0 0
c x0 , y0 ~
s x , y
0
0 0
C 02
C 02
4
1
2
2
2 exp l d
2
2
0 exp l d
1
0
Это выражение можно записать в дискретном виде:
1
c x0 , y0
M
exp
l
i
i 1
M
1
где М – общее количество проекционных лучей,
проходящих через точку [x0,y0].
Фактически, с(хk,уj)·- величина, обратная среднеарифметическому от
[exp(-μlΘi)], которую можно подсчитать, зная μ и контуры L2 для всех [x,y].
17

18.

КОНЕЦ 2-ОЙ ЧАСТИ
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
18

19.

Обратное проецирование в эмиссионной
вычислительной томографии.
19