Степенная функция

1. Степенная функция

2.

Нам знакомы функции
у
у=х
у = х2
Прямая
Парабола
х
у
у = х3
1
у
х
у
х
у
Кубическая
Гипербола
парабола
х
х

3.

у = х,
у=
х2,
у=
х3,
1
у
х
Все эти функции являются частными
случаями степенной функции
у = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число
Свойства и график степенной функции
зависят от значения показателя n

4.

Показатель – четное натуральное число (2n)
у = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, …
у
D( y ) : x R
у = х2
Е ( y) : у 0
0
1
х
График четной функции
Область определения
значений
функции
симметричен
относительно
оси–Оу.–
Область
функции
множество
значений,
График
нечетой
функции
значения,
которые
может
которые может
принимать
симметричен
относительно
принимать
переменная
х начала
переменная
у О.
координат
– точки
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)2n = х2n
Функция убывает на
промежутке
( ;0]
Функция возрастает
на промежутке [0; )

5.

y
у = х2
у = х4
у = х6
-1 0 1 2
x

6.

Показатель – нечетное натуральное число (2n-1)
у = х3, у = х5, у = х7, у = х9, …
у
D( y ) : x R
Е ( y) : у R
у = х3
Функция у=х2n-1 нечетная,
т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1
0
1
х
Функция возрастает
на промежутке ;

7.

y
у = х3
у = х5
у = х7
-1 0 1 2
x

8.

Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число
у = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, …
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
0
х
1
Функция у=х-(2n-1)
нечетная,
т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1)
Функция убывает на
y х
1
1
y
х
промежутке
( ;0)
Функция убывает
на промежутке
(0; )

9.

y
у = х-1
у = х-3
у = х-5
-1 0 1 2
x

10.

Показатель р = – 2n, где n – натуральное число
у = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, …
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
0
y х
2
1
1
y 2
х
х
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)-2n = х-2n
Функция возрастает на
промежутке
( ;0)
Функция убывает
на промежутке
(0; )

11.

y
у = х-2
у = х-4
у = х-6
-1 0 1 2
x

12.

y
у = х-4
-1 0 1 2
у = (х – 2)-4
x

13.

y
у = х-4
-1 0 1 2
у = х– 4 – 3
x

14.

y
у = х-4
у = (х+1)– 4 – 3
-1 0 1 2
x

15.

y
у = (х-2)– 3– 1
у = х-3
-1 0 1 2
x

16.

Ф-ции
и
им
соответствует чёрная, красная и синяя линии

17.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.
Область определения: множество всех неотрицательных действительных
чисел
.
При x=0 функция
принимает значение, равное нулю.
Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
Область значений функции:
Функция
.
при четных показателях корня возрастает на всей области
определения.
Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области
определения, точек перегиба нет.
Асимптот нет.
График функции корень n-ой степени при четных n проходит через
точки (0,0) и(1,1).

18.

черная,
красная
и
синяя
кривые.

19.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.
Область определения: множество всех действительных чисел.
Эта функция нечетная.
Область значений функции: множество всех действительных чисел.
Функция
при нечетных показателях корня возрастает на всей
области определения.
Эта функция вогнутая на промежутке
и выпуклая на
промежутке
, точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
Асимптот нет.
График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через
точки (-1,-1),(0,0) и (1,1).