Простые числа

1. Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

Да, может, но при условии, что одно из этих чисел будет равно 2, иначе
мы получим сумму двух нечётных чисел, которая в результате будет чётным
числом, следовательно, делится на 2 и не является простым.
Пример: 5+2=7, 2+3=5, 11+2+13
5+3=8, 13+5=18
7; 5; 13 – простые числа.
8; 18 – составные числа.

2. Может ли сумма двух последовательных натуральных чисел быть простым числом?

2+3=5, 3+4=7, 5+6=11, 6+7=13, 8+9=17; 5,7,11,13,17 – простые числа;
Попробуем показать это в общем виде:
Пусть n и n+1 два последовательных натуральных числа, значит одно
из них четное и делиться на 2. Тогда их сумма будет равна n+n+1=2n+1.
Если n>2 и n – чётное, то после сокращение n на 2 получится число,
большее одного. Тогда данная сумма будет равна произведению двух чисел,
больших 1 и меньших её самой (одно из них –это (n+1), другое то, что
получилась после сокращения n на 2). Значит, эта сумма не может быть
простым числом, так как имеет делители, отличные от 1 и самой себя
Пример: n=4 4+4+1= 2×4+1
Аналогично рассматривается случай, когда n>2 и n – нечётное. (В этом
случае, (n+1) – чётное и большее 2.)
Пример: n=5 5+5+1= 2×5+1
Осталось два возможных случая: n=1 и n=2. Если n=1, то сумма будет
равна 2n+1=2×1+1+2=3 – простое число. Если n=2, то 2n+1=2×2+1=5 – тоже
простое число.
Ответ. На основании этого
можно сказать, что сумма двух
последовательных натуральных чисел может оказаться простым числом.

3. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Проведем рассуждения в общем виде:
Пусть n, n+1 и n+2 – три последовательных натуральных числа, тогда их
сумма равна n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1), то есть всегда делиться на 3,
следовательно составное число.
Пример: n=5
5+(5+1)+(5+2)= 3×5+3=3×(5+1)
18=18=18
18 – делиться на 3;
составное число.
Ответ. Нет, не может, так как полученная сумма является составным
числом.

4. Может ли сумма четырёх последовательных натуральных чисел быть простым число?

Пусть, n n+1 и n+2 и n+3 – четыре последовательных натуральных числа,
тогда их сумма равна
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=2×(2×n+3),
следовательно, составное число.
то
есть
всегда
делиться
на
Пример: n=3
3+(3+1)+(3+2)+(3+3)= 4×3+6= +6=2×(2×3+3) 18=18=18
18 – делиться на 2; составное число.
Ответ. Нет, не может, так как полученная сумма является составным числом.
2,

5. Может ли любое натуральное число быть представлено в виде произведения простых чисел?

Разложим число n, где n - составное число и 16< n <31 на простые множители:
16=2×2×2×2=2⁴, 18=2×3×3, 20=2×2×5.
Вывод: Из данного разложения замечаем, что любое n может представлено в виде произведения, не более
трёх простых множителей.
Возникает вопрос: любое ли натуральное число представимо в виде произведения простых множителе?
Ответ на поставлены вопрос даёт основная теорема арифметики:
Всякое натуральное число n<1 либо простое, либо может быть представлено, и притом единственным
образом, в виде произведения простых множителей.

6. Может ли площадь квадрата, длина стороны которого выражена натуральным числом, быть простым числом?

Пусть a – длина стороны квадрата, тогда его площадь равна a×a.
Отсюда следует, что площадь квадрата составное число, так как
имеет своим делителем ещё a.
Например, если сторона равна 13, то его площадь равна 169, и
имеет делителями 1, 13, 169.
Ответ. Нет, не может.