Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Областью определения факторов называется диапазон изменения их
значений, принятый при реализации плана эксперимента:
Для двухфакторного эксперимента область определения представляет
собой прямоугольник, рис. а, для трехфакторного — прямоугольный
параллелепипед, рис. б, для k-факторного — k-мерный параллелепипед.

3. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
После выявления значимых факторов области их определения
устанавливают их уровни. Уровнем фактора называется его значение,
фиксируемое в эксперименте.
Различают верхний, нижний и нулевой уровни. Верхний и нижний уровни
соответствуют границам области определения: Xi max и Xi min. Нулевой
уровень соответствует середине интервала.
Интервалом варьирования называют величину, равную максимальному
отклонению уровня фактора от нулевого:

4. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Шаг (интервал) варьирования по каждой переменной выбирается
таким, чтобы приращение величины выходного параметра y к
базовому значению y* при реализации шага можно было
выделить на фоне «шума» при небольшом числе параллельных
опытов.
Если нет никаких указаний на величину шага xi, то в первом
приближении можно выбрать xi = 0,15x0i, т.е. принять за шаг
15 % - ное отклонение от базового уровня x0i. Такой шаг
предоставляет достаточную гарантию того, что фактор xi вызовет
заметную реакцию y, если связь между ними существует.

5. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Размер интервала варьирования определяется многими факторами, но
упрощенно можно ограничиться следующим:
если интервал составляет менее 10 % от области определения, он
считается узким; если не более 30 % – средним; более 30 % –
широким.
Точность фиксирования (определения) факторов определяется точностью
приборов и стабильностью в ходе опыта. Упрощенно можно полагать,
что если погрешность составляет:
< 1 % – высокая точность,
< 5 % – средняя точность,
>10 % – низкая точность эксперимента.

6. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Низкая точность
Характеристика кривизны поверхности отклика
Линейная
Нелинейная
Широкий
Не однозначно
Увеличение
точности
Не известно
Средний
Увеличение числа
повторных опытов
Интуитивно
Рекомендации по выбору интервалов
варьирования факторов

7. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Средняя точность
Характеристика кривизны поверхности отклика
Линейная
Нелинейная
Не известно
Широкий
Узкий
Средний
Рекомендации по выбору интервалов
варьирования факторов

8. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Высокая точность
Характеристика кривизны поверхности отклика
Линейная
Широкий
Нелинейная
Не известно
Узкий
Средний
Средний
Рекомендации по выбору интервалов
варьирования факторов

9. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней
факторов, называется полным факторным экспериментом.
Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить
математическое описание исследуемого процесса в некоторой
локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности
выбранной точки с координатами (x01, x02, … x0n). Перенесем начало
координат факторного пространства в эту точку
+1
x2
x2
0
x02
–1
x1
x01
x1

10. Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЫ ВАРЬИРОВАНИЯ И
УРОВНИ ФАКТОРОВ
Введем новые переменные:
где xi – масштаб по оси xi.
Иногда величину Xi называют кодированной переменной.
Метод полного факторного эксперимента служит для получения
математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора.
Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на
основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе
отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это
обстоятельство, в уравнении вместо символов , обозначающих
истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим
соответствующие выборочные оценки.

11. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Итак, с помощью полного факторного эксперимента ищут математическое
описание процесса в виде уравнения
Его называют уравнением регрессии, а входящие в него коэффициенты –
коэффициентами регрессии.
В планировании экспериментов используются, в основном, планы первого
и второго порядков.
Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе
полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях,
соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

12. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
В табл. приведены условия опытов полного двухфакторного эксперимента.
Номер опыта
Факторы
X1
–1
+1
–1
+1
1
2
3
4
X2
–1
–1
+1
+1
Функция
отклика
y1
y2
y3
y4
Опыты, приведенные в табл. соответствуют на факторной плоскости
вершинам квадрата с центром в начале координат.
x2
№3
+1
–1
№1
№4
+1
–1
x1
№2

13. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
План эксперимента принято составлять в виде матрицы планирования —
таблицы, каждая строка которой соответствует некоторому сочетанию
уровней факторов, которое реализуется в опыте.
Существует несколько приемов построения матрицы. При фиксации
каждого фактора только на двух уровнях (–1 и +1), наиболее
распространен прием чередования знаков.
Прием состоит в том, что для первого фактора знак меняется в каждой
следующей строке, для второго — через строку, для третьего — на
каждой четвертой строке и т.д. Построенные таким образом матрицы
для двух, трех и четырех факторов приведены в табл.

14. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Номер опыта
ПФЭ 22
ПФЭ 23
ПФЭ 24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
X0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
X1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
Факторы
X2
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
X3
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
X4
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Парамет
р
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
y11
y12
y13
y14
y15
y16

15. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Фактор X0 – фиктивный и введен для удобства определения свободного члена
полинома b0. Значение фактора X0 всегда равно +1.
Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств, позволяющих проверить правильность их
составления:
1. Свойство симметричности – каждый фактор в матрице на верхнем уровне
встречается столько же раз, сколько и на нижнем (алгебраическая сумма
элементов вектор – столбца каждого фактора равна нулю)
где j – номер фактора;
N – число опытов.

16. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
2. Свойство нормировки – каждый фактор в матрице встречается только на
уровнях –1 и +1 (сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу
опытов)
3. Свойство ортогональности – суммы почленных произведений двух любых
столбцов равны нулю
4. Свойство ротабельности – точки в матрице выбираются так, что точность
предсказания параметра одинакова во всех направлениях.

17. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Рассмотрим снова матрицу планирования 22. Предположим, что для
движения к оптимуму нужна линейная модель типа y = b0 + b1X1 + b2X2.
Наша задача – найти неизвестные коэффициенты, причем эксперимент,
содержащий конечное число опытов, позволяет получить только
выборочные оценки для коэффициентов уравнения. Их точность зависит
от свойств выборки и нуждается в статистической проверке.
Оценки коэффициентов вычисляются по простой формуле

18. Полный факторный эксперимент

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Для нашего случая
Коэффициент