Геометрический подход к задачам баллистики

1.

Д.В. Подлесный
научный руководитель ГБОУ Республики Мордовия
«Республиканский лицей для одарённых детей»
Геометрический подход
к задачам баллистики

2. Законы равноускоренного движения в координатном виде:

axt 2
,
x x0 V0 x t
2
2
a
t
y
y y0 V0 y t 2 .
Vx V0 x a x t ,
V y V0 y a y t.

3.

Задача на оптимальное бросание камня
r
V0
a -?
1. Как нужно бросить камень,
чтобы дальность полета L
была максимальна?
h
r
g
2. Как нужно бросить камень,
чтобы попасть в цель при
минимальной начальной
скорости?
L
r
V

4. Классический способ решения

L V0 cosa t ,
gt 2
.
0 h V0 sin a t
2
2
t
V sin a 2h
V0 sin a
;
0
g
g
g
2
V sin a
V
sin
a
2
h
.
L V0 cosa 0
0
g
g
g

5.

Подлесный Д.В., Александров Д.А. О движении тела, брошенного
под углом к горизонту // Потенциал, 2010. – №1. – С.25-30.

6. Векторные уравнения:

r2
r
r r
at
r r0 V0t
,
2
r r r
V V0 at.
r
r
r
2
r r r
r
V0t Vt
at
S r r0 V0t
.
2
2
2

7. При равноускоренном движении скорость тела в любой момент времени t направлена всегда вдоль медианы «треугольника перемещений»!

r
V0t
r
V0
r
at
r
V
1r
V0t
2
1r
Vt
2
r
at 2
2
r
S
r
V
Треугольник скоростей
Треугольник перемещений
r
При равноускоренном движении скорость тела Vв
любой момент времени t направлена всегда
вдоль медианы «треугольника перемещений»!

8.

Решение задачи на оптимальное бросание камня
(геометрический подход)
1 t
2 V0
r
V0
1
2
L
a
1 Vt
2
h
1 t2 1
1 1
1
g L V0t Vt sin
2
2 2
2 2
2
L
1
2
gt 2
r
g
V0V
sin
g
sin 1
L
r
V
90 о
V V02 2 gh
V0 V02
Lg
2 gh
sin

9.

При «оптимальном бросании»
треугольник скоростей – прямоугольный,
треугольник перемещений – равнобедренный!
r
V0
r
V
r
V0t
a
r
gt
r2
gt
2
r
S
r
V
90о
gt 2
S
2

10.

Угол оптимального бросания
r
V0
r
V
a
90о
r
gt
a
V0
V0
tga
V
V02 2 gh
a arctg
V0
V02 2 gh

11.

Задача №1
r
V0
Камень брошен с башни
так,
что
дальность
полёта
Начальная
его
максимальна.
скорость
r
g
камня
V0 = 30 м/с, конечная V = 40 м/с.
Найдите время полёта камня.
Сопротивление
учитывать.
воздуха
не
r
V

12.

Решение задачи №1
r
V0
r
V
90
r
gt
о
gt V V
2
0
t
V02 V 2
g
2
5с

13.

Задача №2
Камень брошен с башни
так,
что
дальность
полёта
r
V0
r
g
его
максимальна.
Найдите время полёта камня,
если
точка
падения
камня
S
отстоит от точки бросания
на
расстоянии
Сопротивление
учитывать.
S
=
80
воздуха
м.
не
r
V

14.

Решение задачи №2
r
V0t
r
V0
r
S
r2
gt
2
r
V
gt 2
S
2
t
2S
4с
g

15.

Задача №3
Камень бросают с горы, имеющей постоянный угол
наклона γ к горизонту. Под каким углом α к поверхности горы
нужно бросить камень, чтобы дальность его полета S была
максимальной?
r
V0
a ?
r
S
r
V

16.

Решение задачи №3
r
V0t
a
a
r
S
2a (90 ) 180
о
a
a 45
r2
gt
2
90
r
V
2

17.

Задача №4
С
вершины
купола,
имеющего
форму
полусферы
и
стоящего на горизонтальной поверхности земли, бросили
камень. Под каким углом a к горизонту был брошен камень,
если известно, что в полёте он коснулся купола в некоторой
точке Р? Радиус купола, проведённый к этой точке, образует
угол с вертикалью. Сопротивление воздуха не учитывать.
α-?
Р

18.

B
Решение задачи №4
90 о a
x
AE EB x
E
EP y
x
A
a
y
D
2
90о
2
по теореме синусов:
x
y
sin
P
O
sin( 90 о )
.
о
sin( 90 a )
sin( a )
2
2
tga tg tg 2
2

19.

Задача №5
C вершины купола, имеющего форму полусферы радиуса R
и стоящего на горизонтальной поверхности земли, бросают
камень. С какой минимальной скоростью V0 можно бросить,
чтобы
в
процессе
своего
полёта
он
не
ударился
о
поверхность купола? Под каким углом a к горизонту его
следует бросать при этом? Сопротивление воздуха не
учитывать. Касание поверхности купола допускается.
r
V0
a-?
R

20.

B
Решение задачи №5
90о a
E
a
A
2
R
a
2
S
R
r
V0t
D
r
S
C
O
90о a 60о
gt 2
R
2
a 30о
t
2R
g
gt 2
S V0t
2
30 о
60о
V0t R
V0
2
S R
Rg
2
r2
gt
2