Прямой метод решения уравнений в матричной форме. Организация итерационного процесса. Проблема сходимости численных схем

1.

Московский инженерно-физический институт
(государственный университет)
Физико-технический факультет
Лекция 14
Прямой метод решения уравнений в
матричной форме.
Организация итерационного процесса.
Проблема сходимости численных схем.
Улучшенные итерационные методы.
Внутренние и внешние итерации.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

2.

Прямой метод решения уравнений в матричной форме
Рассмотрим уравнение в матричной форме в виде:
A
=
Q
A
Диагональные компоненты матрицы
положительны, в то время как
недиагональные члены - отрицательны или равны нулю. Сумма
недиагональных элементов в любом данном ряду меньше,
чем
диагональный элемент. Таким образом, матрица A является
неприводимой
диагонально преобладающей.
1 Следовательно, для
матрицы A существует обратная матрица A , и решение уравнения
можно записать в виде:
1
= A Q
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

3.

Организация итерационного процесса
Запишем матрицуA в виде
суммы
трех матриц:
A = D U V
где D – диагональная матрица (отличные от нуля
элементы
находятся только на основной диагонали), U – верхняя
треугольная матрица (отличные от нуля
элементы находятся
только выше основной диагонали) и V – нижняя треугольная
матрица (отличные от нуля элементы находятся ниже основной
диагонали).
D = ( U + V ) + Q
Итерационный процесс можно определить следующим образом:
1
( i 1) 1 (i )
= D (U +V ) + D Q
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

4.

Проблема сходимости численных схем
Итерационный процесс
до тех пор, пока разность
( i 1)
(i ) продолжается
между потоками и
на двух последующих итерациях не
будет меньше заданного критерия. В зависимости от физических
особенностей решаемой задачи и организованной итерационной
схемы может возникнуть проблема сходимости или скорости
сходимости итерационного процесса.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

5.

Улучшенные итерационные методы
При расчете любой компоненты ( i 1) в правой части уравнения
будут использоваться
(i ) только значения потока из последней
итерации, т. е. . Может оказаться,
что после того, как
( i 1)
, более предпочтительно
рассчитана новая компонента
(i )
использовать именно ее, а не для определения последующих
компонент ( i 1) :
( D – V ) = U + Q
Так как матрица ( D – V ) треугольная, включая основную
диагональ, то можно легко
( i 1)найти обратную ей или решить
уравнение относительно .
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

6.

Внутренние и внешние итерации
Организация итерационного процесса, включающая внутренние
и внешние итерации, основана на идее вычисления
компонент
( i 1)
( i 1)
(i )
на базе только вычисленных компонент и
на
внутренних итерациях. На внешних итерациях производится
пересчет источника с учетом всех вычисленных ( i 1). Часто на
внутренних итерациях решается уравнение с фиксированным
источником деления, а полученное решение в итерациях по
рассеянию используется для пересчета источника деления.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений