Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось

1. Дискретная математика

Векторы и прямые
произведения множеств.
Проекция вектора на ось

2.

Вектор – это упорядоченный набор
элементов (“кортеж”). Его элементы
зазываются координатами или
компонентами вектора.
Длина (размерность) вектора –
число координат вектора.
В отличие от элементов множества,
его координаты могут совпадать.
Обозначение вектора: в круглых
скобках, координаты – через
запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда
скобки и даже запятые опускаются.
2

3.

Векторы длины 2 называют
упорядоченными парами; длины 3 –
тройками; и т.д., длины n – n-ками.
Два вектора равны, если они имеют
одинаковую длину, и соответствующие
координаты равны,
т. е. a1 , a2 , ..., am b1 ,b2 , ...,bn
если m n и
a1 b1 , a2 b2 ,..., am bn .
3

4.

Прямое произведение n множеств
A1 , A2 ,..., An
(обозначается A1 A2 ... An )
называется множеством всех векторов
(a1 , a2 ,..., an ) , длины n таких, что
a1 A1 , a2 A2 ,..., an An .
Иначе говоря
A1 A2 ... An
a1 ,a2 ,...,an : a1 A1 ,a2 A2 ,...,an An .
4

5. Пример:

Найти прямое произведение множеств
A1 , A2 и A3 где A1 0,1 , A2 т ,п , A3 1,3
Перечисляем
тройки
элементов
в
лексико-графическом порядке.
A1 A2 A3 0,т ,1 , 0,т,3 , 0,п ,1 ,
0,п,3 , 1,т,1 , 1,т,3 , 1,п,1 , 1,п,3
5

6.

Пусть А – конечное множество,
элементами которого являются
символы (буквы, цифры, знаки
препинания, знаки операций и т. д.).
Такие множества обычно называют
алфавитом.
Примеры алфавитов:
1) 33 русских буквы, 2) 26 латинских букв, 3) 10
арабских цифр; 4) список символов клавиатуры
компьютера.
6

7.

Слова длины n в алфавите А – это элементы
множества An . Множество всех слов в
алфавите А – это множество
A U A A U A U ... U A U ...
i
1
2
n
i N
Здесь слово определено как вектор.
При написании слова не принято
пользоваться разделителями: скобками,
запятыми; они могут оказаться символами
самого алфавита. Поэтому слово в алфавите
обозначается как конечная
последовательность символов из алфавита А.
7

8. Примеры:

1) Десятичное число – слово в
алфавите цифр {0, 1, 2, 3, ... , 9}.
2) Текст, отпечатанный на машинке –
слово в алфавите, определяемом
клавиатурой этой машинки.
8

9. Теорема (о мощности прямого произведения множеств).

Пусть
A1 , A2 ,..., An
конечные множества и
A1 m1 , A2 m2 ,..., An mn .
Тогда мощность множества A1 A2 ... An
равна произведению мощностей
множеств: A1 A2 ... An m1 m2 ... mn .
9

10. Следствие:

A A .
n
n
Например, множество
B3
двоичных векторов длины 3, содержит
3
B3 B B 2 .
3
10
3

11. Проекции множества векторов на оси

Проекцией вектора
v a1 , a2 , ...,an
длины n на i-ю ось называется его i-я
координата. Обозначается это так:
прi v ai
Например:
v в , п , л , тогда пр1 v в , пр3 v л.
11

12.

Проекцией вектора
v a1 , a2 , ...,an
длины n на оси с номерами i1 , i2 ,...,ik
называется вектор, составленный из
соответствующих координат.
Обозначается это так:
прi1 , i2 , ...ik v ai1 , ai2 , ..., aik
Например:
12
v в , п , л , тогда пр1,2 v в , п .

13. Пусть дано множество V векторов одинаковой длины

Проекцией множества векторов на i-ю ось
называется множество проекций на i-ю ось
всех его векторов. Обозначается это так:
прi V прi v : v V
Например:
V a ,b,c , d ,c ,a , тогда
пр2 V b ,c , пр3 V c ,a
13

14.

Проекцией множества векторов на оси
с номерами
i1 , i2 ,...,ik называется
множество проекций на оси с номерами
i1 , i2 ,...,ik всех его векторов. Обозначается:
прi1 , i2 , ...ik V прi1 , i2 , ...ik v : v V .
Например:
V a ,b,c , d ,c ,a , тогда
пр1,2 V a ,b d ,c .
14

15.

Выучить или переписать
в тетрадь определения на
слайдах
2-4, 9-14
15