Основные понятия теории множеств

1.

§1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

2.

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
1.1.1. Множества, способы задания
множеств

3.

Определение Кантора. Под
множеством
понимают объединение в одно целое объектов,
хорошо различимых нашей интуицией или нашей
мыслью.
Гео́рг Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand
Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, СанктПетербург — 6 января 1918, Галле (Заале))
— немецкий математик. Он наиболее
известен как создатель теории множеств,
ставшей
краеугольным
камнем
в
математике.

4.

Множество — это совокупность объектов
любой природы, рассматриваемая как единое
целое.
Обычно
множества
обозначают
прописными латинскими буквами .
Пример. Множество натуральных чисел
N 1, 2, 3, ...

5.

a A
Объекты, образующие множество, называются
элементами множества
(обозначаются маленькими
буквами). Если элемент a входит во множество A, то это
обозначается так:
a A
Запись
вида
a A
означает, что элемент не принадлежит множеству .
Множество,
содержащее
конечное
число
элементов, называется конечным (в противном случае –
бесконечным).

6.

Если множество
конечно, то число его
элементов называется мощностью множества и
обозначается.
A
Если множество не содержит ни одного
элемента, то оно называется пустым.

7.

Множество A является подмножеством
множества B, если любой элемент A принадлежит
также множеству B.
A B

8. Равенство множеств.

Множества A и B равны тогда и только тогда,
когда их элементы совпадают. В этом случае
пишут:
A B
Так как при равенстве множеств A и B во
множестве A нет элементов, не принадлежащих B, а
в B нет элементов не принадлежащих A, то
признаком
равенства
множеств
является
одновременное выполнение двух условий:
A B и B A

9.

Если ,
называется
множества B.
A B и B A
собственным
A B
A
B
то множество A
подмножеством

10.

Диаграмма
Венна
(также
используется
название диаграмма Эйлера — Венна) —
схематичное
изображение
всех
возможных
пересечений нескольких (часто — трёх) множеств.
Эйлер, Леонард (1707—
1783) — швейцарский,
немецкий и российский
математик и механик.
Джон
Венн
английский
логик и философ. Он
известен тем, что ввёл
диаграммы
Эйлера
—
Венна,
которые
используются во многих
областях, таких как теория
множеств,
теория
вероятностей,
логика,
статистика и информатика.

11.

Пример. Диаграмма Венна которая демонстрирует
пересечение заглавных букв русского, латинского и
греческого алфавитов.

12.

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены,
например, свойства: B — живое существо, A —
человек, C — неживая вещь

13.

Одним из частных случаев является ситуация,
когда элементами некоторого множества являются
другие множества.
Пример 1. Пусть – множество футболистов
команды «Спартак», – множество команд высшей лиги.
Пример 2. Пусть A={1,3,5,7}, D={2,4,6,8}.
B={A,B}={{1,3,5,7},{2,4,6,8}}
Вопрос. 1. Равны ли множества Ø и {Ø}?
2.Является
ли
множеством
совокупность элементов {1,2,3,1,7,5}?
следующая
3. Равны ли множества A={1,2,3} и B={3,2,1}?

14.

Если в рамках некоторого класса задач
рассматриваются различные множества, то полная
совокупность всех элементов, из которых могут
формироваться все множества и подмножества,
образует универсальное множество – “Универсум” или
полное пространство.
Обозначается
универсальное
символом U (генеральная совокупность).
множество

15.

Способы задания множеств:
1. Перечислением всех его элементов.
Пример. A={a,b,c,d} ; B={0,1,3,8,9}
2. Порождающей процедурой. Порождающая
процедура представляет собой правило получения
элементов множества на основе уже имеющихся
элементов либо из других объектов. Элементами
множества считаются все объекты, которые
получены с помощью этой процедуры.
Пример. В={b | b=π/2±kπ, k - принадлежит
множеству натуральных чисел} или C={x | H(x)}

16.

3. Описанием характеристик и свойств, которыми
обладают все элементы множества.
Например,
A x x N , x 100

17.

1.2.1. Основные операции над множествами
и их свойства

18.

Основные операции над множествами:
– объединение множеств;
– пересечение множеств;
– разность множеств;
– симметричная разность;
– дополнение.

19.

1. Объединение множеств A B – это множество,
состоящее
из
тех
элементов,
которые
принадлежат хотя бы одному из исходных
множеств: A B x x A или x B
Пример: A a , b, c , B b, c, d , m , A B a , b, c, d , m
Диаграмма Венна:
A
B

20.

2. Пересечение множеств A B – это множество
тех
и
только
тех
элементов,
которые
принадлежат и множеству A, и множеству B:
A B x x A и x B
Пример:
A a , b, c , B b, c, d , m , A B b, c,
Диаграмма Венна:
A
B

21.

3. Разность множеств (A / B) – это множество,
состоящее из тех и только тех элементов
множества A, которые не содержатся во
множестве B.
A \ B x x A и x B
Если
A \ B , то A B
Диаграмма Венна:
A
B

22.

4. Симметричная разность A B – это множество
элементов, принадлежащих множествам A или B
за исключением их общих элементов
A B x x A и x B или x B и x A
Диаграмма Венна:
A
B

23.

5. Дополнением множества A до множества U
(обозначается A ) называется множество всех
элементов U, не принадлежащих множеству A.
Пример. Если A – это множество студентов
кафедры ПОВТ, U – множество всех студентов ЮРГПУ
(НПИ), то дополнением A будет множество всех студентов
университета, кроме студентов кафедры ПОВТ
U
Диаграмма Венна:
A

24.

Основные
свойства
операций
над
множествами. Для всех множеств
A,B,С и
универсального множества
U справедливы
следующие равенства:
A B B A
A B C A B C
A B B A
A B C A B C

25.

A A A
A A
A U U
A A A
A
A U A

26.

A B C A B A C
A B C A B A C

27.

A A
U
A A
U
A A U

28.

A B A B
A B A B

29.

1.2 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

30.

Вектором
(кортежем)
называется
упорядоченный набор элементов. Элементы,
образующие вектор, называются координатами или
компонентами. Координаты нумеруются слева
направо. Число координат называется длиной или
размерностью вектора.
В
отличие
от
элементов
множества
координаты вектора могут совпадать. Обозначение
вектора: (a,b,c), где a,b,c – координаты вектора.
Два вектора равны, если они имеют
одинаковую длину и равны их соответствующие
координаты.

31.

Прямым или декартовым произведением
множеств A и B (обозначается A B ), называется
множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что
a A и b B
A B a , b a A; b B

32.

Пример.

33.

Пусть имеется множество A, элементы
которого являются символами (буквы, цифры,
знаки). Такое множество называется алфавитом.
n
Элементы множества A – слова.
2
R
R
R
Множество
– это множество точек
(пар координат) плоскости (здесь R – множество
всех
действительных
чисел).
Декартово
произведение.
Теорема 1.1. Пусть A1 , A2 , ... , An – конечные
множества и их мощности известны:
A1 m1 , A2 m2 , ..., An mn
Тогда
A1 A2 ... An m1 m2 ... mn
Частный случай:
An A
n
.

34.

Проекцией вектора A a1 , a2 , ..., an на ось i
(обозначается прi A ) называется его компонента ai.
Проекцией вектора на оси i1 ... ik прi A
называется вектор ai1 , ai2 , ..., aik длины k.
Если V
– множество A j
векторов
одинаковой длины, то проекцией V
на i-ю ось
называется множество проекций всех A j на эту
ось:
прi V прi A j A j V