Волновые процессы. (Тема 28)

1. ТЕМА XXVIII ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

§1. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

2. 1. ВИДЫ ВОЛН

Волнами называется процесс
распространения колебаний
в пространстве с течением
времени.
Характерное свойство волн
состоит в том, что перенос
энергии волной происходит
без переноса вещества.
Основными видами волн являются механические (упругие ) волны:
в частности звуковые и сейсмические волны, волны на поверхности воды;
и электромагнитные волны:
в частности световые волны и радиоволны.

3. 2. ПОПЕРЕЧНЫЕ И ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ

В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению
к направлению, в котором распространяется волна,
различают продольные и поперечные волны.
В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления
распространения волны (звуковая волна).
В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях,
перпендикулярных к направлению распространения волны.
Упругие поперечные волны могут возникать лишь в средах,
обладающих сопротивлением сдвигу (кристаллах).
Поэтому в жидкостях и газах возможны только продольные волны.
В твердых телах (кристаллах) возможно существование двух типов волн,
как продольных, так и поперечных волн.

4. 3. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ. ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Распространяясь от источника колебаний,
волновой процесс охватывает все новые
и новые области пространства.
Геометрическое место точек, до которых
доходят колебания к данному моменту
времени, называется фронтом волны
или волновым фронтом.
Фронт волны отделяет часть пространства,
уже вовлеченную в волновой процесс,
от области, в которой колебания еще не
возникли.
Геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе,
называется волновой поверхностью.
Волновую поверхность можно провести через
любую точку пространства,
охваченного волновым процессом.
Волновых поверхностей бесконечно много.

5. 4. ВОЛНЫ ПЛОССКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ

Волновые поверхности могут быть любой
формы. В простейших случаях они имеют
форму плоскости (плоская волна) или сферы
(сферическая волна). В плоской волне
волновые поверхности представляют собой
множество параллельных плоскостей, в
сферической волне – концентрических сфер.

6. 5. ДЛИНА ВОЛНЫ

На рисунке показано
смещение
из положения
равновесия точек с разными
в близкие моменты
и
времени
y
x
t
t t.
Расстояние ,
на которое распространяется
волна за время,
равное периоду колебаний
частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что VT ,
где V – скорость волны, T – период колебаний.
Длину волны можно определить также как расстояние между
ближайшими точками среды, колеблющимися в одной фазе
(с разностью фаз, равной 2 радиан).
Выразив период колебаний T через частоту колебаний
получим
V
V .
:
1
T ,

7. 6. УРАВНЕНИЕ ПЛОССКОЙ ВОЛНЫ (I)

Уравнением волны называется выражение,
которое определяет смещение колеблющейся
частицы от её равновесного положения
как функцию его координат и времени: (r , t ).
Эта функция периодическая относительно времени
и относительно пространственных координат
t
x, y, z.
Упростим ситуацию, направив ось
по направлению
распространения волны. Тогда плоские волновые поверхности будут
перпендикулярными оси
Поскольку все точки
волновой поверхности колеблются одинаково,
то смещение будет зависеть только от
и
x
x.
x
( x, t ).
Колебания точек, лежащих в плоскости
имеют вид
(0, t ) a cos( t 0 ).
t:
x 0
Найдём вид
колебаний в плоскости с произвольным значением
x.

8. 6. УРАВНЕНИЕ ПЛОССКОЙ ВОЛНЫ (II)

x 0 (0, t ) a cos( t 0 ).
Для того, чтобы пройти путь от начала координат
до плоскости с координатой
требуется время
x V, V
x
– скорость распространения волны.
Следовательно, колебания частиц в плоскости
будут отставать по времени на от колебаний
частиц, лежащих в плоскости x 0, то есть
x
( x, t ) a cos[ (t ) 0 ] a cos[ (t x V ) 0 ].
Аргумент гармонической функции – это фаза волны: (t x V ) 0 .
( x, t ) t x 0 t kx 0 ( x, t ) a cos( t kx 0 ).
V
При произвольной ориентации осей
2 2 2
k
.
(r , t ) a cos( t kr 0 ).
V
V
VT
k – волновое число (модуль волнового вектора).

9. 7. УРАВНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ

Всякий реальный источник волн обладает
некоторой протяженностью (размером).
Однако если ограничиться рассмотрением
волны на расстояниях от источника
значительно превышающих его размеры,
то источник можно считать точечным.
В изотропной и однородной средах волна,
от точечного источника будет сферической.
Допустим, что фаза колебаний источника имеет вид
t 0 .
r,
Тогда точки среды, лежащие на волновой поверхности радиуса
будут совершать колебания с запаздыванием по времени на r
V
(r , t ) (t r V ) 0 t r V 0 t kr 0 ; k V .
Даже если волна не поглощается средой, ее амплитуда уменьшается
с удалением от источника по закону 1 r , т.к. энергия распределяется
a
по поверхности все большего радиуса. Тогда
(
r
,
t
)
cos( t kr 0 ).
– амплитуда на единичном радиусе.
r
a

10. 8. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнение любой волны является решением
уравнения, называемого волновым.
Чтобы установить вид волнового уравнения,
сопоставим вторые частные производные
по времени и координатам от функции,
описывающей плоскую волну:
a cos( t k x x k y y k z z 0 )
2
2
;
2
t
2
2
k
x ;
2
x
2
2
k
y ;
2
y
2
2
k
z .
2
z
2
2
2
2
Сложим производные по координатам: 2
k
2
2
2
x
y
z
2
2
k
2
2 2;
t
k2
1
2
2
V
2
1
2
2 2.
V t

11. 9. СКОРОСТЬ УПРУГИХВОЛН

Пусть в направлении оси
распространяется
продольная плоская волна. Выделим в среде
цилиндрический объём с площадью S и длиной
x
x.
Составим для этого объёма уравнение движения:
2
S x 2 S ( x)
x ( x) .
t
x
p ,
E ,
Таким образом,
max Fx
– относительная деформация цилиндра,
x
E
– модуль упругости среды (модуль Юнга).
2 2
.
2
2
x
E t
2
Сравнивая полученное уравнение движения
1 2 приходим к
2 2 , выводу, что
с одномерным волновым уравнением
2
x
V t
E
скорость упругих волн равна корню квадратному
V
.
из отношения модуля Юнга среды к ее плотности:
2
2
2
E E E 2
x x
x
t
x
x

12. 10. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ

x
Пусть в однородной среде вдоль оси
распространяется плоская продольная волна
( x, t ) a cos( t kx 0 ).
Выделим в среде элементарный объем
V S x.
Сумма кинетической и потенциальной энергии упругой деформации
выделенного объема дает его полную механическую энергию, то есть
E
W
2
Vф2
W V V . E Vф w
V 2 t
x
2 t
2 x
a sin( t kx 0 );
ak sin( t kx 0 )
t
x
w
a2
2
2
2
2
( V k )sin ( t kx 0 );
2
2
ф
2
2
k
w a 2 2 sin 2 ( t kx 0 ).
Vф
kVф
2
.

13. 11. ПОТОК И ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ ВОЛНЫ

Среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным
запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в
различные точки среды самой волной; волна переносит с собой энергию.
Количество энергии, переносимое волной через некоторую
поверхность в единицу времени, называется потоком энергии:
Для характеристики течения энергии в разных точках введена
векторная физическая величина – плотность потока энергии:
dW
w dS dl
w dV
j
wVф .
dt dS
dt dS
dt dS
2
3
[
j
]
1
Вт
м
.
j wVф , [ w] 1 Дж м ,
Зная плотность потока энергии во всех
точках произвольной поверхности
можно вычислить поток энергии через эту поверхность:
dФ
dW
jdS cos dt
jdS
dt
dt
Ф jdS .
S
dW
.
dt
dФ
j
.
dS
Ф

14. 12. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ

j wVф ;
Дж
w 1 3 ;
м
j a 2 2 sin 2 ( t kx 0 )Vф ;
w a 2 2 sin 2 ( t kx 0 )
j a 2 2Vф sin 2 ( t kx 0 ).
Плотность потока энергии как и объемная плотность энергии различна
в разных точках пространства (меняется амплитуда и плотность среды),
а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса.
Среднее значение квадрата синуса за период равно 1 2, поэтому для
среднего по времени значение плотности потока энергии справедливо
1 2 2
j w Vф a Vф ;
2
1
2
j I I a 2 2Vф ; I j 1
Вт
.
2
м
Эта величина называется интенсивностью волны ( I ).
Интенсивность волны в данной точке это среднее по времени значение
плотности потока энергии волны в этой точке пространства.
Полученные выражения для интенсивности и объемной плотности энергии
справедливы для всех механических волн.

15. 13. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Колебания, возникающие при наложении двух плоских встречных
волн с одинаковой амплитудой, называются стоячей волной.
1 a cos( t kx 01 ), 2 a cos( t kx 02 ), 1 2
02 01
02 01
2a cos kx
cos t
.
2
2
Выбирая подходящим образом начало отсчёта
x
2a cos 2 cos 2 t .
Амплитуда колебаний
периодически меняется
В точках, для которых:
2
x
n (n 0,1,2,...),
x
и
t,
получим:
В каждой точке стоячей волны происходят
колебания той же частоты, что у встречных
бегущих волн.
x
A 2a cos 2 .
x
1
2 (n ) ,
2
минимальна – узлы.
амплитуда максимальна – это пучности;

16. 14. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

В закрепленной с двух концов натянутой струне стоячие волны
возникают при возбуждении поперечных колебаний.
Причем, в точках закрепления струны обязательно располагаются узлы.
Поэтому в струне устойчиво существуют только такие колебания,
для которых половина длины волны укладывается на длине струны
целое число раз. Отсюда вытекает условие
2l
l n n ; (l – длина струны, n 1,2,...).
n
2
Собственным длинам волн соответствуют частоты
n
Vф
n
Vф
2l
n.
Фазовая скорость стоячей волны
зависит от силы натяжения струны
и ее массы единицы длины.
Частоты
n называются
собственными частотами струны или гармониками.
В общем случае колебание струны представляют
собой наложение различных гармоник.

17. 15. ЗВУК

Упругие волны в воздухе, имеющие частоту в
пределах от 16 Гц до 20 кГц вызывают в ушах
человека ощущение звука.
Поэтому упругие волны в любой среде,
имеющие частоту в этом диапазоне, называют
звуковыми волнами или просто звуком.
Упругие волны с частотами,
меньшими чем 16 Гц,
называют инфразвуком.
Упругие волны с частотами
больше чем 20 кГц,
называют ультразвуком.
Воспринимаемые звуки люди
различают по высоте (частоте),
тембру (акустическому спектру)
и громкости (интенсивности волны).

18. 16. ГРОМКОСТЬ ЗВУКА

Уровень громкости звука определяется как десятичный логарифм
отношения интенсивности данного звука
I
L lg ,
L 1Б (бел).
к интенсивности на пороге слышимости:
Принято, что для человека
I 0 1 10 12 Вт м 2 .
I0
На практике принято использоваться в 10 раз меньшими
единицами уровня громкости звука – децибелами (дб):
Весь диапазон интенсивностей, при
которых волна вызывает в ухе человека
звуковое ощущение, соответствует
уровню громкости от 0 до 130 дб.
Отношение
интенсивностей
двух волн:
I2
L21 10lg .
I1
I
L 10lg .
I0

19. §2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

20. 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Переменное магнитное поле порождает электрическое и наоборот.
Значит последовательность взаимных превращений электрического
и магнитного полей может представлять собой волну. Убедимся в этом.
Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
B
D
[ E ] , B 0; [ H ] j
, D ; D 0 E , B 0 H .
t
t
Сделаем замену для D и B с помощью материальных уравнений:
H
j
0 E , 0 E .
H
0;
E
H
,
0
0
t
t
В случае однородной ( , const ) нейтральной ( 0)
непроводящей
( j 0)
H
E 0
,
t
среды уравнения примут вид:
H 0;
E
H 0
,
t
E 0.

21. 2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Для однородной нейтральной непроводящей среды система уравнений
Максвелла имеет вид
H
E 0
(1), H 0 2 ,
t
E
H 0
(3), E 0 (4).
t
Возьмем ротор от обеих частей уравнения (1):
E 0 H
t
E 0 H .
t
Воспользуемся выражением для ротора H из уравнения (3):
E 0 0 E
t
t
2
E 0 0 E
.
2
t
Раскроем двойное векторное произведение с учетом уравнения (4):
E ( E ) ( ) E 2 E
2
E
2
E 0 0 2 .
t

22. 3. СКОРОСТЬ ЭМВ

Для однородной нейтральной непроводящей среды получено волновое
уравнение
2
E
E 0 0 2
t
2
2E 2E 2E
2E
2 2 0 0 2 .
2
x
y
z
t
Электрическая и магнитная постоянные связаны простым соотношением
2
со скоростью света в вакууме 0 0 1 c .
С учётом этого волновые уравнения для напряженности электрического
и напряженности магнитного полей принимают вид:
2 E 2 E 2 E 2 E
2 2 2 2 ;
2
x
y
z
c t
2 H 2 H 2 H 2 H
2 2 2
.
2
2
x
y
z
c t
Полученные волновые уравнения неразрывно связаны между собой,
так как они получены из уравнений Максвелла, которые одновременно
содержат напряженности и электрического и магнитного полей.
Из этих волновых уравнений следует, что электромагнитные поля могут
с
существовать в виде электромагнитных волн,
V
.
фазовая скорость которых зависит от свойств среды

23. 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (I)

Перепишем уравнения Максвелла для однородной нейтральной
непроводящей среды
E
H
E 0
H
(3), E 0 (4)
(1),
H 0 2 ,
0
t
t
в координатной форме:
H y E y Ex
Ez E y
H x Ex Ez
H z
0
,
0
,
0
(1);
y
z
t
z
x
t
x
y
t
H x H y H z
Ex E y Ez
0 2 ;
0 (4);
x
y
z
x
y
z
E y H y H
H z H y
Ex H x H z
Ez
x
0
,
0
,
0
(3).
y
z
t
z
x
t
x
y
t
Направим ось x перпендикулярно волновым поверхностям плоской ЭМВ.
Тогда векторы E и H , а значит, и их проекции на координатные оси
не будут зависеть от координат y и z. То есть E E ( x, t ) и H H ( x, t ).

24. 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (II)

Упростим систему уравнения Максвелла для однородной нейтральной
диэлектрической (непроводящей) среды
H y E y Ex
Ez E y
H x Ex Ez
H z
0
,
0
,
0
(1);
y
z
t
z
x
t
x
y
t
H x H y H z
Ex E y Ez
2
;
0
0 (4);
x
y
z
x
y
z
E y H y H x
E
H z H y
Ex H x H z
0
,
0 z (3)
0
,
z
x
t
y
z
t
x
y
t
для случая плоской волны, распространяющей вдоль оси x. При этом
пропадает зависимость всех компонент поля от поперечных координат
y и z. Поэтому система уравнений упрощается к виду:
H x
0,
t
H y
Ez
0
,
x
t
E y
x
0
H z
(1);
t
H x
0 2 ...
x

25. 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (III)

Выпишем в координатной форме систему уравнений Максвелла для
плоской волны, распространяющейся вдоль оси x в однородной
нейтральной диэлектрической (непроводящей) среде
H x
0,
t
H y
Ez
0
,
x
t
E y
H z
0
,
x
t
H x
(1);
0 2 ;
x
Ex
H y
Ex
Ez
(3);
0,
0 (4).
0
t
x
t
x
Уравнение (4) и первое из уравнений (3) показывают, что Ex не может
E y
H z
0
x
t
зависеть ни от x, ни от t. Уравнение (2) и первое из уравнений (1) дают
такой же результат для H x . Следовательно, отличные от нуля Ex и H x
могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями,
накладывающимися на электромагнитные волны. Само поле волны не
имеет составляющих вдоль оси x. Отсюда вытекает, что векторы E и H
перпендикулярны к направлению распространения волны,
то есть электромагнитные волны в однородном диэлектрике поперечны.

26. 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (IV)

Предполагая отсутствие постоянных (стационарных) полей ( Ex H x 0),
запишем упрощенную систему уравнений Максвелла для плоской ЭМВ,
распространяющейся вдоль оси x однородной нейтральной непроводящей
(диэлектрической) среды:
H y
Ez
0
,
x
t
E y
H z
0
,
x
t
E y
H z
0
,
x
t
H y
E z
0
.
x
t
Можно заметить, что оставшиеся 4 уравнения объединяются в две
независимые группы:
H y H y
E
Ez
0 z 2 .
0
,
x
t
x
t
Первая группа уравнений связывает компоненты E y и H z ,
а вторая – компоненты Ez и H y .
E y
H z H z
0
0
,
(1);
x
t
x
t
E y
Если в пространстве было создано переменное электрическое поле E y ,
то оно будет порождать переменное магнитное поле H z ,
которое в свою очередь создаст переменное электрическое поле E y .
Поля Ez и H y при этом не возникают.

27. 5. ПЛОСКАЯ ЭМВ (I)

Возьмем для описания ЭМВ
первую группу уравнений
E y
E y
H z H z
0
,
0
.
x
t
x
t
Продифференцируем первое
уравнение по координате x
2 Ey
H z
H z
0
.
x 2
x t
t x
Подставим выражение для H z x
0
из второго уравнения.
2 Ey
Проводя аналогичные преобразования
для магнитного
2 H z 2 H z
поля получим
2
.
2
2
x
c
t
x
0 0
2
0 0
1
2
c
Тогда
2 Ey
;
t
2 E y 2 E y
2
.
2
2
x
c t
2

28. 5. ПЛОСКАЯ ЭМВ(II)

Решения волновых уравнений должны
удовлетворять и уравнениям Максвелла
E y
x
E y
H z H z
0
.
0
,
x
t
x
t
E y
H z
2 H 0 sin( 2t k2 x 2 )
t
k1E0 sin( 1t k1 x 1 ) 0 2 H 0 sin( 2t k2 x 2 ).
k1 E0 sin( 1t k1 x 1 );
Это уравнение будет выполняться, если в любой момент времени
и в каждой точке пространства колебания полей E y и H z будут
происходить в одной фазе. Это возможно, если 1 2 ; k1 k2 ; 1 2 .
Это означает, что колебания полей происходят с одинаковой частотой
и начальной фазой; эти колебания распространяются с одинаковой
скоростью (длиной волны).
E y E0 cos( t kx ),
H z H 0 cos( t kx ).

29. 5. ПЛОСКАЯ ЭМВ(III)

Решения волновых уравнений должны
удовлетворять и уравнениям Максвелла
H z
kH 0 sin( t kx );
x
E y
t
E y
H z H z
0
.
0
,
x
t
x
t
E y
E0 sin( t kx )
kH 0 sin( t kx ) 0 E0 sin( t kx ).
После сокращения на синус получим связь между амплитудами полей
kH 0 0 E0 .
Аналогичное соотношение для
первого уравнения Максвелла
имеет вид
kE0 0 H 0 .
Перемножая эти соотношения, получим:
k 0 E02 k 0 H 02
0 E02 0 H 02
0 E0 0 H 0 .

30. 6. ЭНЕРГИЯ ЭМВ

Электромагнитные волны переносят энергию.
Плотность потока энергии волны можно получить, умножив
объемную плотность энергии волны на её фазовую скорость: j
Плотность энергии ЭМВ слагается из плотности
w wE wH .
энергии электрического и магнитного полей:
wE
0 E 2
2
, wH
0 H 2
2
,
S wV .
0 E0 0 H 0 wE wH 1 0 0 EH ;
j S 0 0 EHV ,
2
1
0 0
c
V
В векторном виде
j S EH .
Вт
S E H , S 1 2 .
м
Вектор плотности потока энергии ЭМВ
называется вектором Пойнтинга.
Среднее по времени значение модуля
вектора Пойнтинга – это интенсивность волны:
1
I S E0 H 0 .
2

31. 7. ЭМВ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ