Логические выражения и уравнения

1. Логические выражения и уравнения

2.

Задача 1
Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7
4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

3.

Задача 2
Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ (x2 → x3) ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
2) x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
3) ¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7
4) x1 ∨ (x2 → ¬ x3) ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

4.

Задача 3
Логическая функция F задаётся выражением:
(¬x ∧ y ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности
функции F, содержащий все наборы аргументов, при
которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности
функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

5.

Задача 4
(¬x ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z).

6.

Задача 5
x ∧ ¬y ∧ (¬z ∨ w)

7.

Задача 6
(x → y) ∧ (y → z)

8.

Задача 7
Логическая функция F задаётся выражением
(x ∨ y) → (z ≡ x).
Дан частично заполненный фрагмент,
содержащий неповторяющиеся строки таблицы
истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности
соответствует каждая из переменных x, y, z.

9.

Задача 8
Какое выражение соответствует F?
1) (0 ∧ Z) ∧ (X ≡ Y)
2) (0 ∨ ¬Z) ∧ (X ≡ Y)
3) (1 ∧ Z) ∧ (X ≡ Y)
4) ( ¬1 ∧ Z) ∧ (X ≡ Y)

10.

Задача 9
Какое выражение соответствует F?
1) (X ≡ Z) ∧ (¬X → Y)
2) (¬X ≡ Z) ∧ (¬X → Y)
3) (X ≡ ¬Z) ∧ (¬X → Y)
4) (X ≡ Z) ∧ (¬(Y → Z))

11.

Задача 10
Элементами множества А являются
натуральные числа. Известно, что выражение
(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧
¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при
любом значении переменной х. Определите
наименьшее возможное значение суммы
элементов множества A.

12.

Задача 11
Элементами множеств А, P, Q являются
натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10,
12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,
27, 30}.
Известно, что выражение
((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∨ (¬(x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при
любом значении переменной х.
Определите наибольшее возможное
количество элементов в множестве A.

13.

Задача 12
Для какого из приведённых чисел X истинно
логическое условие:
¬((X кратно 5) → (X кратно 25))?
1) 37
2) 59
3) 65
4) 125

14.

Задача 13
Обозначим через m & n поразрядную
конъюнкцию неотрицательных целых
чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 &
01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего
неотрицательного целого числа А формула
x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & А ≠ 0)
тождественно истинна (то есть принимает
значение 1 при любом неотрицательном
целом значении переменной х)?

15.

Задача 14
Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию
неотрицательных целых чисел m и n.
Например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4.
Для какого наименьшего неотрицательного целого
числа А формула
x&77 ≠ 0 → (x&12 = 0 → x&А ≠ 0)
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1
при любом неотрицательном целом значении
переменной х)?

16.

Задача 15
Для какого наибольшего целого числа А
формула
((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9))
тождественно истинна, то есть принимает
значение 1 при любых целых
неотрицательных x и y?

17.

Задача 16
На числовой прямой даны два отрезка: P =
[17, 46] и Q = [22, 57]. Отрезок A таков, что
приведённая ниже формула истинна при
любом значении переменной х:
¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A))
Какова наименьшая возможная длина
отрезка A?

18.

Задача 17
На числовой прямой даны два отрезка: P = [8, 39] и Q =
[23, 58].
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A,
что логическое выражение
((x ∈ P) ∨ (x ∈ А)) → ((x ∈ Q) ∨ (x ∈ А))
тождественно истинно, то есть принимает значение 1
при любом значении переменной х.
1) [5, 30]
2) [15, 40]
3) [25, 50]
4) [35, 60]

19.

Тест
https://vk.com/smallu