Невозможно отобразить презентацию
physicsSimilar presentations:
Лекция 14. Магнитное поле соленоида
12.
Магнитное поле соленоида Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур (1-2-3-4).
Участки (1-4) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2) и (3-4) равны нулю.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур ( 1-2-3-4).
Участки (1-4 ) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2 ) и (3-4 ) равны нулю.21 1234() BdlBBa =−∫rÑ Контур (1-2-3-4) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур также не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.
Контур ( 1-2-3-4 ) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур также не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.21BB=rr''12BB=rr Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС и АD.
Разделив наа , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.
Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС иАD .
Разделив наа , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.0(') ABCD BdlBBaNIµ=+=∫rÑ0' BBnIµ+= Из формулы (23) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
Из формулы (23 ) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков через поверхностиS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков через поверхностиS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.' ''''0BSS ФBdSBdSBSBS =+=−= ∫∫rr'' BSBS= Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25) Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25)0BnIµ= 13.
Контур с током в магнитном поле.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит над ним совершается работа.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит над ним совершается работа.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояние dh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитных сил по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
Эта работа совершается не за счет внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего постоянным ток в контуре.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояниеdh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитных сил по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
Эта работа совершается не за счет внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего постоянным ток в контуре.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура (ABCD) с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается под действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура ( ABCD) с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается под действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Разобьем контур (ABCD) на два проводника (АВС) и (СДА), соединенных своими концами.
Работа силы Ампера по перемещению контура (ABCD) равна сумме работ по перемещению этих двух проводников dA = dA1 + dA2 гдеdA1 - работа силы Ампера по перемещению проводника АВС,dA2 - работа по перемещению проводника СДА.
Разобьем контур ( ABCD) на два проводника ( АВС ) и( СДА ), соединенных своими концами.
Работа силы Ампера по перемещению контура( ABCD) равна сумме работ по перемещению этих двух проводников dA = dA1 + dA2 гдеdA1 - работа силы Ампера по перемещению проводника АВС,dA2 - работа по перемещению проводника СДА.
Силы Ампера, приложенные к участку АВС, образуют с вектором перемещения тупые углы, поэтому работа этих сил отрицательная dA1< 0 и ее можно записать какdA1 = -I(dФ0 +dФ1), гдеdФ0 – поток через заштрихованную поверхность,dФ1 – поток через контур в его начальном положении ABCD.
На участке СДА силы Ампера образуют с вектором перемещения острые углы, поэтому их работа положительная dA2> 0 и ее можно записать какdA2 = I(dФ0 +dФ2) где dФ2 – поток через контур в его конечном положении A´B´ C´ D´.
Силы Ампера, приложенные к участку АВС, образуют с вектором перемещения тупые углы, поэтому работа этих сил отрицательная dA1< 0 и ее можно записать какdA1 = -I(dФ0 +dФ1), гдеdФ0 – поток через заштрихованную поверхность,dФ1 – поток через контур в его начальном положении ABCD.
На участке СДА силы Ампера образуют с вектором перемещения острые углы, поэтому их работа положительная dA2> 0 и ее можно записать какdA2 = I(dФ0 +dФ2) где dФ2 – поток через контур в его конечном положенииA´B´ C´ D´.
Полная работа сил Ампера по перемещению контура равна dA = I(dФ0 +dФ2 ) - I(dФ0 +dФ1) = = I(dФ2 -dФ1) (27) где (dФ2 - dФ1 ) – изменение магнитного потока сквозь площадь контура.
Если перемещение конечное, то работа равна интегралу от (27) A= IФ (28) Таким образом, работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потокаФ , сцепленного с контуром.
Полная работа сил Ампера по перемещению контура равна dA = I(dФ0 +dФ2 ) - I(dФ0 +dФ1) = = I(dФ2 -dФ1) (27) где (dФ2 - dФ1 ) – изменение магнитного потока сквозь площадь контура.
Если перемещение конечное, то работа равна интегралу от (27) A= IФ (28) Таким образом, работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потокаФ , сцепленного с контуром.
14.
Контур с током в неоднородном магнитном поле.
14.
Явление электромагнитной индукции В 1831 году Фарадей обнаружил, что в замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, возникает электрический ток .
Этот ток называют индукционным током.
Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи ЭДС, которую называют ЭДС электромагнитной индукции .
Величина не зависит от способа, с помощью которого осуществляется изменение магнитного потока, а зависит только от скорости изменения потока Закон электромагнитной индукции Фарадея (29) В 1831 году Фарадей обнаружил, что в замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, возникает электрический ток .
Этот ток называют индукционным током.
Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи ЭДС, которую называют ЭДС электромагнитной индукции .
Величина не зависит от способа, с помощью которого осуществляется изменение магнитного потока, а зависит только от скорости изменения потока Закон электромагнитной индукции Фарадея (29)εidФ=-dtεiεi Знак минус определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре всегда направлен так, чтобы противодействовать вызвавшей его причине.
Это значит, что индукционный ток создает такое магнитное поле, которое препятствует изменению потока, вызвавшему индукционный ток.
Рассмотрим явление электромагнитной индукции на примере двух проводников в виде контуров, по одному из которых течет ток.
Знак минус определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре всегда направлен так, чтобы противодействовать вызвавшей его причине.
Это значит, что индукционный ток создает такое магнитное поле, которое препятствует изменению потока, вызвавшему индукционный ток.
Рассмотрим явление электромагнитной индукции на примере двух проводников в виде контуров, по одному из которых течет ток.
ТокI1 в контуре1 создает магнитное полеВ1 .
При увеличении токаI1 растет и полеВ1 , а вместе с ним и потокФ , пронизывающий контур2.
Согласно закону Фарадея в контуре2 возникнет индукционный токI2, который течет против токаI1.
Поэтому контуры будут отталкиваться , а поле второго контураВ2, будет направлено против поля первого контураВ1.
ТокI1 в контуре1 создает магнитное полеВ1 .
При увеличении токаI1 растет и полеВ1 , а вместе с ним и потокФ , пронизывающий контур2.
Согласно закону Фарадея в контуре2 возникнет индукционный токI2, который течет против токаI1.
Поэтому контуры будут отталкиваться , а поле второго контураВ2, будет направлено против поля первого контураВ1.I1B1I2B2 dФ/dt > 0 Если же токI1 уменьшать, то будет уменьшаться и магнитный потокФ , пронизывающий контур2 .
Поэтому в контуре2 ЭДС электромагнитной индукции изменит знак, а индукционный токI2 изменит свое направление и будет течь в том же направлении, что и токI1 .
В результате контуры будут притягиваться , а созданные ими магнитные поля будут совпадать по направлению.
Если же токI1 уменьшать, то будет уменьшаться и магнитный потокФ , пронизывающий контур2 .
Поэтому в контуре2 ЭДС электромагнитной индукции изменит знак, а индукционный токI2 изменит свое направление и будет течь в том же направлении, что и токI1 .
В результате контуры будут притягиваться , а созданные ими магнитные поля будут совпадать по направлению.εiI1B1I2B2 dФ/dt < 0 Покажем, что закон Фарадея является результатом действия силы Лоренца на электроны в движущихся проводниках.Рассмотрим контур с подвижной перемычкой.
Поместим его в однородное магнитное поле В, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за лист.
Туда же направлен и вектор нормалиn.
Покажем, что закон Фарадея является результатом действия силы Лоренца на электроны в движущихся проводниках.Рассмотрим контур с подвижной перемычкой.
Поместим его в однородное магнитное полеВ, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за лист.
Туда же направлен и вектор нормалиn.
Начнем передвигать перемычку со скоростьюv.
Вместе с перемычкой будут перемещаться и находящиеся в ней электроны.
На каждый электрон действует сила Лоренца, направленная вдоль перемычки гдее – заряд электрона (е < 0).
Действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью Однако, это поле имеет магнитное, а не электростатическое происхождение.
Начнем передвигать перемычку со скоростьюv.
Вместе с перемычкой будут перемещаться и находящиеся в ней электроны.
На каждый электрон действует сила Лоренца , направленная вдоль перемычки гдее – заряд электрона (е < 0).
Действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью Однако, это поле имеет магнитное, а не электростатическое происхождение.[]rrrЛ F=ev×B[]rrr E=v×B Рассчитаем циркуляцию вектора по замкнутому контуру.
Эта циркуляция должна равняться ЭДС Направление обхода контура показано на рисунке.
Поскольку поле отлично от нуля лишь на перемычке (участок контура1-2 ), то Рассчитаем циркуляцию вектора по замкнутому контуру.
Эта циркуляция должна равняться ЭДС Направление обхода контура показано на рисунке.
Поскольку поле отлично от нуля лишь на перемычке (участок контура1-2 ), тоrE[] EdlvBdlε ==× ∫∫rrr ÑÑirE2211 [][]([]) vBdlvBdlvBlε =×=×=× ∫∫rrri Воспользуемся свойством смешанного произведения Умножим и разделим правую часть этого равенства наdt Из рисунка следует, что гдеdS – приращение площади контура за время перемещения контураdt.
Воспользуемся свойством смешанного произведения Умножим и разделим правую часть этого равенства наdt Из рисунка следует, что гдеdS – приращение площади контура за время перемещения контураdt.
([])([]) lvBdtlvdtB dtdtε ××==rri[] lvdtndS ×=−rrr ([])([]) vBllvBε =×=×rri Поэтому можем записать Таким образом, получили закон Фарадея.
Как видим, роль сторонних сил, вызывающих ЭДС электромагнитной индукции, играет магнитная сила – сила Лоренца.
Поэтому можем записать Таким образом, получили закон Фарадея .
Как видим, роль сторонних сил, вызывающих ЭДС электромагнитной индукции , играет магнитная сила – сила Лоренца.
()() BndSBdSdФ dtdtdtε =−=−=−rrrri 15.
Вращение рамки с током Явление электромагнитной индукции используется в генераторах для преобразования механической энергии в электрическую.
Рассмотрим принцип действия генератора на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном полеВ.
Явление электромагнитной индукции используется в генераторах для преобразования механической энергии в электрическую.
Рассмотрим принцип действия генератора на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном полеВ.
Пусть рамка вращается (за счет энергии пара, воды и т.д.) с угловой скоростью .
Магнитный поток, пронизывающий рамку равен Угол между нормалью к поверхности рамкиn и вектором магнитной индукцииВ равен =t , поэтому Пусть рамка вращается (за счет энергии пара, воды и т.д.) с угловой скоростью .
Магнитный поток, пронизывающий рамку равен Угол между нормалью к поверхности рамкиn и вектором магнитной индукцииВ равен =t , поэтому ()cos ФBSBSα==r cos() ФBStω= При вращении рамки в ней возникает ЭДС электромагнитной индукции , меняющаяся по гармоническому закону Эта переменная ЭДС снимается с вращающегося витка с помощью щеток (см.
рисунок).
В России принята частота =/(2 ) = 50 Гц.
При вращении рамки в ней возникает ЭДС электромагнитной индукции , меняющаяся по гармоническому закону Эта переменная ЭДС снимается с вращающегося витка с помощью щеток (см.
рисунок).
В России принята частота =/(2 ) = 50 Гц.εi cos()dФBStdt ωωε =−=i Электродвигатели В электродвигателях явление электромагнитной индукции используется для преобразования электрической энергии в механическую.
Если по рамке, помещенной в магнитное полеB, пропускать переменный электрический токI , то на нее со стороны магнитного поля будет действовать вращательный механический момент где - магнитный момент рамки,S – площадь рамки.
В результате рамка будет вращаться с частотой, равной частоте переменного тока.
Электродвигатели В электродвигателях явление электромагнитной индукции используется для преобразования электрической энергии в механическую.
Если по рамке, помещенной в магнитное полеB, пропускать переменный электрический токI , то на нее со стороны магнитного поля будет действовать вращательный механический момент где - магнитный момент рамки,S – площадь рамки.
В результате рамка будет вращаться с частотой, равной частоте переменного тока.[]mMpB=×rrrm
Магнитное поле соленоида Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур (1-2-3-4).
Участки (1-4) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2) и (3-4) равны нулю.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур ( 1-2-3-4).
Участки (1-4 ) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2 ) и (3-4 ) равны нулю.21 1234() BdlBBa =−∫rÑ Контур (1-2-3-4) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур также не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.
Контур ( 1-2-3-4 ) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур также не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.21BB=rr''12BB=rr Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС и АD.
Разделив наа , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.
Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС иАD .
Разделив наа , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.0(') ABCD BdlBBaNIµ=+=∫rÑ0' BBnIµ+= Из формулы (23) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
Из формулы (23 ) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков через поверхностиS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков через поверхностиS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.' ''''0BSS ФBdSBdSBSBS =+=−= ∫∫rr'' BSBS= Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25) Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25)0BnIµ= 13.
Контур с током в магнитном поле.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит над ним совершается работа.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит над ним совершается работа.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояние dh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитных сил по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
Эта работа совершается не за счет внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего постоянным ток в контуре.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояниеdh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитных сил по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
Эта работа совершается не за счет внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего постоянным ток в контуре.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура (ABCD) с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается под действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура ( ABCD) с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается под действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Разобьем контур (ABCD) на два проводника (АВС) и (СДА), соединенных своими концами.
Работа силы Ампера по перемещению контура (ABCD) равна сумме работ по перемещению этих двух проводников dA = dA1 + dA2 гдеdA1 - работа силы Ампера по перемещению проводника АВС,dA2 - работа по перемещению проводника СДА.
Разобьем контур ( ABCD) на два проводника ( АВС ) и( СДА ), соединенных своими концами.
Работа силы Ампера по перемещению контура( ABCD) равна сумме работ по перемещению этих двух проводников dA = dA1 + dA2 гдеdA1 - работа силы Ампера по перемещению проводника АВС,dA2 - работа по перемещению проводника СДА.
Силы Ампера, приложенные к участку АВС, образуют с вектором перемещения тупые углы, поэтому работа этих сил отрицательная dA1< 0 и ее можно записать какdA1 = -I(dФ0 +dФ1), гдеdФ0 – поток через заштрихованную поверхность,dФ1 – поток через контур в его начальном положении ABCD.
На участке СДА силы Ампера образуют с вектором перемещения острые углы, поэтому их работа положительная dA2> 0 и ее можно записать какdA2 = I(dФ0 +dФ2) где dФ2 – поток через контур в его конечном положении A´B´ C´ D´.
Силы Ампера, приложенные к участку АВС, образуют с вектором перемещения тупые углы, поэтому работа этих сил отрицательная dA1< 0 и ее можно записать какdA1 = -I(dФ0 +dФ1), гдеdФ0 – поток через заштрихованную поверхность,dФ1 – поток через контур в его начальном положении ABCD.
На участке СДА силы Ампера образуют с вектором перемещения острые углы, поэтому их работа положительная dA2> 0 и ее можно записать какdA2 = I(dФ0 +dФ2) где dФ2 – поток через контур в его конечном положенииA´B´ C´ D´.
Полная работа сил Ампера по перемещению контура равна dA = I(dФ0 +dФ2 ) - I(dФ0 +dФ1) = = I(dФ2 -dФ1) (27) где (dФ2 - dФ1 ) – изменение магнитного потока сквозь площадь контура.
Если перемещение конечное, то работа равна интегралу от (27) A= IФ (28) Таким образом, работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потокаФ , сцепленного с контуром.
Полная работа сил Ампера по перемещению контура равна dA = I(dФ0 +dФ2 ) - I(dФ0 +dФ1) = = I(dФ2 -dФ1) (27) где (dФ2 - dФ1 ) – изменение магнитного потока сквозь площадь контура.
Если перемещение конечное, то работа равна интегралу от (27) A= IФ (28) Таким образом, работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потокаФ , сцепленного с контуром.
14.
Контур с током в неоднородном магнитном поле.
14.
Явление электромагнитной индукции В 1831 году Фарадей обнаружил, что в замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, возникает электрический ток .
Этот ток называют индукционным током.
Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи ЭДС, которую называют ЭДС электромагнитной индукции .
Величина не зависит от способа, с помощью которого осуществляется изменение магнитного потока, а зависит только от скорости изменения потока Закон электромагнитной индукции Фарадея (29) В 1831 году Фарадей обнаружил, что в замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, возникает электрический ток .
Этот ток называют индукционным током.
Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи ЭДС, которую называют ЭДС электромагнитной индукции .
Величина не зависит от способа, с помощью которого осуществляется изменение магнитного потока, а зависит только от скорости изменения потока Закон электромагнитной индукции Фарадея (29)εidФ=-dtεiεi Знак минус определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре всегда направлен так, чтобы противодействовать вызвавшей его причине.
Это значит, что индукционный ток создает такое магнитное поле, которое препятствует изменению потока, вызвавшему индукционный ток.
Рассмотрим явление электромагнитной индукции на примере двух проводников в виде контуров, по одному из которых течет ток.
Знак минус определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре всегда направлен так, чтобы противодействовать вызвавшей его причине.
Это значит, что индукционный ток создает такое магнитное поле, которое препятствует изменению потока, вызвавшему индукционный ток.
Рассмотрим явление электромагнитной индукции на примере двух проводников в виде контуров, по одному из которых течет ток.
ТокI1 в контуре1 создает магнитное полеВ1 .
При увеличении токаI1 растет и полеВ1 , а вместе с ним и потокФ , пронизывающий контур2.
Согласно закону Фарадея в контуре2 возникнет индукционный токI2, который течет против токаI1.
Поэтому контуры будут отталкиваться , а поле второго контураВ2, будет направлено против поля первого контураВ1.
ТокI1 в контуре1 создает магнитное полеВ1 .
При увеличении токаI1 растет и полеВ1 , а вместе с ним и потокФ , пронизывающий контур2.
Согласно закону Фарадея в контуре2 возникнет индукционный токI2, который течет против токаI1.
Поэтому контуры будут отталкиваться , а поле второго контураВ2, будет направлено против поля первого контураВ1.I1B1I2B2 dФ/dt > 0 Если же токI1 уменьшать, то будет уменьшаться и магнитный потокФ , пронизывающий контур2 .
Поэтому в контуре2 ЭДС электромагнитной индукции изменит знак, а индукционный токI2 изменит свое направление и будет течь в том же направлении, что и токI1 .
В результате контуры будут притягиваться , а созданные ими магнитные поля будут совпадать по направлению.
Если же токI1 уменьшать, то будет уменьшаться и магнитный потокФ , пронизывающий контур2 .
Поэтому в контуре2 ЭДС электромагнитной индукции изменит знак, а индукционный токI2 изменит свое направление и будет течь в том же направлении, что и токI1 .
В результате контуры будут притягиваться , а созданные ими магнитные поля будут совпадать по направлению.εiI1B1I2B2 dФ/dt < 0 Покажем, что закон Фарадея является результатом действия силы Лоренца на электроны в движущихся проводниках.Рассмотрим контур с подвижной перемычкой.
Поместим его в однородное магнитное поле В, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за лист.
Туда же направлен и вектор нормалиn.
Покажем, что закон Фарадея является результатом действия силы Лоренца на электроны в движущихся проводниках.Рассмотрим контур с подвижной перемычкой.
Поместим его в однородное магнитное полеВ, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за лист.
Туда же направлен и вектор нормалиn.
Начнем передвигать перемычку со скоростьюv.
Вместе с перемычкой будут перемещаться и находящиеся в ней электроны.
На каждый электрон действует сила Лоренца, направленная вдоль перемычки гдее – заряд электрона (е < 0).
Действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью Однако, это поле имеет магнитное, а не электростатическое происхождение.
Начнем передвигать перемычку со скоростьюv.
Вместе с перемычкой будут перемещаться и находящиеся в ней электроны.
На каждый электрон действует сила Лоренца , направленная вдоль перемычки гдее – заряд электрона (е < 0).
Действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью Однако, это поле имеет магнитное, а не электростатическое происхождение.[]rrrЛ F=ev×B[]rrr E=v×B Рассчитаем циркуляцию вектора по замкнутому контуру.
Эта циркуляция должна равняться ЭДС Направление обхода контура показано на рисунке.
Поскольку поле отлично от нуля лишь на перемычке (участок контура1-2 ), то Рассчитаем циркуляцию вектора по замкнутому контуру.
Эта циркуляция должна равняться ЭДС Направление обхода контура показано на рисунке.
Поскольку поле отлично от нуля лишь на перемычке (участок контура1-2 ), тоrE[] EdlvBdlε ==× ∫∫rrr ÑÑirE2211 [][]([]) vBdlvBdlvBlε =×=×=× ∫∫rrri Воспользуемся свойством смешанного произведения Умножим и разделим правую часть этого равенства наdt Из рисунка следует, что гдеdS – приращение площади контура за время перемещения контураdt.
Воспользуемся свойством смешанного произведения Умножим и разделим правую часть этого равенства наdt Из рисунка следует, что гдеdS – приращение площади контура за время перемещения контураdt.
([])([]) lvBdtlvdtB dtdtε ××==rri[] lvdtndS ×=−rrr ([])([]) vBllvBε =×=×rri Поэтому можем записать Таким образом, получили закон Фарадея.
Как видим, роль сторонних сил, вызывающих ЭДС электромагнитной индукции, играет магнитная сила – сила Лоренца.
Поэтому можем записать Таким образом, получили закон Фарадея .
Как видим, роль сторонних сил, вызывающих ЭДС электромагнитной индукции , играет магнитная сила – сила Лоренца.
()() BndSBdSdФ dtdtdtε =−=−=−rrrri 15.
Вращение рамки с током Явление электромагнитной индукции используется в генераторах для преобразования механической энергии в электрическую.
Рассмотрим принцип действия генератора на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном полеВ.
Явление электромагнитной индукции используется в генераторах для преобразования механической энергии в электрическую.
Рассмотрим принцип действия генератора на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном полеВ.
Пусть рамка вращается (за счет энергии пара, воды и т.д.) с угловой скоростью .
Магнитный поток, пронизывающий рамку равен Угол между нормалью к поверхности рамкиn и вектором магнитной индукцииВ равен =t , поэтому Пусть рамка вращается (за счет энергии пара, воды и т.д.) с угловой скоростью .
Магнитный поток, пронизывающий рамку равен Угол между нормалью к поверхности рамкиn и вектором магнитной индукцииВ равен =t , поэтому ()cos ФBSBSα==r cos() ФBStω= При вращении рамки в ней возникает ЭДС электромагнитной индукции , меняющаяся по гармоническому закону Эта переменная ЭДС снимается с вращающегося витка с помощью щеток (см.
рисунок).
В России принята частота =/(2 ) = 50 Гц.
При вращении рамки в ней возникает ЭДС электромагнитной индукции , меняющаяся по гармоническому закону Эта переменная ЭДС снимается с вращающегося витка с помощью щеток (см.
рисунок).
В России принята частота =/(2 ) = 50 Гц.εi cos()dФBStdt ωωε =−=i Электродвигатели В электродвигателях явление электромагнитной индукции используется для преобразования электрической энергии в механическую.
Если по рамке, помещенной в магнитное полеB, пропускать переменный электрический токI , то на нее со стороны магнитного поля будет действовать вращательный механический момент где - магнитный момент рамки,S – площадь рамки.
В результате рамка будет вращаться с частотой, равной частоте переменного тока.
Электродвигатели В электродвигателях явление электромагнитной индукции используется для преобразования электрической энергии в механическую.
Если по рамке, помещенной в магнитное полеB, пропускать переменный электрический токI , то на нее со стороны магнитного поля будет действовать вращательный механический момент где - магнитный момент рамки,S – площадь рамки.
В результате рамка будет вращаться с частотой, равной частоте переменного тока.[]mMpB=×rrrm