Прототипы В 14. Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень

1. Прототипы В 14 Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень

ПРОТОТИПЫ В 14
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОЙ
ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩЕЙ
ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ,
ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ
ФУНКЦИИ И ФУНКЦИЮ
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ

2. Проверяемые требования (умения): уметь выполнять действия с функциями.

Умения по КТ
• Вычислять производные и
первообразные
элементарных функций
• Исследовать в
простейших случаях
функции на
монотонность,
находить наибольшие
и наименьшие
значения функций

3. Содержание задания В14 по КЭС

Начала математического анализа
• 4.1 Производная
4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
4.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса,
заданного формулой или графиком
4.1.3 Уравнение касательной к графику функции
4.1.4 Производные суммы, разности, произведения, частного
4.1.5 Производные основных элементарных функций
4.1.6 Вторая производная и ее физический смысл
• 4.2 Исследование функций
4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению
графиков
4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

4. Памятка ученику

• Задание B14 - на нахождение с
помощью производной точек
экстремума функции или
вычисление наибольшего
(наименьшего) значения функции на
отрезке. Для успешного решения
задачи ученик должен уметь
вычислять производные
элементарных функций и в
простейших случаях исследовать
функцию на монотонность.

5.

f ‘ (x)
формулы
С'
0
(x)'
1
(xa)'
ax a 1
sin'x
cos x
сos'x
tg'x
ctg'x
при a≠1
sin x
1
cos 2 x
1
sin 2 x
(ex)'
ex
(ax)'
a x ln a
ln'x
1
x
loga'x
1
x ln a
(f+g)'
f ' g'
(f∙g)'
f ' g fg '
(cf)'
cf '
f
'
g
(f(kx+b)) '
(f(g(x))) '
( f ' g fg ' )
g2
kf ' ( kx b)
f ' ( g( x )) g' ( x )

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего) значения на данном отрезке. Первый способ (традиционный) предполагает

использование алгоритмов и
1)
2)
3)
4)
знание формул.
использование алгоритмов и знание формул. Найти
производную функции.
Приравнять производную к нулю и решить полученное
уравнение.
Найти значение функции на краях числового
промежутка и в нулях производной, входящих в
данный числовой промежуток.
Выбрать среди полученных значений функции
значение, соответствующее вопросу задачи
(наибольшее или наименьшее)
Важно: промежуток может быть не указан, но
очевиден: область определения.

15. Прототип задания B14

• Найдите наименьшее значение
x 7
y
(
x
8
)
e
функции
на отрезке [6;8].
Найдем y'(x). Производная произведения равна
(uv) u v v u
y ( x 8) e x 7 ( x 8)(e x 7 ) e x 7 ( x 8) e x 7 e x 7 ( x 7)
Приравняем к нулю:
exx 77 ( x 7) 0
e
0- нет корней;
[6;8]
7
x 7, 0 x- принадлежит
Найдём наименьшее значение функции:
y (6) (6 8) e 6 7 2 2,7 1
y(7) (7 8) e7 7 1
y(8) (8 8) e8 7 0
Решение
20
27
Ответ: -1 - наименьшее значение функции на отрезке
[6;8].

16. Задания для самостоятельного решения

• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
y ( x 6)e x 5 на отрезке [4;6].
• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
y ( x 17)e x 16 на отрезке [15;17].
Проверка
Ответ: -1
Ответ: -1

17. Прототип задания B14

• Найдите наибольшее значение
функции y 12 cos x 6 3 x 2 3π 6
на отрезке
0; 2
Найдем y'(x). Производная функции равна
y 12 sin x 6 3
Приравняем к нулю:
3 - принадлежит
x
12 sin x 6 3 0 sin x
3
2
0; 2
Найдём наибольшее значение функции:
y (0) 12 1 6 3 0 2 3 6 12 2 3 6 7,12
1
y 12 6 3 2 3 6 6 2 3 2 3 6 12
2
3
3
y 0 6 3 2 3 6 3 3 2 3 6 3 6 11,4
2
2
Ответ: 12 - наибольшее значение функции на отрезке
Решение
0; 2 .

18. Задания для самостоятельного решения

Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
0.;
y 12 2 cos x 12 x 3 9
Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
.
на отрезке
0;
7
y 7 2 cos x 7 x
9
4
Проверка
2
2
Ответ: 21
Ответ: 16

19. Прототип задания B14

• Найдите наименьшее значение функции
3
на
отрезке
2 ;0
y 5 cos x 6 x 4
Найдем y'(x). Производная функции равна
y 5 sin x 6
Приравняем к нулю:
6
sin x - нет корней
5 функции:
Найдём наименьшее значение
5 sin 6 0
y (
Решение
3
3 3
) 5 cos
6
4 27 4 31
2
2 2
y (0) 5 4 9
Ответ: 9 - наименьшее значение функции на отрезке
3 .
;0
2

20. Задания для самостоятельного решения

Задание B14
Найдите наименьшее значение функции y 7 cos x 13x 9
на отрезке
.
Задание B14
Найдите наименьшее значение функции y 5 cos x 9 x 3 на отрезке
.
3
2 ;0
3
2 ;0
Проверка
Ответ: 16
Ответ: 8

21. Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:

1) Найти производную функции.
2) Приравнять производную к нулю и решить
полученное уравнение.
3) Провести исследование на экстремумы в
области определения функции. Если
экстремум один, то именно в нем достигается
наибольшее (наименьшее) значение
функции.

22. Алгоритм нахождения точек экстремума.

Найти производную функции.
Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых
производная не определена.
Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на
вопрос.
Например:
f (x )
f (x )
-3
Ответ:
3
т. max

23.

Формулы:
Дифференцирование показательной функции:
Дифференцирование логарифмической функции:
Дифференцирование сложной функции:
17.12.2017
a a
x
x
ln a
1
log a х
x ln a
f g x f g g x
23

24. Найдите наибольшее значение функции

y log 5 4 2 x x 2 3
Решение:
Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию
на всей области определения.
1
2
y
(
4
2
x
x
)
2
(4 2 х x ) ln 5
D f : 4 2 x x 0
2
x 1 5; 1 5
Конечно, страшновато, но
уже ясно, что краев у
числового промежутка нет,
а, следовательно в них не будет
достигаться наибольшее или
наименьшее значение.
y
1
( 2 2 x )
2
(4 2 х x ) ln 5
y 0
при x 1
Убедимся, что это значение наибольшее
f (x )
f (x )
1
т. max
Ответ:
17.12.2017
4
Точка максимума одна, следовательно в ней и будет
наибольшее значение.
yнаиб. y( 1) 4
24

25. Найдите наибольшее значение функции

7 6 x x 2
Решение:
y 3
y 3
x
Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию
на всей области определения.
D f : R
y 3
7 6 x x 2
7 6 x x 2
3
yнаиб. y ( 3) 9
ln 3 ( 6 2 x)
ln 3 ( 6 2 x) 0
Убедимся, что это наибольшее значение:
Разделим на первый и второй множители,
не равные нулю:
6 2x 0
17.12.2017
f (x )
3
т. max
Точка максимума одна, следовательно в ней и будет
наибольшее значение.
x 3
Ответ:
f (x )
9
25

26. Не очень просто. Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и

логарифмической функции в общем виде.
Попробуем иначе. Без использования
алгоритма и формул.

27. В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x).

28. Найдите наибольшее значение функции

7 6 x x 2
y 3
Решение:
Функция
y 3xвозрастает на R, следовательно наибольшее значение
принимает при наибольшем значении аргумента (аргументом в данном случае
является функция, находящаяся в показателе).
Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в
показателе.
f ( x) 7 6 x x
f ( x ) 6 2 x
6 2x 0
x 3
2
f (x )
f (x )
3
т. max
Следовательно f ( x )наиб. f ( 3) 2
2
y
3
9
Следовательно
наиб.
Ответ:
17.12.2017
9
28

29.

Можно и совсем обойтись без производной.
Используем простые графические
соображения.
17.12.2017
29

30. Найдите наименьшее значение функции

y 2
Решение:
x 2 2 x 5
Функция y 2 возрастает на R, следовательно наименьшее значение
принимает при наименьшем значении аргумента (функции, находящейся в
показателе).
x
Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в
показателе.
f ( x) x 2 2 x 5
График – парабола, ветви направлены
вверх.
b
1
2a
у0 4
Следовательно
f ( x )наим.
4
x0
Ответ:
17.12.2017
yнаиб. 2 4 16
1 6
30

31. Найдите наибольшее значение функции

Решение:
y log 5 4 2 x x 2 3
3
Функция y log 5 x возрастает
на всей области определения , следовательно
наибольшее значение принимает при наибольшем значении значении аргумента
(функции, находящейся под знаком логарифма).
Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся под знаком
2
логарифма.
D f : 4 2 x x 0
f ( x) 4 2 x x 2
x 1 5; 1 5
График – парабола, ветви направлены
вниз.
x0
у0 5
5
f ( x )наиб.
b
1
2a
Ответ: 4
Следовательно yнаиб. log 5 5 3 4
31

32.

Решим таким же способом задания,
связанные с исследованием сложной
функции, содержащей квадратичную
функцию под знаком квадратного корня.
17.12.2017
32

33. Найдите точку минимума функции

y x 2 6 x 11
Решение:
Функция
y x возрастает на всей области определения, следовательно
ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения.
Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R.
Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.
f ( x ) x 2 6 x 11
График – парабола, ветви направлены
вверх.
x0
b
3
2a
Ответ: 3
т. min
3
33

34. Найдите наибольшее значение функции

y 5 4 x x2
Решение:
Функция
y x возрастает на всей области определения, следовательно
принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с
учетом области определения.
D(y):[-5;1].
Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.
f ( x) 5 4 x x 2
График – парабола, ветви направлены
вниз.
b
2
2a
y0 9
9
f ( x )наиб.
x0
Ответ: 3
Следовательно yнаиб. 9 3
34

35. Реши самостоятельно любым способом:

• Найдите точку минимума функции
• Найдите точку максимума функции
• Найдите наименьшее значение функции
• Найдите наименьшее значение функции
17.12.2017
35

36. Задания для домашнего (или дополнительного) решения

• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
.
на отрезке
0; 2
• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке 0; .
2
Проверка
Ответ: 0
y 4
y 11
4 3
4 3 x 8 cos x
3
7 3 7 3
14 3
x
cos x
18
3
3
Ответ: 4

37. Задания для домашнего (или самостоятельного) решения

Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
2 ;0
Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
2 ;0
Проверка
Ответ: 3
y 11xна
9отрезке
sin x 3
на отрезке
y 12 x 8 sin x 6
Ответ: 6