Математикалық шамалар және олардың симметриясы

1.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Кристаллофизика негіздері (11-14 дәрістер)
Математикалық шамалар және олардың симметриясы
Векторлар және скалярлар
2-ші рангті полярлық тензор
2-ші рангті полярлық тензордың симметриясы
2-ші рангті аксиал тензор және оның симметриясы
Жоғарғы рангті тензорлар
Физикалық құбылыстар және кристалл симметриясы
Физикалық құбылыстар симметриясы
Нейман принципі
Кюри принципі

2.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Математикалық шамалар және олардың симметриясы
Векторлар және скалярлар
Кристалдың физикалық қасиеттері скаляр,
тензорлармен сипатталады.
вектор
және
Скалярлар – кристалдың көлемі, тығыздығы, жылусиымдылығы
және т.б. бағытқа тәуелсіз физикалық шамаларды сипаттайтын
бағытталмаған математикалық шамалар.
Векторлар – жылдамдық, күш, электр және магнит өрістерінің
кернеулігі, поляризация және магниттену сияқты бағытқа тәуелді
шамаларды сипаттайтын бағытталған математикалық шамалар.
Тензорлар – диэлектрлік өтімділік, магниттік сезгіштік және
т.б. бағытқа тәуелді физикалық шамаларды сипаттайтын
бағытталған математикалық шамалар.

3.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Полярлық вектор
Полярлық вектордың басы мен аяғы едәүір әртүрлі болатынын және
оларды ешқандай операциямен бірлестіруге болмайтынын көрсету
үшін оны бағытшамен белгілейді.
Полярлық вектордың
анықталады:
р
абсолют
шамасы
келесі
қатынастан
| р| = (р12 + р22 + р32)½,
мұндағы р1, р2, р3 – р вектордың Х1, Х2, Х3 (1 сур.) түзусызықты
координат жүйесінің осьтері бойынша компоненттері.
Полярлық
вектордың
бағыты
оның
координат
осьтерімен
жасайтын
бұрыштардың бағыттаушы косинустарынан
анықталады.
1 сур.
cosa1 = р1/р, cosa2 = р2/р, cosa3 = р3/р.

4.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Бағыттаушы косинустар матрицасы төмендегі қасиеттерге ие болады:
1. Қатарлар немесе бағаналар квадраттарының сомасы бірге тең
болады.
2. Қос қатарлар немесе бағаналардың көбейтіндісінің сомасы нольге
тең.
3. Матрица детерминанты.
Оң жүйеден оң жүйеге және сол жүйеден сол жүйеге өткенде мынадай
болады:
|Cij| = С11С22С33 + С12С23С31 + С13С21С32 – С13С22С31 – С11С23С32 –
– C12C21C33 = +1.
Оң жүйеден сол жүйеге және керісінше өткенде мынадай болады:
|Cij| = С11С22С33 + С12С23С31 + С13С21С32 – С13С22С31 – С11С23С32 –
– C12C21C33 = – 1.
4. Матрицаның кез келген элементі келесі қатынастар көмегімен
табылады:
Cij = (–1)i + j Aij|Cij|,
Aij – i бағанасын
минор.
және j қатарын сызып тастағанда шығатын қосымша

5.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Полярлық вектор анықталған координат жүйесі кеңістікте орнын
аустырғанда оның компоненттері қалай өзгеретінін қарастырайық.
Мәселені жеңілдету үшін жазық жағдайды алайық (2 сур).
2 сур. Жазық координат
жүйесі бұрылған кездегі
полярлық
вектордың
түрленуі.
р векторы Х2, Х3 координат жүйесінде
берілген
дейік.
Бұл
координат
жүйесіндегі оның компоненттері р2
және р3. Енді бұл координат жүйесі
бүтіндей a бұрышына бұрылды дейік.
Ол Х2 және Х2´ осьтері мен Х3 және
Х3´осьтерінің арасындағы бұрыш. Х2´
және
Х3
осьтерінің
арасындағы
бұрышты b деп белгілейік.
р (р
векторының
шамасы
өзгермейді)
векторының компоненттерін жаңа Х2´,
Х3´ координат жүйесінен табайық.

6.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
AD перпендикулярдың Х2 осімен қиылысатын нүктеден Х2´осіне DB
перпендикулярын жүргізейік. Онда
p2´ = OB + BC = OB + DE.
(1)
Әрі қарай
OB = p2cosa = c22p2.
(2)
ADE = FOB = b – беттері параллель
бұрыштар.
Онда
DE = ВС = p3cosb = c23p3.
(3)
(2) мен (3) теңдеулерін (1) формуласына койсақ келесіні аламыз
p2´ = c22p2 + c33p3.
Дәл осындай жолмен келесі аламыз
p3´ = c32p2 + c33p3.

7.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сәйкесінше үшөлшемдік жағдайда р векторының жаңа Х1´, Х2´,
Х3´ координат жүйесіндегі компоненттері ескі жүйедегі Х1, Х2, Х3
компоненттерімен келесі түрде байланысқан болады:
p1´ = c11p1 + c12p2 + c13p3,
p2´ = c21p1 + c22p2 + c23p3 ,
p3´ = c31p1 + c32p2 + c33p3.
немесе қысқа түрде:
pi´ = cij pj ,
(4)
мұндағы i және j = 1, 2, 3 және қайталанатын индекстер
бойынша қосындылау.
Қосу индекстерін жазу тәртібі – бірінші орында жаңа координат
жүйесіне жататын индекс жазылады.
Ескі координаттардан жаңаларына кері ауысу:
pi = cji pj´.
(5)

8.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Полярлық вектордың компоненттері бір координат жүйесінен екіншіге
өткен кезде қалай түрленетіні белгілі болса, онда бұл вектордың
белгілі бір симметриялық түрлендірулерге қатысты инвариантығы
туралы кеңістік бойынша симметриясы тұрғысынан сұрақ қоюга
болады.
Полярлық вектор кристаллофизикалық координат жүйесінің Х3 осі
бойымен бағытталған болсын. Олай болса p3 = p, p1 = p2 = 0.
Векторды Х3 осінен кез келген a бұрышына бұрайық. Мұндай
координат
жүйесінің
бұрылысы
бағыттаушы
косинустар
матрицасымен сипатталады:
c s 0 Оларды (4) түрлендіру формуласына қойсақ.
(4) p1´ = 0, p2´ = 0, p3´ = p3 аламыз
s c 0 pi´ = cij pj
0 0 1
Мұндай түрлендіру вектордың әр компонентасы өз
өзіне түрленетінін дәлелдейді, және полярлық вектор
ұшы бағытталған сызықша тәрізді реті симметрия
осіне ие болатынын көрсетеді.

9.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Енді векторды бойлай өтетін Х1Х3 жазықтығы вектордың
симметрия жазықтығы болатынын көрсетейік. Бұл жазықтықтан
шағылу келесі матрицамен бейнеленеді:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Оны (4) формуласына қойып келесіні аламыз
p1´ = 0, p2´ = 0, p3´ = p3.
Вектордың әр компонентасы өз өзіне түрленетіні және Х1Х3
жазықтығы полярлық вектордың симметрия жазықтығы
болатыны көрінеді. Бірақ осі бұл жазықтықты шексіз рет
көбейтеді және полярлық вектор реті шексіз оське параллель
өтетін және осы осьте қиылысатын симметрия жазықтықтарының шексіз санына ие болады.
Полярлық вектордың басқа симметрия элементтері сонымен
қатар осіне перпендикуляр симметрия жазықтығы
болмайтынына көз жеткізейік.

10.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Х1Х2 жазықтығында шағылу косинустар матрицасымен бейнеленеді:
1 0 0
Бұл түрлендіру келесі нәтижеге келтіреді:
0 1 0
0 0 1
p1´ = 0, p2´ = 0, p3´ = –p3.
Мұндай түрлендіруден вектордың p3´ компонентасы өз өзіне
түрленбейтіні көрінеді, олай болса полярлық вектор осіне
перпендикуляр симметрия жазықтығына ие болмайды.
Сонымен полярлық вектордың кеңістік симметриясы m = m шекті
нүктелік топ симметриясына сай болады. Мұндай симметрия
полярлық вектордың геометриялық бейнесі болатын – бағытшамен (3
сур.) келіседі. Оның бір ұшы оң деп, ал екінші ұшы теріс деп
есептеледі.
3 сур. Полярлық вектордың геометриялық
бейнесі

11.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Полярлық вектор компоненттері (4) және (5) формулалары
бойынша түрленеді және бұл түрлендірулер оң координат
жүйесінен оңға, немесе оңнан сол жүйеге ауысуларды қосу
қоспауына тәуелсіз болады. Расында векторға параллель
симметрия жазықтықтары оң координат жүйесін солға
түрлендіреді және бұл жазықтықтар полярлық вектордың
симметрия элементтері болады, өйткені олардың симметриялық
түрлендірулеріне қатысты вектор инвариантты болады.
Кристаллофизикада полярлық векторлардан басқа жиі
аксиалдық векторлар қолданылады. Бұл векторлар бұрыштық
жылдамдық немесе күш моменті сияқты физикалық шамаларды
сипаттайды.
Дене F күш әсерінен радиусы R шеңбер бойымен қозғалды
делік. Олай болса М күш моменті – аксиал вектор – R және F
екі полярлық вектордың векторлық көбейтіндісіне тең болады:
М = [R F].
Бұл вектор R және F векторларының
перпендикуляр болады.
жазықтығына

12.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Бұл жазықтықта айналу болғандықтан аксиал векторды дөңгелек
бағытшамен қоршалған, оның сандық мәніне тең кесінді ретінде
бейнелеген дұрыс (4 сур.).
4 сур. Аксиал вектордың
геометриялық бейнесі
Осьтің
қай
шетінен
бақылау
жүргізгенімізге байланысты айналу сағат
тіліне бағыттас немесе оған қарсы болуы
мүмкін. Сондықтан аксиал вектордың екі
ұшы болады: сол немесе солтүстік – сағат
тіліне қарсы айналу және оң немесе
оңтүстік – айналу сағат тілімен бағытас
болады.
Полярлық және аксиал векторлар компоненттерге параллелограмм
ережесі бойынша жіктеледі. Бұл екі вектор олардың сандық мәндеріне
тең түзудің кесіндісі түрінде бейнеленеді. Полярлық векторда теріс, ал
аксиал векторда оңтүстік полюс деп аталатын екі вектордың да басы
және полярлық вектор да оң, ал аксиал векторда солтүстік деп
аталатын аяқтары болады.

13.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Аксиал векторы бар координат жүйесі өзгергенде аксиал вектор
компоненттерінің түрлену ережесін қарастырайық.
Х1, Х2, Х3 оң кристаллофизикалық координат жүйесінде g аксиал
векторы екі полярлық р және q векторларының векторлық
көбейтіндісі ретінде берілген, б.а.
g = [p q].
Векторлық алгебра ережесіне сай
g аксиал вектордың
координат осьтеріне проекциялары р және q полярлық
векторлардың проекциялары арқылы келесі түрде өрнектеледі:
X1 осіне проекциясы: g1 = p2q3 – p3q2;
X2 осіне проекциясы: g2 = p3q1 – p1q3;
X3 осіне проекциясы: g3 = p1q2 – p2q1;

14.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Енді бұл оң координат жүйесі өзгеріп оң (немесе сол) Х1´, Х2´,
Х3´ координат жүйесіне айналсын. Аксиал вектордың
компоненттерін полярлық вектор компоненттерін түрлендіру
формуласының [(4) қар.] көмегімен түрлендірейік. Х1 осіне
проекциясы үшін:
g1´ = p2´q3´ – p3´q2´ = c2i pi c3j qj – c3j pj c2i qi = c2i c3j (pi qj – pj qi).
Бұл формуланы ашып, келесіні аламыз
g1´ = (c22c33 – c23c32)(p2q3 – p3q2) + (c23c31 – c21c33)(p3q1 – p1q3) +
(c21c32 – c22c31)(p1q2 – p2q1).
(6)
Онан әрі бағыттаушы косинустардың 4-ші қасиетін қолданайық.
Оң координат жүйесі оң жүйесіне өзгерсін дейлік (немесе сол –
солға). Сонда
c22c33 – c23c32 = c11,
c23c31 – c21c33 = c12,
c21c32 – c22c31 = c13.

15.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Бұл өрнектерді (6) теңдеуіне қойып, келесіні аламыз
g1´ = c11(p2q3 – p3q2) + c12(p3q1 – p1q3) + c13(p1q2 – p2q1) =
= c11g1 + c12g2 + c13g3.
Дәл осы жолмен Х2' және Х3' осьтеріне проекциялар алуға
болады
g2´ = c21g1 + c22g2 + c23g3,
g3´ = c31g1 + c32g2 + c33g3.
Сонымен, координат жүйенің оңнан оңға өзгергенінде (немесе
солдан солға) аксиал вектордың компоненттері келесі ереже
бойынша түрленеді
gi´ = cijgj ,
яғни, полярлық вектор компоненттеріне ұқсас әдіспен.
Сол себептен кері түрлендіру ережесі де ұқсас болады
gi = cjigj´.

16.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Енді аксиал вектор берілген координат жүйесі оңнан солға немесе
солдан оңға өзгерсін. Онда бағытаушы косинустардың 4-ші қасиеті
бойынша келесіні аламыз
c22c33 – c23c32 = –c11,
c23c31 – c21c33 = –c12,
және
c21c32 – c22c31 = –c13,
g1´ = –c11g1 – c12g2 – c13g3.
Басқа компоненттер үшін дәл сол жолмен:
g2´ = –c21g1 – c22g2 – c23g3,
g3´ = –c31g1 – c32g2 – c33g3.
Сонымен аксиал вектор компоненттері координат жүйесінің оңнан
солға немесе солдан оңға өзгергенінде келесі ережеге сәйкес
түрленеді:
gi´ = –cij gj .
Немесе кері өзгеру үшін:
gi = –cji gj´.

17.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Осы формулаларды біріктіріп координат жүйесі өзгерген кезде
аксиал вектор компоненттерін түрлендіру ережесін аламыз:
gi´ = cij gj
gi = cji gj´.
(7)
Бұл жерде «+» таңбасы координат жүйесі оңнан оңға немесе
солдан солға өзгерген кезде және «–» таңбасы координат жүйесі
оңнан солға немесе солдан оңға өзгерген кезде қойылады.
(7) түрлендіру формуласынан аксиал вектор оны бойлай өтетін
симметрия осіне ие болатыны шығады. Расында осьты
айнала кез келген бұрышқа бұрылу симметриялық түрлендіруі
координат жүйесін өзгерпейді. Олай болса (7) формуласының
полярлық вектор үшін (4) формуласынан айырмашылығы жоқ және
аксиал вектор полярлық вектор сияқты реті шексіз симметрия осіне
ие болады.
Бірақ аксиал вектордың полярлық векторға қарағанда осіне
параллель симметрия жазықтықтары болмайды.

18.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Аксиал вектор оң координат жүйесінің Х3 осін бойлай өтетін болсын,
ал Х3Х1 бір симметрия жазықтығы болсын.
1 0 0
Бұл жағдайда оң координат жүйесі солға өзгереді және
бағыттаушы косинустар матрицасы келесі түрде жазылады 0 1 0
0
0
1
Біздің орнықтыруда g1 = g2 = 0. Сондықтан тек g3
компонентасының түрленуін зерттейміз. (7) формула
бойынша
g3´ = –g3.
Сонымен Х3Х1 жазықтығы симметрия жазықтығы болмайды және
осінен өтетін ешқандай жазықтық симметрия жазықтығы болмайды.
Х1Х2 жазықтығы симметрия жазықтығы бола ма? Мұндай түрлендіру
нәтижесінде оң координат жүйесі солға өзгереді. g1 = g2 = 0
болғандықтан тек g3 компонентасын қарастырамыз. Бағыттауыш
косинустар матрицасының бұл жағдайдағы түрі
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(7) теңдеуін қолданып, келесіні
g3´ = g3
аламыз
б.а. Х1Х2 жазықтығы аксиал вектордың симметрия жазықтығы болады.

19.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сонымен аксиалдық вектор келесі кеңістік симметрия элементтеріне
ие болады: ұзындығын бойлай өтетін осі және осы оське
перпендикуляр симметрия жазықтығы.
Демек, оның симметриясы /m нүктелік шекті топпен сипатталады.
Бұл топ аксиал вектордың геометриялық бейнесі болатын түзу кесіндісі
мен оны айнала қоршайтын бағытшамен жақсы сипатталады.
Екі полярлық вектордың скалярлық көбейтідісін қарастырайық:
а = pq = pqcos(pq),
(8)
мұндағы а – р және q векторларының абсолют мәндерінің көбейтіндісі
олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтілген бағытсыз
скаляр шама. Скалярдың таңбасы оң болу үшін cos(pq) > 0, ал теріс
болу үшін cos(pq) < 0 болу керек, және егер cos(pq) = 0, яғни р және q
векторлары өзара перпендикуляр болса, онда нольге тең болады.
(8)-ден полярлық векторлардың скалярлық көбейтіндісі вектор
компоненттері арқылы келесі түрде жазылады:
а = p1q1 + p2q2 + p3q3.
(9)
Скаляр полярлық векторлардың сызықты комбинациясы болғандықтан
координат жүйесінің кез келген өзгеруінде оның таңбасы
өзгермейтіні осы теңдеуден көрінеді.

20.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Скалярдың кеңістік симметриясы туралы мәселе (9) теңдеуді
талдау арқылы шешіледі. Скаляр оң координат жүйесінде (9)
теңдеумен өрнектелсін. Ол симметрия осіне ие болады ма? Ол
үшін оның Х3 осін айнала кез келген a бұрышына бұрылу
инварианттігін тексерейік.
Мұндай түрлендірудің бағыттаушы
матрицасы келесі түрде жазылады:
c s 0
косинустар s c 0
0 0 1
Сәйкесінше косинустарды (9) теңдеуіне қойып келесіні аламыз
а´ = p1´q1´ + p2´q2´ + p3´q3´ = (cp1 + sp2) (cq1 + sq2) + (cp2 – sp1) (cq2 – sq1)
+ p3q3 = p1q1(c2 + s2) + p2q2(c2 + s2) + p3q3 = p1q1 + p2q2 + p3q3 = а.
Бұл теңдеуден скаляр Х3 осінің бойымен өтетін реті шексіз
симметрия осіне ие болатыны көрінеді. Бірақ скаляр бағытсыз
шама болғандықтан осі кез келген бағыттан өтеді деп болжауға
болады, яғни скаляр осьтердің шексіз санына ие болады.

21.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Скалярдың симметрия жазықтықтары бар жоғын тексерейік.
Симметрия жазықтығы осінен өтетін және Х1Х3 жазықтығымен
сәйкес болсын.
1 0 0
Бағыттаушы косинустар матрицасы келесі түрде жазылады 0 1 0
0 0 1
Осы матрицаны (9) теңдеуіне қойсақ, келесіні аламыз
а´ = p1´q1´ + p2´q2´ + p3´q3´ = (1)p1(1)q1 + (–1)p2(–1)q2 + (1)p3(1)q3 =
= p1q1 + p2q2 + p3q3 = а
б.а. бұл жазықтық расында симметрия жазықтығы болады.
Сол сияқты симметрия жазықтықтары барлық осьтеріне параллель өте
алады, ал мұндай осьтер саны шексіз және олар барлық бағыттар бойымен
бағытталған болғандықтан мұндай симметрия жазықтықтары шексіз көп
болады.
Сонымен скаляр келесі симметрия элементтеріне ие болады:
реті шексіз симметрия осьтерінің шексіз санына және
симметрия жазықтықтарының шексіз санына. Олай болса
скалярдың симметрия формуласы – m , ал оның нүктелік
шекті симметрия тобы – / m. Мұндай скалярдың
геометриялық бейнесі материалдық фигура - сфера болады.
/ m

22.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Полярлық және аксиалдық векторлардың скалярлық көбейтіндісін
қарастырайық:
a* = pg = pgcos(pg), (10)
а* шамасы псевдоскаляр деп аталады. Оның абсолют шамасы скаляр
шамасы сияқты (9) теңдеуден анықталады. Бұл теңдеу координат
жүйесі өзгерген кезде псевдоскалярдың түрлендіру ережесін табуға
мүмкіндік береді.
Псевдоскаляр а* оң немесе сол координат жүйесінде берілген болсын.
Егер координат жүйесі оңнан оңға немесе солдан солға өзгерсе, онда
жоғарыда скаляр үшін алынған қорытындылардың барлығы
орындалады, өйткені мұндай жағдайда полярлық және аксиалдық
векторлар компоненттерінің түрлендіру формулалары бірдей болады:
а'* = а*.
Координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде
псевдоскаляр қалай өзгереді?
(4) және (7) түрлендіру формулаларын қолданып, келесіні аламыз
а´* = p1´g1´ + p2´g2´ + p3´g3´ = (c11p1 + c12p2 + c13p3)(–c11g1 – c12g2 – c13g3)
+ (c21p1 + c22p2 + c23p3)(–c21g1 – c22g2 – c23g3) + (c31p1 + c32p2 + c33p3)(–
c31g1 – c32g2 – c33g3) = –p1q1 – p2q2 – p3q3 = –а*

23.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сонымен, координат жүйесі оңнан солға немесе солдан оңға өзгерсе
псевдоскаляр таңбасын өзгертеді.
Псевдоскалярдың жалпы түрлендіру формуласын келесі түрде жазуға
болады:
егер координат жүйесі оңнан оңға немесе солдан
а'* = ±а*
солға өзгерсе «+» таңбасы
жазылады, ал егер
а* = ±а'* (11) координат жүйесі оңнан солға немесе солдан оңға
өзгерсе «–» таңбасы жазылады.
Псевдоскаляр осьтерінің шексіз санына ие болады,
/
өйткені бұл жағдайда симметриялық түрлендірулер
скаляр үшін алынған түрлендірулермен бірдей.
Симметрия жазықтықтары бар болса, координат жүйесі
оңнан солға немесе керісінше өзгереді. Олай болса (11)
формуласында теріс таңбасын жазу керек, бірақ вектор
компоненттері бірдей болмайды.
Сондықтан псевдоскаляр симметрия жазықтықтарына ие
болмайды. Оның толық симметриясы , шекті тобы – / .
Псевдоскалярдың геометриялық бейнесі – сфера, себебі сфераның
барлық диаметрлері бұралған және симметрия жазықтықтары жоқ.

24.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
2-ші рангті полярлық тензор
Екі вектордың сызықтық байланысын қарастырып
тензор
ұғымына
келуге
болады.
Х1 Х2 Х 3
кристаллофизикалық координат жүйесінде р және
q полярлық векторлар берілген болсын.
Егер олардың арасындағы байланыс сызықтық болса p = Tq,
онда бұл векторлардың компоненттері өзара сызықтық қатынастармен
байланысқан болады: p = T q + T q + T q
1
11 1
12 2
13 3
p2 = T21q1 + T22q2 + T23q3
p3 = T31q1 + T32q2 + T33q3
Tij шамаларының жиынтығын 2-ші рангті полярлық
тензор деп атайды және оны
келесі түрде жазуға болады
p1
p2
p3
немесе матрица түрінде
q1
q2
q3
T 11
T 21
T 31
T 12
T 22
T 32
T 13
T 23
T 33
T 11 T 1 2 T 1 3
T 21 T 22 T 23
T 31 T 32 T 33

25.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Бұл тензор сызықтық тәуелділікпен екі полярлық векторды
байланыстыратын болғансоң оны полярлық деп атайды.
р векторын q векторына түрлендіретін шаманы анықтама бойынша
тензор деп қарастыруға болады. Әрбір Tij шаманы осы тензордың
компоненттері деп есептейді.
Арнайы тензор түрлерін қарастырайық.
Полярлық векторлардың бірі, мысалы q векторы Х3
осін бойлай бағытталған, ал р векторы оған тәуелсіз
бағытталған болсын.
q1 q2 q3
Онда
Бұл жерден
p1
p2
p3
0
0
0
0
0
0
T 13
T 23
T 33
Бірақ
p1 = T13q3
T13 = p1/q3 = cos90 = 0
p2 = T23q3
T23 = p2/q3 = cos90 = 0
p3 = T33q3
T33 = p3/q3 = cos0 = 1
сондықтан бұл тензордың
матрицасы келесі түрде жазылады
0 0 0
0 0 0
0 0 1

26.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
р полярлық векторы Х1 осін, ал q векторы Х3
осін бойлай бағытталған болсын.
Онда
p1
p2
p3
q1
q2
q3
0
0
0
0
0
0
T 13
0
0
Бұл жерден p1 = T13q3
Бірақ T13 = p1/q3 = cos90 = 0
сонда бұл тензор матрицасы келесі түрде
жазылады
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Мұндай тензор 2- ші рангті нольдік тензор деп аталады.

27.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Енді екі полярлық вектор бағыттас
кеңістікте кез келген бағытта болсын.
Онда
T11 = p1/q1 = cos0 = 1
p1 = q1
p2 = q2
және
p3 = q3
T21 = p2/q1 = cos90 = 0 T31 = p3/q1 = cos90 = 0
T12 = p1/q2 = cos90 = 0 T22 = p2/q2 = cos0 = 1
T32 = p3/q2 = cos90 = 0
T13 = p1/q3 = cos90 = 0 T23 = p2/q3 = cos90 = 0 T33 = p3/q3 = cos0 = 1
1 0 0
Тензор матрицасы келесі түрде жазылады 0 1 0
0 0 1
Мұндай тензор 2-ші рангті бірлік полярлық тензор деп аталады.

28.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Координат жүйесі өзгергенде 2-ші рангті полярлық тензор
компоненттерін түрлендіру формуласы
Кристаллофизикалық координат жүйесінде (оң немесе сол) 2-ші рангті
тензор берілген болсын:
pi = Tijqj
(12)
Жаңа координат жүйесінде (оң немесе сол) бұл тензор компоненттері
келесі түрде жазылады
p'l = T'lmq'm
(13)
Полярлық вектор компоненттері келесі ереже бойынша түрленеді p'l = clipi
Бұл теңдеуді (12) формулаға қойсақ
clipi = T'lmq'm
(14)
Енді (12) теңдеуін (14) теңдеуіне қойып, келесіні аламыз
cliTijqj = T'lmq'm
(15)
Бұл теңдеуде qj векторының компоненттері келесі түрде түрленеді:
qj = cmjq'm
(16)

29.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Бұл теңдеуді (15) теңдеуге қойып, келесіні аламыз c T c q' = T' q'
li ij mj m
lm m
Бұл теңдеуде q'm қысқартып, келесіні аламыз
Кері түрлендіру келесі түрде жазылады
T'lm = clicmjTij
Tij = clicmjT'lm
(17)
(18)
(19)
Мысал ретінде тензордың T'13 компоненті үшін толық түрінде жазылуын
көрсетейік
T'13 = c11c31T11 + c11c32T12 + c11c33T13 + c12c31T21 + c12c32T22 +
c12c33T23 + c13c31T31 + c13c32T32 + c13c33T33.
Бағыттаушы косинустар индекстері келесі ереже бойынша жазылады: бірінші
орынға жаңа тензордың компоненттер индекстері , ал екінші орынға ескі
тензордың компоненттер индекстері.
Жаңа координаттарға ауысқанда тензордың өзі өзгермейді, тек оның
компоненттері өзгереді.
Тензор компоненттерін түрлендіру формуласына екі бағыттаушы косинустың
көбейтіндісі, вектор компоненттерін түрлендіру формуласына бір бағыттаушы
косинус кіреді, ал скалярды түрлендіру формуласына бағытаушы косинус
кірмейді. Осыған сәйкесті тензор - 2-ші рангті тензор, вектор – 1-ші рангті
тензор, ал скаляр – 0-ші рангті тензор деп аталады.

30.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
2-ші рангті полярлық
қорытындылауға болады:
тензор
қасиеттерін
келесі
түрде
1. Екі тензор қосындысы 2-ші рангті полярлық тензор болады және
оның
компоненттері
бастапқы
тензорлардың
сәйкесті
компоненттерінің қосындысына тең болады.
2. Тензордың скалярға көбейтіндісі 2-ші рангті тензор болады және
оның компоненттері бастапқы тензор мен скаляр компоненттерінің
көбейтінділеріне тең болады.
3. Қатарлары бағана және керісінше болатын тензор берілген тензорға
түйіндес деп аталады.
4. Tij = Tji тең болатын тензор симметриялық деп
аталады. Оның алты компоненті болады:
T11 T12 T13
T12 T22 T23
T
T
T
13
23
33
5. Симметриялық тензорға түйіндес болатын тензор
оған тең болады.
T21 T13
6. Tij = – Tji тең болатын, ал диагонал мүшелері 0
0
T32
нольге тең болатын тензор антисимметриялық T21
T
деп аталады. Оның үш компоненті болады
0
13 T32

31.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
7. Антисимметриялық тензорға түйіндес болатын тензордың таңбасы
теріс болады: Tij = – Tji
8. Кез келген 2-ші рангті тензорды жалғыз әдіспен екі тензордың
қосындысына жіктеуге болады және олардың бірі симметриялық, ал
екіншісі антисимметриялық болады:
T =T
+T
(20)
ij
ij sym
ij ant
(20) теңдеудің екі бөлігінен түйіндес тензорлар алайық
сопр
сопр
Tijсопр Tijsym
Tijant
сопр
сопр
Но Tijant
Tijsym
Tijsym (21)
T jiant
Бұл өрнектерді (21) теңдеуге қойып, келесіні аламыз
Tijсопр Tijsym T jiant (22)
(20) және (22) теңдеулерді қосып, келесіні
аламыз
Tijsym
Tij Tijсопр
2
(23)
Tij Tijсопр
(20) теңдеуден (22) азайтқанда, келесіні
Tijant
(24)
аламыз
2
Енді (23) және (24) теңдеулерді қосып, келесіні аламыз
Tij = Tij sym + Tij ant

32.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сонымен, кез келген 2-ші рангті тензорды бір жалғыз әдіспен екі
тензордың қосындысына жіктеуге болады және олардың бірі
симметриялық, ал екіншісі антисимметриялық болады:
Tij = Tij sym + Tij ant
(20)
T11 T12 T13 T11 T12 T13 0
T21 T22 T23 T12 T22 T23 T21
T
T T
T
T
T
T
33
23
33
31 32
13
13
T21
0
T32
T13
T32
0
9. 2-ші рангті антисимметриялық тензор дегеніміз аксиал вектор
болады.
Антисимметриялық тензор берілген болсын
T21 T13
0
0
T32
T21
T
0
13 T32
Координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгергенде бұл
тензордың компоненттері қалай түрленеді?

33.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
(18) Түрлендіру формуласын қолдансақ
T'lm = clicmjTij
(18)
T'21 = –c21c12T21 + c21c13T13 + c22c11T21 – c22c13T32 – c23c11T13 + c23c12T32
T'13 = –c11c32T21 + c11c33T13 + c12c31T21 – c12c33T32 – c13c31T13 + c13c32T32
T'32 = –c21c22T21 + c31c23T13 + c32c21T21 – c32c23T32 – c33c21T13 + c33c22T32
Ұқсас мүшелерді біріктірсек:
T'21 = (c22c11 – c21c12)T21 + (c21c13 – c23c11)T13 + (c23c12 – c22c13)T32
T'13 = (c12c31 – c11c32)T21 + (c11c33 – c13c31)T13 + (c13c32 – c12c33)T32
(25)
T'32 = (c32c21 – c21c22)T21 + (c31c23 – c33c21)T13 + (c33c22 – c32c23)T32
Бағыттаушы косинустардың 4-ші қасиеті бойынша жақшадағы
бағыттаушы косинустар қос көбейтінділерінің айырмасын сәйкесті
бағыттаушы косинустарға ауыстырып келесіні аламыз
T'21 = c31T32 + c32T13 + c33T21
T'13 = c21T32 + c22T13 + c23T21
T'32 = c11T32 + c12T13 + c13T21

34.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Келесі белгілеулер енгіземіз T12 = g3; T13 = g2; T32 = g1 немесе g'i = cijgj (26)
Сонымен 2-ші рангті антисимметриялық полярлық тензор
компоненттері координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға)
өзгергенде вектор компоненттері сияқты түрленеді. Бірақ ол қандай
(полярлық немесе аксиалдық) вектор болады деген сұрақ қалады.
Координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгергенде
антисимметриялық тензор компоненттерінің түрленуін қарастырайық.
(25) жүйесіне оралсақ
T'21 = (c22c11 – c21c12)T21 + (c21c13 – c23c11)T13 + (c23c12 – c22c13)T32
T'13 = (c12c31 – c11c32)T21 + (c11c33 – c13c31)T13 + (c13c32 – c12c33)T32
(25)
T'32 = (c32c21 – c21c22)T21 + (c31c23 – c33c21)T13 + (c33c22 – c32c23)T32
Координат жүйесі таңбасының өзгеруін
ескере отырып бағыттаушы косинустар T'21 = –c31T32 – c32T13 – c33T21
қос
көбейтіділерінің
айырмасын T'13 = –c21T32 – c22T13 – c23T21
ауыстырайық
(бағытаушы
косинусT'32 = –c11T32 – c12T13 – c13T21
тардың 4-ші қасиетті):

35.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
немесе қабылданған белгілеуге сәйкес
g'i = –cijgj
(27)
Енді (26) және (27) теңдеулерден
g'i = cijgj
(26)
координат жүйесі өзгергенде 2-ші рангті антисимметриялық полярлық
тензор компоненттері аксиал вектор компоненттері сияқты түрленетіні
көрінеді.
T11 T12 T13
Х1Х2Х3 координат жүйесінде берілген 2-ші рангті T T
12
22 T23
симметриялық тензорды қарастырайық:
T
T
T
13
23
33
Координат жүйесі суретте көрсетілгендей
өзгерген болсын.Симметриялық тензордың түрі
қалай өзгереді?
Координат жүйесінің мұндай өзгеруі келесі
бағаттаушы косинустар матрицасымен бейнеленеді:
5 сур. 2-ші рангті полярлық
тензорды диагоналдық түрге
келтіру
0
1 0
0 1 0
0
0 1

36.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
2-ші рангті тензор компоненттерін түрлендіру формуласын
қолданып келесіні аламыз
T'11 = (–1)(–1)T11,
T'33 = (–1)(–1)T33
T'22 = (–1)(–1)T22,
T'12 = T'12 = T'23 = 0
Сонымен координат жүйесін сәйкесінше таңдай отырып 2-ші
рангті тензорды диагоналдық түрге келтіруге болады:
0
T11 0
0 T22 0
0
0
T
33
Жеке жағдайларда келесі тензорларды аламыз
0
T11 0
0 T11 0
0
0
T
33
0
T11 0
0 T11 0
0
0
T
11
Симметриялық тензорды диагоналдық түрге келтіретін координат
жүйесі бас координат жүйесі деп аталады.

37.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Вектор мен скалярлар өздеріне тән бағытша және сфера тәрізді
геометриялық бейнеге ие болады.
Антисимметриялық тензор аксиал вектор сияқты түрленеді сондықтан
оған қоршаған бағытшасы бар түзудің кесіндісі тәрізді геометриялық
бейне сәйкес болады. Симметриялық тензорлар да геометриялық
бейнеге ие болады.
2-ші рангті полярлық тензордың геометриялық бейнесі реті екінші
орталық жазықтық болады.
Кездейсоқ алынған X'1X'2X'3 координат жүйесінде реті екінші орталық
жазықтық теңдеуі келесі түрде болады:
a'11x'12 + a'22x'22 + a'33x'32 + 2a'23x'2x'3 + 2a'31x'1x'3 + 2a'12x'1x'2 = 1
(28)
бұл жерде a'ij – тұрақты коэффициенттер.
Бас координат жүйесіне X1X2X3 ауысқан кезде жазықтық нүктесінің
координаттары радиус-вектор компоненттері болады, яғни келесі заң
бойынша түрленеді
x'i = cijxj

38.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер x'i = cijxj осы өрнекті (28) теңдеуіне қойсақ, онда a'ij
коэффициенттері келесі формулаға сай түрленетінін анықтаймыз
a'ij = cilcjkalk
бұл 2-ші рангті тензор компоненттерінің түрлену заңына сай.
Сондықтан реті екінші орталық жазықтықтар 2-ші рангті
тензорлардың сипаттаушы жазықтықтары деп есептеуге болады.
Бас координат жүйесінде (28) теңдеу, aij-ды Tij-ға ауыстырғанда келесі
түрге келеді
T11x12 + T22x22 + T33x32 = 1
(29)
Егер T11 T22 T33 > 0, онда реті екінші бет жалпы эллипсоид болады
(8 а сур.). Оның симметриясы mmm нүктелік тобына жатады.
Егер T11 = T22 T33 > 0, онда бет айналу
эллипсоиды болады. Оның симметриясы
/mm шекті тобына жатады.
Егер T11 = T22 = T33 > 0, онда бет сфера және
оның нүктелік тобы / m болады.

39.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер тензор компоненттерінің таңбалары әртүрлі болса онда
сипаттаушы беттер гиперболоидтар болады.
Егер T11 < 0, T22 және T33 > 0 болса, онда сипаттаушы
бет – бірқуыстық гиперболоид, және оның
симметриясы /mm шекті тобымен сипатталады.
Егер T11 және T22 < 0, а T33 > 0 болса, онда сипаттаушы
бет – екіқуыстық гиперболоид, оның симметриясы да
/mm тобына жатады.
(29) теңдеуін канондық
T11x12 + T22x22 + T33x32 = 1
түрге келтіргенде:
x12 x22 x32
2 2 1
2
a
b
c
Эллипсоидтың бас жартылай осьтері
1
симметриялық тензор компоненттерімен a
T11
келесі түрде байланысқан болады:
Кездейсоқ бағыттағы радиусы
r
(29)
(30)
1
1
c
b
T33
T22
1
Tij

40.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сипаттаушы беттерді жартылай осьтері мен тензор компоненттерінің
арасындағы байланыстар салдарынан жиі қолданған қолайсыз
болады.
Мұндай жағдайда басты жартылай осьтері симметриялық тензор
компоненттеріне
пропорционал
болатын
эллипсоидтерді
қарастырады. Мұндай беттерді көрсеткіштік деп атайды.
Көрсеткіштік эллипсоид теңдеуі келесі түрде жазылады:
x12 x22
x32
2 2 1
2
T11 T22 T33
(31)
(29) және (31) теңдеулерімен бейнеленетін
сипаттаушы және көрсеткіштік эллипсоидтар
арасындағы қатынастар қималары келтірілген
эллипсоидтардың жазық схемасынан көрінеді.
Сипаттушы беттер сияқты егер T11 = T22 T33 болса
көрсеткіштік бет айналу эллипсоиды болады, ал
егер T11 = T22 = T33 болса онда сфера болады.

41.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Теориялық кристаллофизикада овалоид деп аталатын көрсеткіштік
беттердің тағы бір түрі жиі қолданылады, олардың бас жартылай
осьтері тензор компоненттеріне пропорционал болады.
Овалоидтарды аналитикалық түрде сипаттау
үшін полярлық координат жүйесін қолданады
(10 сур.). Олардың төрт айнымалысы бар: r –
координаттың бастапқы нүктесінен беттің кез
келген нүктесіне жүргізілген радиус-вектор;
с1, с2 және с3 – радиус-вектордың тікбұрышты
координат жүйесінің осьтерімен жасайтын a1,
a2 және a3 бұрыштарының бағыттаушы
косинустары.
Полярлық координаттар
жүйесі
r радиус-вектор ұшының x1, x2 және x3 координаттары мен полярлық
координаттар арасында арақатынасы келесі түрде болады:
r
x12
x22
1
2 2
x3
x1 = rc1,
x2 = rc2,
x3 = rc3

42.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Овалоид теңдеуі (31) теңдеуінен қорытылып келесі түрде жазылады:
Tr T11c12 T22c22 T33c32
(32)
бұл жерде Tr – тензор компоненттінің ағынды мәні. Овалоидтар
компоненттерінің таңбалары әртүрлі тензорларды кеңістікте бейнелеу
үшін қолайлы. Бұл жағдайда овалоидтар бірқуыстық болмайды. Егер
тензор компоненттерінің таңбасы оң болса овалоидты ақ түспен, ал
таңбасы теріс болса қара түспен бейнелейді.
Егер T11 = T22 = T33, онда овалоид оң компоненттері үшін ақ түсті,
және теріс компоненттері үшін қара түсті сфера болады және оның
симметриясы / m шекті тобына сай болады.
Егер T11 = T22 T33, онда овалоид теңдеуінің түрі:
(33)
Tr T11(c12 c22 ) T33c32
және түрі тензор компоненттерінің таңбасына тәуелді
болады. Егер T33 > T11, онда тензордың оң компоненттері
үшін овалоид созылған ақ, егер теріс компоненттері үшін
қара болады. Мұндай овалоидтың симметриясы /mm
шекті тобымен сипатталады.

43.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер T33 < T11, онда овалоид жалпақ және екі түсті
болады. Овалоидтар симметриясы /mm шекті тобымен
сипатталады.
Тензор компоненттерінің таңбасы әртүрлі болған жағдайда овалоидтар
күрделірек болады.
Егер T33 > 0, ал T11 < 0, онда (33) теңдеудің түрі төмендегідей болады
Tr T11(c12 c22 ) T33c32
овалоид екі бөліктен: екі ақ жұмыртқатәрізді беттер және
оларға перпендикуляр тортәрізді беттен тұратын күрделі
фигура болады. Егер тензор компоненттерінің таңбалары
керісінше болса онда жұмыртқатәрізді беттер қара, ал
тортәрізді бет ақ болады. Бұл беттер /mm шекті тобымен
сипатталады.
Егер (33) теңдеуде T11 = 0 болса, онда Tr T33c32
онда бет екі жанасатын жұмыртқа тәрізді T33 таңбасына
байланысты ақ немесе қара болады. Мұндай беттің
симметриясы /mm.

44.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер енді T33 = 0, онда (33) теңдеуінен
Tr T11(c12 c22 )
мұндай овалоид T11 таңбасына байланысты ақ немесе
қара тор тәрізді бет болады. Оның симметриясы да
/mm тобымен сипатталады.
(32) теңдеуінде T11 = – T22 және T33 = 0 болғанда овалоидтың тағы бір
қызықты түрі пайда болады. Онда Tr T11(c12 c22 )
Бұл жағдайдағы бет төрт өлшемі мен пішіні
бірдей жұмыртқа тәрізді фигуралардан тұрады:
екеуі ақ, басқа екеуі қара. Мұндай овалоид mmm
тобымен сипатталады.
Егер тензордың үш компоненттері тең емес болса, онда овалоидтың
теңдеуі мынадай болады:
(34)
Tr T11c12 T22c22 T33c32
Осы теңдеумен бейнеленетін овалоидтардың түрі
компоненттерінің таңбасына байланысты әртүрлі болады.
тензор

45.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер тензордың барлық компоненттері оң болса
овалоид ақ, егер теріс болса – қара болады. Мұндай
овалоид симметриясы – mmm.
Егер бір біріне тең емес үш компоненттің бірі, мысалы T33,
қалған екеуімен салыстырғанда басқа таңбаға ие болса, онда
(34) түрі мынадай болады
Tr T11c12 T22c22 T33c32
Мұндай бет екі қара жұмыртқа тәрізді (T33 таңбасы
теріс) ұштары шектесетін ауданнан және ақ пішіні
созылған сақина тәрізді ауданнан тұрады. Мұндай
бет mmm симметрия тобымен сипатталады.

46.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер тензордың бір компоненті, мысалы T33 = 0, ал қалған бір біріне
тең емес екеуінің таңбалары бірдей болса, онда (34) теңдеу мынадай
болады:
Tr T11c12 T22c22
Сәйкес болатын овалоид суретте көрсетілген.
Онда екі шұңқыртәрізді ұштары шектесетін ор
бар.
Тензор компоненттерінің таңбасына байланысты бет ақ немесе қара
болады. Мұндай беттің симметриясы mmm.
T33 компонентасы нольге тең болғанда, қалған екі бір біріне тең емес
компонентасының таңбасы әртүрлі болса (34) теңдеу мынадай болады:
Tr T11c12 T22c22
Сәйкес болатын бет бір нүктеде шектесетін төрт
жұмыртқа тәрізді ауданнан тұрады.
Екеуі өзара тең және ақ болады, қалған екеуі бір біріне тең, бірақ
алдыңғы екеуіне тең емес және қара болады. Мұндай овалоидтың
симметриясы да mmm болады.
Овалоидтардың симметриясы тензор компоненттерінің арасындағы
қатынастарға тәуелді дәл эллипсоидтардың симметриясына ұқсайды.

47.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
2-ші рангті полярлық тензор симметриясы
2-ші рангті полярлық тензордың кеңістіктегі симметриясы туралы мәселе
вектор немесе скаляр жағдайындағыдай біржақты шешілуі мүмкін емес.
Тензор нольге тең емес компоненттердің саны мен таңбаларына
байланысты әртүрлі болады. Мұндай тензорлардың симметриясы да
әртүрлі болады.
Сондықтан тензордың нақты түрінің симметрия тобын табу үшін осы
тензор компоненттерінің симметриялық түрлендірулерге қатысты
инварианттығын зерттеу қажет.
Бірақ 2-ші рангті полярлық тензордың барлық мүмкін симметрия
топтарын мұндай әрекет жасамай табуға болады.
Жоғарыда көрсетілгендей кез келген 2-ші рангті полярлық тензорды
симметриялық және антисимметриялық бөліктерге жіктеуге болады.
Симметриялық тензор бас координат жүйеде симметриясы жоғарыда
анықталған эллипсоид немесе овалоидтармен сипатталады. Әртүрлі
тензорларды сипаттайтын эллипсоид пен овалоидтардың симметрия
топтары осы тензорлардың да симметрия топтары болатыны анық.

48.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Симметриялық тензор бас координат жүйесінде үш нүктелік симметрия
тобымен сипатталады: / m, /mm және mmm.
2-ші рангті антисимметриялық тензор аксиал векторға ұқсас болады,
яғни /m нүктелік тобымен сипатталады.
2-ші рангті полярлық тензордың нүктелік симметрия топтары осы
тензордың симметриялық және антисимметриялық бөліктерінің нүктелік
топтарының суперпозициясы болады.
Симметрия топтарының суперпозициясы табылатын ережені келесі
геометриялық мысалдан қарастырайық.
Симметриясы m3m нүктелік тобымен сипатталатын кубты қарастырайық.
Оның ішіне симметриясы m тобымен сипатталатын және осі кубтың
кеңістік диагоналімен сәйкес келетін конус енгізілген болсын.
Осылай алынған фигураның симметриясы 3m тобымен
сипатталады. Берілген екі топ симметрия элементтерінің
берілген орналасуы үшін бұл топ жоғарғы жалпы топшасы
болады, яғни нүктелік топтардың суперпозициясы бұл
топтардың берілген бағдардағы симметриясының жалпы
элементтерін таңдау болып табылады.

49.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Симметриялық тензор берілген бас координат жүйесі жалпы жағдайда
аксиал вектор берілген координат жүйесімен сәйкес келмейтін
болғансоң көрсетілген топтардың суперпозициясын олардың
симметрия элементтерінің әртүрлі бағдары үшін іздеу қажет.
mmm тобынан бастайық. Оған /m тобын осі [100], [010] және [001]
бағыттарымен сәйкес болатындай қосқанда 2/m бұл топтардың жалпы
жоғарғы топшасы болады.
Егер осі кез келген [hkl] бағытты бойлайтын болса, онда
қорытынды топ 1 болады.
Дәл осындай жолмен келесіні аламыз
/mm + /m [001] бойынша = /m,
/mm + /m [010] және [100] бойынша = 2/m,
/mm + /m [hkl] бойынша = 1,
/ m + /m [hkl] бойынша = /m.
Сонымен 2-ші рангті полярлық тензордың жалпы түрдегі нүктелік
симметриясы келесі үш топпен сипатталады: 1, 2/m и /m.

50.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Оларға симметриялық тензорлар сипатталатын нүктелік топтарды
қосу керек: / m, /mm және mmm. Сонымен 2-ші рангті полярлық
тензордың симметриясын сипаттайтын алты нүктелік топ болады: 1,
2/m, mmm, /m, /mm және / m.
Бұл топтардың барлығында симметрия центрі бар, яғни 2-ші
рангті полярлық тензорлармен сипатталатын барлық физикалық
қасиеттер центрлік симметрияға ие болады.
2-ші рангті полярлық тензор жалпы түрде берілген болсын
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T
T
T
31 32 33
(35)
Бұл тензордың реті екінші симметрия осі бар және ол
кристаллофизикалық координат жүйесінің Х2 осімен сәйкес келеді.
Координат жүйесі өзгергенде бұл тензор қалай өзгереді?
1 0 0
Х2 осін 180° айналдыру операциясына жауапты
0 1 0
бағыттаушы косинустар матрицасы мынадай
0 0 1
болады

51.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Оны полярлық тензор компоненттерін түрлендіру формуласына (35)
қолданып келесіні аламыз
T'11 = c11c11T11 = T11
T'22 = c22c22T22 = T22
T'12 = c11c22T12 = –T11 = 0
T'23 = c22c33T12 = –T23 = 0
T'13 = c11c33T13 = T13
T'31 = c33c11T31 = T31
T'21 = c22c11T21 = –T21 = 0
T'32 = c33c22T32 = –T32 = 0
T'33 = c33c33T33 = T33
T11, T13, T31, T22 және T33 компоненттері 180 бұрылу нәтижесінде
қайта өз қалпына келеді, ал қалған компоненттері өз қалпына теріс
таңбамен түрленеді.
Осыдан (35) тензор реті 2 симметрия осіне ие болуға тиісті емес,
бірақ T12, T21, T23, T32 компоненттері нольге тең болған жағдайда
ол осындай симметрияға ие болатыны анық.
T11 0 T13
Осыдан, егер Х2 реті 2-ші ось болса, онда тензор 0 T
0 (36)
22
келесідей түрде болуы тиіс:
T
31 0 T33

52.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Жоғарыда көрсетілгендей 2-ші рангті полярлық тензорда ылғи
симметрия центрі болуы тиіс. Олай болса симметрия элементтерін
«қосу» туралы 3-ші теоремаға сай (36) тензорда реті 2-ші оське
перпендикуляр симметрия жазықтығы болу қажет. Сонымен (36)
тензорда 2/m симметрия болуы тиіс.
Алынған тензорға Х1Х2 бойлық симметрия жазықтығы 1 0 0
қосылған болсын. Бұл операция келесі косинустар 0 1 0
0 0 1
матрицасымен сипатталады
Косинустардың осы мәндерін (18) түрлендіру формуласына қойып
T'lm = clicmjTij (18)
T13 және T31 компоненттері теріс таңбамен өз қалпына түрленетіні,
яғни бұл компоненттер нольге тең болатыны көрінеді.
T11, T22 және T33 компоненттері Х1Х2 жазықтығынан
шағылғанда
таңбасын
өзгертпейді.
Ақырында (36) тензор келесі тензорға түрленеді
0
T11 0
0 T22 0 (37)
0
0
T
33
2-ші осьті бойлайтын Х1Х2 жазықтығы екінші Х1Х3 жазықтығын
тудырады және (37) тензордың толық симметриясы mmm болады.

53.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
T
T
T
Егер Х3 осін бойлай осі пайда болса (35) 11 12 13
T21 T22 T23 (35)
тензордың түрі қалай өзгереді?
T
c s 0
31 T32 T33
Бұл
жағдайда
бағыттаушы
косинустар матрицасы келесі s c 0
0 0 1
түрде жазылады
Осы шамаларды T'11 және T'33 компоненттерін түрлендіру формуласына
қойсақ келесіні аламыз T'11 = c2T11 + csT12 + csT21 + s2T22, T'33 = T33
Тензордың осы компоненттері өз қалпына түрленеді деп болжаймыз. Онда
штрихтарды алып тастап және күрделі емес түрлендірулерді жасаған соң
бірінші теңдеуді келесі түрге келтіруге болады
(T12 + T21)/(T11 – T22) =
tga. тең болған шартта a
Бұл теңдік тек бөлшектің алымы мен бөлімі нольге
бұрышының барлық мәндері үшін шын болады, б.а. егер
T21 = – T12, T11 = T22
Мұндай шартта тензордың ақырғы түрі
T11 T12 0
T12 T11 0 (38)
0
0 T33
Полярлық тензордың симметрия центрі бар болғандықтан осіне
перпендикуляр симметрия жазықтығы пайда болуы тиіс. Ақырында (38)
тензорда /m симметриясына ие болуы тиіс.

54.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Енді (38) тензорға Х1Х3 бойлық симметрия жазықтығын қосайық. Бұл
жазықтықтан айналық шағылу операциясы келесі косинустар
матрицасымен сипатталады
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Дәл сол стандарттық әдіспен келесіні табамыз
T'12 = – T12 = 0, T'21 = – T21 = 0,
Тензордың ақырғы түрі келесідей жазылады:
0
T11 0
0 T22 0
0
0 T33
(39)
осіне бір бойлық симметрия жазықтығын қосу осындай бойлық
жазықтықтардың шексіз санын тудырады және (39) тензордың
симметриясы /mm нүктелік тобымен сипатталады.

55.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
/ m шекті топқа сәйкес келетін тензордың түрін табайық.
Егер /mm тобында осьті оның топтағы орнынан шығаратын жаңа
симметрия элементі пайда болса онда осьтердің шексіз саны пайда
болады және бұл топ / m тобына түрленеді.
Мұндай жаңа симметрия элементі осіне перпендикуляр
және Х1 осін бойлайтын 4-ші ось болсын. Сәйкесті
симметриялық
түрлендіру
келесі
косинустар
матрицасымен сипатталады:
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Осы косинустарды (39) тензор компоненттерін түрлендіру
формуласына қойып келесіні аламыз T'33 = c23c23T22 = T22 = T11
Онда тензордың түрі мынадай болады
0
T11 0
0 T11 0
0
0
T
11
және оның симметриясы / m тобымен сипатталады.
Жалпы түрдегі (35) тензордың симметрия центрінен басқа ешқандай
симметрия элементтері жоқ.

56.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
1 кесте
2-ші рангті полярлық тензорлар
Тензордың
симметрия тобы
1
2/m
mmm
/m
/mm
/ m
Бағынатын топтар
Тензордың түрі
Осьтердің
орналасуы
T11 T12 T13
Ерікті
T
T
T
1, 1
21 22 23
(ықтиярлы)
T
T
T
31 32 33
T11 0 T13
2 ось Х2 осімен
2, m, 2/m
0 T22 0
дәл келеді
T
0
T
33
31
0 2 осьтері X , Х ,
T11 0
1
2
0
T
0
222, mm2, mmm
Х
осьтерімен
3
22
0
дәл келеді
0 T33
T11 T12 0
осі Х3 осімен
T
T
0
3, 3 , 4, 4 , 4/m, 6, 6 , 6/m, , /m 12 11
дәл келеді
0
0
T
33
32,_3m, 3 m, 422, 4 2m, 4mm,
4/mmm, 622, 6mm, 6 m2, 6/mmm,
/2, m, /mm
0
T11 0
0 T22 0
0
0 T33
осі Х3 осімен
дәл келеді
23, m3, 432, 4 3m, m3m,
/ , / т
0
T11 0
0 T11 0
0
0 T11
Ерікті

57.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сонымен, 2-ші рангті полярлық тензордың алты түрі болады.
Олардың барлығы осьтерінің орны қатаң бекітілген бас
координат жүйесінде анықталған. 1-ші кестеде осы нәтижелер
қорытындыланған, тензордың түрлері үшін нүктелік симметрия
топтары, оларға бағынатын нүктелік топтар (топшалар), тензор
компоненттерінің матрицалары мен симметрия элементтеріне
қатысты бас координат жүйесі осьтерінің орналасуы берілген.
Бағынатын топтарға назар аударайық. Олар кристалдарды
морфологиялық симметриясымен сипаттайтын кристаллографиялық топтар болады. Берілген симметрия тобы бар түрі
белгілі тензор бағынатын кристаллографиялық топтардың
қасиеттерін де сипаттайтыны анық.
Мысалы mmm симметриясы бар тензор mmm, mm2 және 222
топтары үшін де сондай болады.

58.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
2-ші рангті аксиалдық тензор және оның симметриясы
р полярлық векторы g аксиалдық векторымен сызықты заңға сай
байланысқан жағдайды қарастырайық: p = Tg
p1 = T11g1 + T12g2 + T13gq3
немесе компоненттер p2 = T21g1 + T22g2 + T23g3
бойынша
p3 = T31g1 + T32g2 + T33g3,
(40)
немесе pi = Tijgj
Tij тоғыз шаманың жиынтығы 2-ші рангті аксиалдық тензоры деп
аталады.
Аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру ережесі полярлық
тензор компоненттері бағынатын ережеден өзгеше болатыны анық.
Егер оң (сол) координат жүйесі оңға (солға) өзгерсе, онда аксиалдық
тензор компоненттерін түрлендіру формуласы полярлық тензор үшін
ережеден айырмашылығы болмайды, өйткені координат жүйесінің
мұндай өзгерісінде аксиалдық вектордың компоненттері полярлық
вектор компоненттері сияқты түрленеді.

59.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Ал координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгеретін болса,
онда мұндай өзгерісте аксиалдық вектордың компоненттері таңбасын
өзгертетін
болғандықтан
аксиалдық
тензорды
түрлендіру
формуласында теріс таңбасы пайда болады.
Сонымен, аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру формуласы
келесі түрде жазылады
T'ij = cikcjlTkl,
Tkl = ckicljT'ij,
(41)
мұндағы “+” таңбасы бағыттаушы косинустар көбейтіндісінің алдына
координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгерген жағдайда
қойылады және “–” таңбасы егер координат жүйесі оңнан (солдан)
солға (оңға) өзгерсе қойылады.
2-ші рангті аксиалдық тензор полярлық тензор сияқты симметриялық
және антисимметриялық бөліктерге жіктеледі. Полярлық тензордағы
сияқты аксиалдық тензордың симметриялық бөлігі бас координат
жүйесінде жалпы жағдайда үш тең емес диагоналдық компоненттері
бар қарапайым түрге келтірілуі мүмкін.

60.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Антисимметриялық
аксиалдық
тензорды
қарастырайық. Оның түрі полярлық антисимметриялық тензордың түріне ұқсас болады:
T21 T13
0
0
T32
T21
T
T
0
32
13
Антисимметриялық полярлық тензор жағдайындағыдай
координат жүйесі өзгергендегі түрленуін зерттейік.
оның
Егер координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгерсе нәтиже
полярлық тензор үшін алынған нәтижемен бірдей болады –
антисимметриялық аксиалдық тензор компоненттері полярлық вектор
компоненттері сияқты түрленеді.
Егер координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерсе, онда (41)
аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру формуласы бойынша (25)
теңдеу келесі түрде өзгереді:
T'21 = –(c23c12 – c22c13)T32 – (c21c13 – c23c11)T13 – (c22c11 – c21c12)T21
T'13 = – (c13c32 – c12c33)T32 – (c11c33 – c13c31)T13 – (c12c31 – c11c32)T21
T'32 = – (c33c22 – c32c23)T32 – (c31c23 – c33c21)T13 – (c32c21 – c21c22)T21
(42)

61.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгергенде 3 және 4
ереже бойынша косинустар көбейтінділерінің айырмасын ауыстырып
келесіні аламыз
T'21 = c31T32 + c32T13 + c33T21
T'13 = c21T32 + c22T13 + c23T21
T'32 = c11T32 + c12T13 + c13T21
Белгілеулер енгіземіз
T12 = p3, T13 = p2, T32 = p1,
немесе
p'i = cijpj
Сонымен координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгергенде
антисимметриялық аксиалдық тензор компоненттері полярлық вектор
компоненттері сияқты өзгереді. Сол себептен антисимметриялық
аксиалдық тензордың симметриясы /m тобының симметриясына сай
болады.

62.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Симметриялық аксиалдық тензор симметриялық полярлық
тензорға тән дәл сондай сипаттаушы және сілтеуіш беттермен
бейнеленеді, бірақ ол беттердің симметриясы басқа болады.
Оның себебі – біз анықтаған аксиалдың тензордың “құрамына”
аксиалдық вектор кіреді. Сондықтан бұл беттердің барлық радиусвекторлары бұралған, б.а. симметрия жазықтықтары жоқ деп есептелу
керек.
Бас координат жүйесінде симметриялық аксиалдық тензор
симметриялық полярлық тензорға тән овалоидтермен сипатталады.
Симметриясы / m болатын сфера тәрізді овалоид симметрия
жазықтықтарын жоғалтып / тобымен сипатталады.
Полярлық тензор mmm симметриясы бар, T11 = T22 T33 шарты
орындалатын жағдайда сілтеуіш беттерді бейнелейтін айналу
овалоидтері, енді /2 тобымен сипатталады.

63.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Бұл жерде тек келесі күрделі овалоидтың симметриясы
–
42m тобымен сипатталады.
T11 T22 T33 = 0 шарт орындалған жағдайдағы беттерді сипаттайтын
овалоидтер 222 тобына жатады.
Б.а. аксиалдық тензордың барлық нүктелік симметрия топтарында
симметрия центрі жоқ, сондықтан осы тензормен сипатталатын
барлық физикалық қасиеттер центрлік симметриясыз болады.
Аксиалдық тензордың жалпы түрінің барлық нүктелік топтарын табу
үшін полярлық тензордың симметрия топтарын табу үшін қолданған
әдісті қолданамыз, симметриялық және антисимметриялық аксиалдық
тензорлардың симметриясын сипаттайтын нүктелік топтардың
суперпозициясын қарастырамыз.

64.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
/ + m [hkl] бойынша = ,
/2 + m [001] бойынша = ,
/2 + m [hk0] бойынша = 2,
/2 + m [hkl] бойынша = 1,
2m + m [001] бойынша = mm2,
2m + m [100] және [010] бойынша = m,
2m + m [hkl] бойынша = 1,
222 + m [100], [010] және [001] бойынша = 2,
222 + m [hkl] бойынша = 1.
Сонымен, 2-ші рангті аксиалдық тензордың симметриясы тоғыз
нүктелік симметрия тобымен сипатталады: 1, 2, 222, , /2, / , m,
–
mm2, 42m.
Табылған әр симметрия тобы үшін тензор түрін табу, оның барлық
нольге тең емес компоненттерін анықтау керек. Оны тек симметриялық
түрлендірулердің көмегін жасауға болады.

65.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер берілген топтың симметриялық түрлендірулеріне
координат жүйесін оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерту кірмесе,
онда аксиалдық тензордың түрі лайықты полярлық тензор
түрімен бірдей болады.
Тензорлардың симметрия топтары
аксиалдық
1
2
222
полярлық
1
2/m
mmm
/2
/
/m
/mm
/ m
Қалған үш аксиалдық тензордың түрлерін толық қарастыру
қажет.

66.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
m тобының симметриясына сай аксиалдық тензордың түрін
анықтайық. Бұл жазықтық Х3 осіне перпендикуляр орналасқан
болсын.
Мұндай симметриялық түрлендіру келесі косинустар матрицасымен
бейнеленеді:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Бұл түрлендірудің нәтижесінде оң координат жүйесі сол жүйеге
ауысады және (41) формулада “–” таңбасын алу керек. Барлық
компоненттері үшін түрлендірулерді жасап келесіні аламыз
T11 = T12 = T21 = T22= T33= 0
Тензордың қалған компоненттері өз қалпына түрленеді.
Олай болса тензор келесідей жазылады:
0 T13
0
0 T23
0
T
31 T32 0

67.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер симметрия жазықтықтары Х1 және Х2 осьтеріне перпендикуляр
болса онда тензор сәйкесінше келесі түрде жазылады
0 T12 T13
0
T21 0
T
0
0
31
0 T12 0
T21 0 T23
0 T
0
32
(43)
Егер тензор mm2 тобының симметриясына ие болса онда 2-ші ось Х3
осіне түйескен жағдайда тензордың түрі (43) және (44) тензорлардың
суперпозициясы болады
T11 T12 0
(44)
T21 T22 0
0
0 T33
және оның симметриясы 2-ші ось Х3 осінде орналасқан жағдайда 2-ші
топпен сипатталады.
(43) және (44) тензорлардың нольге тең емес компоненттерін теріп
келесіні аламыз
0 T12 0
(45)
T21 0 0
0
0
0

68.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
–
Аксиалдық тензордың симметриясы 42m болғандағы жағдайды
–
қарастырайық. 4 ось біржолы 2-ші ось болғандықтан ізделінетін
тензор осы тензордың қасиетіне ие, б.а. оның компоненттері T13, T23,
T31 және T32 2-ші ось Х3 осімен бірдей бағытталған кезде нольге тең
болулары тиіс.
Қалған компоненттерге (41) формуланы теріс таңбамен 0 1 0
қолданып және 90 айналық бұрылуды сипаттайтын 1 0 0
0 0 1
косинустар матрицасын қолдана келе жазамыз:
2
T11' c21
T22 T22 ,
T12' c21c12T21 T21,
T21' c12c21T12 T12
Одан :
2
T22' c12
T11 T11
2
T33' c33
T33 T33 0
Қарастырып отырған тензордың түрі
мынадай болады
аламыз.
T11
T12
0
T12
T11
0
0
0
0
(46)

69.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
(46) тензор симметриялық болады, сондықтан ол бас координат
жүйесінде барлық шеткі компоненттер нольге айналатын қарапайым
түрге келтіріледі.
Ол үшін координат жүйесін Х3 айналдыра белгілі a бұрышына бұру
жеткілікті болады. Осы бұрышты анықтайық.
Кез келген бұрышқа
матрицамен бейнеленеді
бұрылу
операциясы
келесі
c s 0
s c 0
0 0 1
(41) түрлендіру формуласын «+» таңбасымен және осы косинустар
схемасын қолданып келесіні аламыз T12' (c2 s2 )T12 2csT11
Шарт бойынша T'12 нольге айналу тиіс. Олай болса (с2 – s2)T12 = 2csT12
T12
2cs
sin 2a
tg2a
Одан
2
2
T11 c s
cos 2a
Сонымен тензордың шеткі компонентті Т12 = Т21 нольге
T
айналу үшін координат жүйесін келесі қатынастан tg2a 12
T11
анықталатын a бұрышына бұру керек:

70.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Координат жүйесінің бұрулуы (45) тензордың басқа компоненттеріне
қалай әсер еткенін қарастырайық. Түрлендіру формуласын қолданайық
T'11 = (с2 – s2)T11 + 2csT12,
T'22 = – (с2 – s2)T11 – 2csT12 = – T11,
T'13 = 0,T'33 = 0
Сонымен бас координат жүйесінде тензор келесі түрде жазылады:
0
0
T11
0 T11 0 (47)
0
0
0
–
–
Бірақ 42m тобы 4-ші оське перпендикуляр тағы екі 2-ші оське ие.
–
Бірақ 4-ші ось біржолы 2-ші ось болып табылады. Сондықтан
–
қарастырылған 42m тобының тензоры 222 тензордың да қасиеттеріне
ие болу керек. Бірақ соңғы топтың тензорында шеткі компоненттер
нольге тең, ал диагоналдық компоненттер әртүрлі болады (3 кесте).
(47) тензор барлық осы қасиеттерге ие болады. Сондықтан (47) тензор
–
42m нүктелік тобымен сипатталатын тензор болып шықты.

71.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
4-ші кестеде барлық 2-ші рангті аксиалдық тензорлар, нүктелік
симметрия топтары, оларға бағынатын топтар (топшалар), матрицалар
және кристаллофизикалық осьтердің орналасуы келтірілген. 2-ші
рангті
полярлық
тензор
жағдайында
сияқты
бағынатын
кристаллографиялық топтар тензорларға лайықты симметрия топтары
сияқты дәл сол тензорларға ие болады.
2 кесте
2-ші рангті аксиалдық тензорлар
Тензордың
симметрия тобы
Бағынатын
топтар
1
1
2
2
Тензордың
түрі
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T
31 T32 T33
T11 0 T13
0 T22 0
T
31 0 T33
Осьтердің
орналасуы
Ерікті
(ықтиярлы)
2 ось Х2 дәл
келеді

72.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Тензордың
симметрия
тобы
m
222
mm2
4
Бағынатын
топтар
Тензордың
түрі
Осьтердің орналасуы
m
0 T12 0
T21 0 T23
0 T
0
32
m жазықтығы Х2 осіне
перпендикуляр
222
0
T11 0
0 T22 0
0
0 T33
2 осьтері X1, Х2, Х3
осьтерімен дәл келеді
mm2
4
0 T12
T21 0
0
0
T11
T12
0
T12
T11
0
0
0
0
0
0
0
2 осі Х3 осімен дәл келеді, m
жазықтықтары X1 және Х2
осьтеріне перпендикуляр
4 осі Х3 осімен дәл келеді

73.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Тензордың
симметрия
тобы
4 2m
Бағынатын
топтар
4 2m
∞
3, 4, 6, ∞
∞/2
32, 422, 622,
∞/2
∞m
3m, 4mm,
6mm, ∞m
∞/∞
23, 432, ∞/∞
Тензордың
түрі
T11
0
0
0
T11
0
0
0
0
Осьтердің орналасуы
4 ось Х3 осімен, 2 осьтері
Х1 және Х2 осьтерімен дәл
келеді
T11 T12 0 ∞ осі Х3 осімен дәл келеді,
Х1 және Х2 осьтері
T12 T11 0
0
ерікті орналасады
0 T33
0
T11 0
0 T22 0
0
0 T33
∞ осі Х3 осімен дәл келеді
T12
0
T21 0
0
0
∞ осі Х3 осімен дәл келеді
0
0
0
0
T11 0
0 T11 0
0
0 T11
Ерікті
1 , 2/m, mmm, 3 , 3 m, 4/m, 4/mmm, 6 , 6/m, 6 m2, 6/mmm, m3, 4 3m, m3m,
/m, /mm, / m топтарында 2-ші рангті аксиалдық тензордың
барлық компоненттері нольге тең.

74.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Жоғарғы рангті тензорлар
Кристалдардың физикалық қасиеттерінің түрлері өте көп. Оларды
сипаттау үшін жоғарыда қарастырылған математикалық шамалар
жеткіліксіз. Пьезоэлектрлік, электрострикция және серпімділік,
электроптикалық және пьезооптикалық құбылыстар, пьезомагнетизм
және басқа да физикалық құбылыстарды сипаттау үшін күрделі
математикалық шамалар қажет. Ол шамаларға жоғарғы рангті
тензорлар жатады.
Енгізілген математикалық шамаларды атап өтейік.
Скаляр а. Координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және оңнан
(солдан) солға (оңға) өзгерген кезде оның түрлену ережесі:
а = а.
Псевдоскаляр а*. Дәл сондай өзгерістер кезінде түрлену ережесі:
а* = ±а*,
бұл жерде “+” таңбасы координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға)
және «–» таңбасы оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде алынады.

75.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Полярлық вектор р. Оның түрлену ережесі:
pi´ = cijpj
Екі жағдайда да «+» таңбасы алынады.
Аксиалдық вектор g. Оның түрлену ережесі
gi´ = cijgj
мұндағы “+” таңбасы координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға)
және «–» таңбасы оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде алынады.
2-ші рангті полярлық тензор Tij. Оның түрлену ережесі
T'ij = cilcjmTlm
бұл жерде екі жағдайда да плюс таңбасы алынады.
2-ші рангті аксиалдық тензор Tij. Оның түрлену ережесі
T'ij = cilcjmTlm
мұндағы “+” таңбасы координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға)
және «–» таңбасы оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде алынады.
Осы шамалар жоғарғы рангті тензорларды құрастыру үшін жеткілікті
болады. Тензордың рангі түрлену формуласына кіретін бағытаушы
косинустар санымен анықталады.

76.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
3-ші рангті тензор
3-ші рангті тензор - вектор мен 2-ші рангті тензордың компоненттерін
сызықтық тәуелділікпен байланыстыратын шамалардың жиыны
Векторлар мен 2-ші рангті тензорлар полярлық және аксиалдық
болғандықтан 3-ші рангті тензорларды құрастыру үшін 4 вариант бар
1. Бастапқы реті болып полярлық вектор мен 2-ші рангті полярлық
тензор табылады:
pi = TijkTjk
(48)
Tijk тензоры 3-ші рангті полярлық тензор деп аталады.
Оның түрлену формуласы полярлық вектор мен 2-ші рангті тензор
формулаларының комбинациясы (қиыстыруы) болады және келесі
түрде жазылады: T' = c c c T ,
Tlnm = cilcjnckmT'ijk
(49)
ijk
il jn km lnm
(49) түрлендіру формулаларында бағыттаушы косинустар алдында
координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) немесе оңнан (солдан)
солға (оңға) ауысқанына қарамай ылғи “+” таңбасы алынады.

77.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
2. Бастапқы реті болып аксиалдық вектор мен 2-ші рангті аксиалдық
тензор табылады:
gi = TijkTjk
(50)
Tijk да 3-ші рангті полярлық тензор болады, өйткені координат
жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгергенде аксиалдық вектор мен
тензордың теріс таңбалары бір бірін жояды. Оның түрленуі (49)
формуламен сипатталады.
3. Бастапқы реті болып полярлық вектор мен 2-ші рангті аксиалдық
тензор табылады :
pi = TijkTjk
Tijk 3-ші рангті аксиалдық тензор деп аталады. Оның түрлену
формуласы полярлық вектор мен 2-ші рангті аксиалдық тензор
формулаларының комбинациясы (қиыстыруы) болады және келесі
түрде жазылады:
T'ijk = cilcjnckmTlnm,
Tlnm = cilcjnckmT'ijk
(51)
(51) түрлендіру формулаларында координат жүйесі оңнан (солдан)
оңға (солға) ауысқанда “+”, ал оңнан (солдан) солға (оңға) ауысқанда
“–” таңбасы алынады.

78.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
4. Бастапқы реті болып аксиалдық вектор мен 2-ші рангті полярлық
тензор табылады :
gi = TijkTjk.
Tijk да 3-ші рантгі аксиалдық тензор және (51) оның түрлену
формулалары болады.
3-ші рангті полярлық және аксиалдық тензорлардың жалпы 27
компоненттері бар:
T 11 T 2 2 T 3 3 T 2 3 T 3 1 T 1 2 T 3 2 T 1 3 T 2 1
p1
p2
p3
T 111 T 1 2 2 T 1 3 3 T 1 2 3 T 1 3 1 T 11 2 T 1 3 2 T 11 3 T 1 2 1
T 2 11 T 2 2 2 T 2 3 3 T 2 2 3 T 2 3 1 T 2 1 2 T 2 3 2 T 2 1 3 T 2 2 1
T 3 11 T 3 2 2 T 3 3 3 T 3 2 3 T 3 3 1 T 3 1 2 T 3 3 2 T 3 1 3 T 3 2 1
(52)
Егер 2-ші рангті тензор симметриялық болса б.а. Tij = Tji онда (52)
тензор компоненттерінің саны азаяды.
Олай болса матрица белгілеулерін қолдануға болады:
T111 = T11,
T222 = T22,
T333 = T33,
2T122 = T12,
2T133 = T13,
2T131 = T15,
2T112 = T16
2T123 = T14,
и т.д.

79.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
(52) тензордың матрицасы келесі түрде жазылады:
T 11 T 1 2 T 1 3 T 1 4 T 1 5 T 1 6
T 21 T 22 T 23 T 24 T 25 T 26
T 31 T 32 T 33 T 34 T 35 T 36
(53)
Тензор симметриясы туралы ұғым 3-ші рангті тензорлар үшін де
орындалады.
3-ші рангті полярлық және аксиалдық тензорлар үшін де барлық
нүктелік симметрия топтарын және әр топ үшін лайықты тензор
түрін табуға болады.
Бұл тензорлардың нақты матрицалары, симметрия топтары және
бағынатын
топтары
осы
тензорлармен
сипатталатын
кристалдың физикалық қасиеттері қарастырылған кезде
келтіріледі.

80.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
4-ші рангті тензорлар
4-ші рангті тензорларды да әртүрлі әдістермен енгізуге болады.
• Бастапқы реті болып полярлық вектор мен 3-ші рангті полярлық
тензор табылады :
p =T T
(54)
i
ijkl kl
Tijkl 4-ші рангті полярлық тензор деп аталады және координат
жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және оңнан (солдан) солға (оңға)
ауысқанда келесі формула бойынша түрленеді
T'ijkl = cincjmckoclpTnmop,
(55)
Tnmop = cincjmckoclp T'ijkl
• 4-ші рангті полярлық тензорды екі 2-ші рангті полярлық
тензорларды қолданып енгізуге де болады
Tij = TijklTkl
(56)
• 4-ші рангті полярлық тензорды аксиалдық вектор мен 3-ші рангті
аксиалдық тензорды немесе екі 2-ші рангті аксиалдық тензорларды
қолданып енгізуге болады.
Мұндай 4-ші рангті полярлық тензорладың барлығы (55) формуласы
бойынша түрленеді.

81.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
4-ші рангті аксиалдық тензорды енгізу үшін келесі шамаларды
бастапқы ретінде қолдануға болады:
• полярлық вектор мен 3-ші рангті аксиалдық тензор;
• аксиалдық вектор мен 3-ші рангті полярлық тензор;
• 2-ші рангті аксиалдық және полярлық тензорлар.
Оның түрлендіру формулаларындағы таңбалар 2-ші рангті аксиалдық
тензордың формуласына ұқсас алынады.
(55) Формуласына сай берілген 4-ші рангті полярлық тензорды
қарастырайық. Жалпы жағдайда мұндай тензордың 81 компонентті
T
T
T T
T
T T
T
T
болады:
11
T 11
T 22
T 33
T 23
T 31
T 12
T 32
T 13
T 21
T 1111
T 2 2 11
T 3 3 11
T 2 3 11
T 3 111
T 1 2 11
T 3 2 11
T 1 3 11
T 2 111
22
T 11 2 2
T 2222
T 3322
T 2322
T 3122
T 1222
T 3222
T 1322
T 2122
33
23
T 11 3 3 T 11 2 3
T 2233 T 2223
T 3333 T 3323
T 2333 T 2323
T 3133 T 3123
T 1233 T 1223
T 3233 T 3223
T 1333 T 1323
T 2133 T 2123
31
T 11 3 1
T 2231
T 3331
T 2331
T 3131
T 1231
T 3231
T 1331
T 2131
12
32
T 111 2 T 11 3 2
T 2212 T 2232
T 3312 T 3332
T 2312 T 2332
T 3 11 2 T 3 1 3 2
T 1212 T 1232
T 3212 T 3232
T 1312 T 1332
T 2 11 2 T 2 1 3 2
13
21
T 111 3
T 2213
T 3313
T 2313
T 3 11 3
T 1213
T 3213
T 1313
T 2 11 3
T 11 2 1
T 2221
T 3321
T 2321
T 3121
T 1221
T 3221
T 1321
T 2121

82.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер 2-ші рангті тензорлар симметриялық болса онда компоненттер
саны 36 дейін азаяды. Бұл жағдайда екі индексі бар матрица
белгілеулерін қолдануға болады:
T1111 = T11,
T1122 = T12,
T1123 = T1132 = T14,
и т.д.
T2322 = T42,
T2323 = T44,
Онда 4-ші рангті симметриялық полярлық тензордың матрицасы
келесі түрде жазылады
T 11
T 21
T 31
T 41
T 51
T 61
T 12
T 22
T 32
T 42
T 52
T 62
T 13
T 23
T 33
T 43
T 53
T 63
T 14
T 24
T 34
T 44
T 54
T 64
T 15
T 25
T 35
T 45
T 55
T 65
T 16
T 26
T 36
T 46
T 56
T 66
Бұл тензорларды да лайықты физикалық қасиеттерді зерттеген кезде
толығырақ қарастырады.

83.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Физикалық құбылыстар симметриясы мен кристалдар симметриясы
Физикалық құбылыстар симметриясы
Физикалық құбылыстарды зерттеген кезде симметрияны ескеру
керегін бірінші рет француз физигі П. Кюри XIX ғасырдың соңында
тұжырымдаған.
Ол электр және магнит өрістерін қарастыра отырып неге оң және теріс
электр зарядтары бөлінеді, ал солтүстік және оңтүстік полюстер
бөлінбейді деген сұрақтарды шешу барысында қосымша
симметриялық аргументтерді (дәлелдерді) келтірді.
Магнит өрісінің бағытына перпендикуляр жазықтықта айналатын
электр тоғы магнит өрісін тудырады, яғни магнит өрісінің кернеулігі
аксиалдық вектор болады, оның симметриясы /m тобына сай
болады. Бұл топта көлденең симметрия жазықтығы болады, ал
бойлық жазықтықтар болмайды. Магниттің солтүстік және оңтүстік
полюстерінде электр токтары бірдей бағытта ағады, ол бағыт
магнитке солтүстік немесе оңтүстік полюсі жағынан қарағанға
байланысты сағат тіліне бағыттас немесе сағат тіліне қарсы болуы
мүмкін.

84.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Солтүстік полюсті оңтүстік полюстен бөліп алу мүмкін емес,
өйткені оң және сол айналу мүмкін емес, оның себебі кез келген
айналу біржолы оң да, сол да болады.
Электр өрісінің кернеулігі полярлық вектор болады және оның
симметриясы m тобына сай болады. Бұл топта тек осін бойлай
өтетін симметрия жазықтықтары болады, сол себептен осьтың оң
және теріс ұштары ешқандай симметрия операцияларымен бір біріне
келтірілмейді.
Кюри басқа да мысалдар бойынша физикалық құбылыстарды
нүктелік симметрия топтарымен сипаттауға болатынын көрсетті:
• дененің бір бағыттағы деформациясын /mm шекті тобымен
сипаттауға болады;
• поляризация жазықтығының айналуын – /2 тобымен;
• гидростатикалық қысымды – / m тобымен және т.б.

85.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Қарастырылған мысалдарды жалпылап Кюри физикалық құбылыстың
симметриясы деген ұғымның анықтамасын берді және оны
сипаттамалық деп атады:
«Физикалық құбылыстың сипаттамалық симметриясы дегеніміз
құбылыстың
болуымен
үйлесетін
ортаның
максимал
симметриясы».
Қарапайым мысалды қарастырайық
Турмалин (симметриясы 3m), литий сульфаты (симметриясы 2) немесе
барий нитриды (симметриясы 6) сияқты бірқатар кристалдар
қыздырған кезде электрленеді, б.а. олардың жалғыз осінің ұштарында
таңбалары қарама қарсы электр зарядтары пайда болады. Бұл
физикалық құбылыс пироэлектрлік эффект деп аталады.
Пироэлектрлік эффектінің симметриясы қандай болады? Ол 3m
немесе 2 және 6 топтарының симметриясына сәйкес келеді ме?
Пироэлектрлік эффектінің симметрия тобы максимал және бұл
құбылыстың болуымен үйлесетін болу керек, ал турмалин, литий
сульфаты және барий нитриды кристалдарының топтары ондай емес.

86.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Кристалдың электрленуі дегеніміз электрлік поляризацияның пайда
болуы. Электрлік поляризация полярлық вектор болып табылады
және оның симметриясы m тобына сай болады.
Аталған кристалл топтары (3m, 2, 6) оның топшалары болады,
сондықтан m тобы максимал пироэлектрлік эффектісін
сипаттайтын топ болады.
m топша болып кіретін басқа шекті топтар, атап айтқанда /mm
немесе / m, электрлік поляризацияның болуымен үйлеспейді.
Сонымен пироэлектрлік эффект атты физикалық құбылыстың
симметриясы m тобына сай болады.
Пироэлектрлік эффектінің себебі – поляризация – полярлық вектор
болып табылады, яғни физикалық құбылыстың симметриясы бұл
жағдайда
және
жалпы
осы
құбылысты
сипаттайтын
математикалық шаманың симметриясы болып табылады.

87.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Скалярмен сипатталатын физикалық құбылыстар (көлем,
тығыздық, жылусиымдылық және т.б.) / m симметриясына ие
болады.
Псевдоскалярмен сипатталатын құбылыстар (мысалы, гирация), /
симметриясына ие болады.
Полярлық
вектор
көмегімен
сипатталатын
физикалық
құбылыстардың (электрлік поляризация, электр тогы және т.б.) m
симметриясына ие болады.
Аксиалдық
вектор
көмегімен
сипатталатын
физикалық
құбылыстардың (магниттелу, магнит моменті және т.б.) /m
симметриясына ие болады.
2-ші рангті полярлық тензор көмегімен сипатталатын физикалық
құбылыстар
(механикалық
кернеу
және
деформация,
электрөткізгіштік және т.б.) 1 , 2/m, mmm, /m, /mm және / m
симметрияларына ие болады.
2-ші рангті аксиалдық тензорлармен сипатталатын физикалық
құбылыстар (жарықтың поляризация жазықтығының айналуы) 1, 2,
222, , /2, / , m, mm2 және 42m симметриясына ие болады.

88.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
3-ші рангті полярлық тензорлармен сипатталатын физикалық
құбылыстар (пьезоэлектрлік, электрооптика және т.б.) 1, m, 2, 3,
mm2, , 4 , 3m, m, 222, 6 , 32, 4 2m, /2, 6 m2 және 4 3m
симметрияларына ие болады.
4-ші рангті полярлық тензорлармен сипатталатын физикалық
құбылыстар (серпімділік, электрстрикция және т.б.) 1 , 2/m, mmm,
3 , 4/m, 3m, 4/mmm, /mm және m3m симметрияларына ие болады.
Неге 2-ші, 3-ші және 4-ші рангті тензорлармен сипатталатын
физикалық құбылыстар бірнеше симметрия топтарын қажет етеді?
Физикалық
құбылыстың
симметриясы
(сипаттамалық
симметриясы) осы құбылыстың болуымен үйлесетін ортаның
максимал симметриясы болады. Орта – ол морфологиялық
симметрияның әртүрлі топтарымен сипатталатын кристалл болады.
Сондықтан осындай әр топ үшін белгілі бір физикалық құбылысты
сипаттағанда топшасы кристалдың морфологиялық симметриясы
болатын жоғарғы топты табу керек.

89.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Мысал
m тобына жататын кристалда 2-ші рангті полярлық тензормен
сипатталатын бір физикалық құбылыс болсын.
Физикалық
құбылыстың
қандай
симметриясы
оның
морфологиялық симметриясымен үйлеседі?
m тобы 2-ші рангті полярлық тензордың симметрия топтарының
1 тобынан басқа барлығы үшін топша болады (2/m, mmm, /m,
/mm и / m).
Бірақ 2/m тобы ең жақын жоғарғы топ болады, сондықтан ол
осы морфологиялық топта берілген физикалық құбылысты
сипаттайды.
Физикалық құбылыстың симметриясын сипаттайтын топ
сәйкесті тензордың ең жақын орналасатын жоғарғы
симметрия тобы және кристалдың морфологиялық
симметриясының тобы оның топшасы болады.

90.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Нейман принципі
Кристалдың морфологиялық симметриясы физикалық құбылыстың
симметриясымен қалай байланысады?
Бұл сұраққа Нейман принципі деп аталатын кристалофизиканың
іргелі заңы жауап береді.
XIX ғасырдың ортасында неміс физигі Ф. Нейман кристалдардың
физикалық қасиеттері туралы тәжірибелік және теориялық
мәліметтерді жалпылай отырып келесі принципті ұсынды:
«Материал
физикалық
қасиетіне
қатысты
оның
кристаллографиялық пішіні сияқты симметрияны білдіреді».
Қазіргі уақытта бұл принциптің бірнеше анықтамасы белгілі.
«Кез келген физикалық құбылыстың симметрия тобына
кристалдың морфологиялық симметриясы нүктелік тобының
барлық элементтері кіру қажет» немесе «Кристалдың
морфологиялық симметриясының тобы физикалық құбылыстың
симметрия тобына топша болады».

91.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Скалярдың және 2-ші рангті полярлық тензордың симметриясына
сәйкес келетін физикалық қасиеттер кез келген кристалда жүзеге асуы
мүмкін, өйткені кристалдың барлық 32 нүктелік симметрия топтары
/ m тобына жататын топшалар болады.
Егер физикалық қасиеттер / псевдоскалярмен сипатталатын
болса онда, олар тек 1, 2, 3, 4, 6, 4 , 222, 32, 422, 622, m, mm2, 4 2m,
23 және 432 топтарына жататын кристалдарда жүзеге асуы мүмкін,
өйткені олар / тобына жататын топшалар болады.
Егер физикалық құбылыс m полярлық вектормен сипатталатын болса,
онда ол m тобының топшалары болатын 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm
және 6mm симметрия топтары бар кристалдарда жүзеге асуы мүмкін.
Аксиалдық вектормен сипатталатын физикалық құбылыстар /m
тобының топшалары болатын 1, 2, 3, 4, 6, 1 , 3 , 4 , 6 , 6/m, 4/m, 2/m
және m топтары бар кристалдарда жүзеге асуы мүмкін.
Егер физикалық құбылыстар 2-ші рангті аксиалдық немесе 3-ші рангті
полярлық тензорлармен бейнеленетін болса, онда олар симметрия
центрі жоқ кристалдарда жүзеге асуы мүмкін.

92.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер кристалдың нүктелік морфологиялық симметриясы белгілі
болса Нейман принципі кристалдағы мүмкін болатын физикалық
құбылыстарды, лайықты тензорлардың симметриясын болжауға
және осы тензор матрицаларының түрін көрсетуге мүмкіндік
береді.
Мысал
Симметриясы mm2 болатын кристалл скаляр, полярлық вектор, 2-ші
рангті полярлық тензор, 3-ші рангті полярлық тензор және 4-ші рангті
полярлық тензормен сипатталатын физикалық қасиеттерге ие бола
алады, бірақ псевдоскаляр мен 2-ші рангті аксиалдық тензормен
сипатталатын физикалық қасиеттерге ие болмайды.
Скалярмен – / m
псевдоскалярмен – /
полярлық вектормен – m
аксиалдық вектормен – /m
2-ші рангті полярлық тензормен – 1 , 2/m, mmm, /m, /mm және / m
2-ші рангті аксиалдық тензормен – 1, 2, 222, , /2, / , m, mm2 және 42m
3-ші рангті полярлық тензормен – 1, m, 2, 3, mm2, , 4 , 3m, m, 222, 6 , 32, 4 2m, /2,
6 m2 және 4 3m
4-ші рангті полярлық тензормен – 1 , 2/m, mmm, 3 , 4/m, 3m, 4/mmm, /mm және m3m

93.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Нейман принципінің табиғаты екі жақты.
Нейман принципінде қажетті шарт бар, бірақ ол жеткілікті шарт
емес.
Симметриясы mm2 нүктелік тобымен сипатталатын кристалда
полярлық вектормен бейнеленетін қасиет болуы мүмкін, мысалы,
спонтандық поляризация. Бірақ ол қасиет болмауы да мүмкін.
Басқа жағынан оның теріс жағдайларда жеткілікті күші болуы
мүмкін.
Мысалы mm2 симметриясы бар кристалдың спонтандық магниттенуі
болмауы мүмкін, яғни ферромагнетик болмауы.
Кристалдың симметрия тобы барлық физикалық құбылыстарды
сипаттайтын топтың топшасы болу керек, сондықтан:
Кристалдың
морфологиялық
симметриясы
физикалық
құбылыстарының симметрия тобының жалпы
жоғарғы
топшасы болып табылады, егерде ол топтардың симметрия
элементтері берілген түрде орналасқан болса.
Бұл қағида Кюри-Шубников заңы деп аталады.

94.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Кюри-Шубников заңы схема түрінде келесі суретте көрсетілген
G1, G2 және G3 физикалық құбылыстардың симметрия топтары s, p
және t шекарасы бойынша қиылысып кристалдың симметрия тобы
болатын G тобын бөліп шығарады.
Нейман
принципінің
үлкен
болжау
қабілеті
бар
және
кристаллофизикада кеңінен қолданылады. Оның арқасында
макроскопиялық кристаллофизика толық реттілікке ие болды.

95.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Мысал
Диэлектрлік өтімділігі 2-ші рангті полярлық тензормен және
симметриясы
/mm
тобымен
сипатталатын
кристалды
қарастырайық. осі кристаллофизикалық координат жүйесінің Х3
осін бойлай бағытталған.
Бұл кристалдың 3-ші рангті полярлық тензормен сипатталатын
және /2 симметриясына ие болатын пьезоэлектрлік қасиетті бар.
осі дәл солай Х3 осінің бойымен бағытталған.
Сонымен қоса бұл кристалдың 4-ші рангті полярлық тензормен
сипатталатын және 4/mmm симметриясына ие болатын серпімді
қасиеттері бар. 4-ші осі Х3 осін бойлай бағытталған
Енді ойша осы симметрия элементтерінің барлығын біріктіріп
олардың ішінен жалпысын таңдайық.
Ол 4-ші және оған перпендикуляр және өзара перпендикуляр екі 2ші осьтер болу керек. Сонымен кристалдың іздестіріп отырған
симметрия тобы 422 болады.

96.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Кюри принципі
Кристалдағы барлық физикалық құбылыстарды екі түрге бөлуге
болады:
1. Кристалл табиғатына тән физикалық құбылыстар. Мысалы,
өзіндік поляризация, өзіндік магниттелу, оптикалық активтілік,
сәуленің қосарлана сынуы, жарықты жұтуы және т.б.
2. Кристалда сыртқы әсерлерден пайда болатын физикалық
құбылыстар. Мысалы, температура, сыртқы электр өрісі немесе
механикалық
деформация
салдарынан
пайда
болатын,
поляризация, серпімділік, жылулық кеңею, электроптикалық
және пьезооптикалық эффекттер және т.б.
Кюри сыртқы әсерден болатын кристалл сииметриясының
өзгерістері қандай да заңдылықтарға бағынатыны туралы мәселені
қарастырған.
Олар қазіргі уақытта Кюри принципі деп аталатын қатаң заңға
бағынатыны анықталған.

97.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Кюри принципі келесі түрде тұжырымдалады:
Физикалық әсерден кейінгі кристалдың нүктелік симметрия тобы
кристалдың әсерге дейінгі симметрия тобы мен физикалық әсердің
симметрия тобының берілген өзара бағдарында жалпы жоғарғы
топшасы болады.
Кюри принципін келесі схеманың көмегімен
бейнелеуге болады.
Егер әсерге дейінгі кристалдың симметрия
тобы G, ал физикалық әсердің тобы G1 болса,
онда олардың g, р, s, u шекарасы бойынша
қиылысуы бір жақты болатын С тобын береді
(а сур.).
а
б
Бірақ кристалдың әсерге дейінгі G симметрия тобы және әсерден
кейінгі С симметрия тобы белгілі болса, онда Кюри принципі
бойынша физикалық әсердің симметрия тобын анықтау мүмкін емес
(б сур.). Ол G2 немесе G3 тобы болуы мүмкін.

98.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Кюри принципі геометриялық фигуралар симметриясының белгілі
суперпозиция принципінің физикалық құбылыстарға қарапайым
таралуы емес.
Физикалық құбылыстарды материалдық фигуралармен бейнелеуге
болады, яғни ол Кюри принципінің растығын мақұлдайды.
Мысал
Симметриясы m3 тобымен сипатталатын кубтық кристалл болсын.
Оған [001] бағыты бойынша /mm симметриясы бар механикалық
кернеу әсер етеді.
[001]
/mm
Жалпы симметрия элементтерін теріп mmm тобын аламыз.

99.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Егер осы кристалға [100] бағыты бойынша m симметриясы бар
сыртқы электр өрісі әсер ететін болса, онда кристалл симметриясы
mm2 тобына дейін төмендейді.
[001]
/m
Бірақ симметриясы mmm және mm2 топтарымен сипатталатын
кристалдардың физикалық қасиеттері енді Нейман принципіне
бағынатын болады.
mmm және mm2 топтары өзара жалпы жоғарғы топшалар болады.
Басқа топшалар, мысалы, m немесе 2, кристалдың әсерден кейінгі
симметриясын сипаттамайды, өйткені біржақты таңдауға мүмкіндік
қалдырмайды.

100.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
Сыртқы әсердің салдарынан морфологиялық симметрияның
төмендеуі жаңа қызықты физикалық эффекттерге әкеліп соғады.
Қарастырылған мысалда m3 симметриясы бар кубтық кристалл
центрлік симметриялық болады және онда пьезоэлектрлік қасиет
болмайды.
Электр өрісінің әсерінен оның симметриясы mm2 тобына дейін
төмендейді және ол симметрия центрін жоғалтады.
Енді деформацияланған кристалл пьезоэлектрлік қасиетке ие бола
алады.
Кристалда морфиялық («morphe» – пішін грек сөзінен) деп аталатын
жаңа физикалық қасиет пайда болады, яғни пішіннің өзгеру
салдарынан (әсердің салдарынан өзгерген пішін әңгімеленеді).
Егер бұл жаңа физикалық қасиет пайда болса, онда морфиялық
эффектінің шамасы сыртқы әсердің шамасына тәуелді болады – әсер
неғұрлым күшті болса, соғұрлым морфиялық эффект көбірек болады.

101.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
№5 тестілік тапсырманың үлгісі
1
2
3
4
5
Вариант №
Магнит өрісі кернеулік векторының симметриясы
келесі шекті топпен сипатталады:
A) ∞
B) ∞m
C) ∞/m
D) ∞∞
E) ∞/mm
Цилиндр сфераның ішінде. Бұл фигура қандай
симметрия тобына жатады?
A) ∞
B) ∞m
C) ∞/m
D) ∞∞
E) ∞/mm
Рm3m кристаллын реті 2-ші ось бағытында созады (созу
∞/mm симметриясына ие болады). Кристалл
симметриясы қандай болады?
A) 2
B) 2/m
C) mm2
D) 222
E) mmm
Егер физикалық құбылыс ∞m полярлық векторымен
сипаталатын болса, онда ол симметриясы қандай
кристалдарда орын алуы мүмкін?
A) 6mm
B) 6/m
C) 622
D) 32
E) 6/mmm
Скалярдың нүктелік симметрия тобы:
A) ∞
B) ∞m
C) ∞/m
D) ∞∞m
E) ∞/mm
6
7
Компоненттерін түрлендіру заңы T'ij = cilcjmTlm қандай шама үшін
орындалады:
A) аксиалдық вектор
B) рангі 2-ші аксиалдық тензор
C) рангі 2-ші полярлық тензор
D) рангі 3-ші полярлық тензор
E) полярлық вектор
Поляризация жазықтығының айналуын келесі нүктелік симметрия
тобымен сипаттайды:
A) ∞
B) ∞m
C) ∞/m
D) ∞∞
E) ∞/2
8
Тензор үшін Tij = – Tji тең, ал диагоналдық мүшелері нольге тең болса ол:
A) Түйіндес
B) Симметриялық
C) Антисимметриялық
D) Антитүйіндес
E) Ағытылған
9
Тензордың сипаттаушы беті келесі теңдеумен өрнектеледі T11x + T22x22 +
T33x32 = 1, егер T11 = T22 T33 > 0 сипаттаушы бет:
A) жалпы түрдегі эллипсоид
B) айналу эллипсоиды
C) сфера
D) бірқуыстық гиперболоид
E) екіқуыстық гиперболоид
10
Жалпы түрдегі эллипсоид симметриясы келесі нүктелік топқа сай
болады:
A) mmm
B) /m
C) / m
D) /mm

102.

Қатты дене физикасы мен материалтану кафедрасы
№4 бақылау жұмысының үлгісі
1
(2 балл)
2
(3 балл)
3
(3 балл)
4
(2 балл)
Вариант
Куб ішіндегі конустан тұратын фигураның симметриясын анықта. Конустың осі
[110] бағытына және кубтың реті 2-ші осіне бағыттас.
Симметриясы 4/mmm болатын кристалға біросьтік созу кернеулігі түсіріледі (созу
∞/mmm симметриясына ие болады). Кернеулік [100] бағыты бойынша түсірілген
кезде кристалдың симметриясы қандай болады? Стереографиялық проекциядан
көрсет.
m3m симметриясы бар кристалға [111] бағыты бойынша электр өрісі әсер еткенде
кристалл симметриясы қандай болады? Стереографиялық проекциядан көрсет.
Симметриясы m3m болатын кристалға біросьтік созу кернеулігі түсіріледі (созу
∞/mmm симметриясына ие болады). Кернеулік [110] бағыты бойынша түсірілген
кезде кристалдың симметриясы қандай болады? Стереографиялық проекциядан
көрсет.
11-14 дәрістеріне қосымша әдебиет
1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.:
Издательство «Наука», 1965. - 426 с.
2. Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии. – М.: Издательство
«Наука», 1975. - 556 с.
3. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2000. - 560 с.