Вписанная и описанная окружности

1. Окружность

2. В окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

3. Центральный угол АВС равен 60°. Найдите длину хорды АВ, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.

4. В окружности с центром в точке О проведены диаметры АD и ВС, угол ОАВ равен 70°. Найдите величину угла ОСD.

5. Найдите  DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Найдите DEF, если градусные меры дуг DE и
EF равны 150° и 68° соответственно.

6. Через точку А проведены касательная и секущая, известно, что АВ = 8, АС = 4, КС = ?

А
В
С
К

7.

АО = 5, СО = 4, ОD = 8, ОВ -?
C
A
B
O
D

8. Хорда стягивает дугу АВ окружности в 92°. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через

точку касания.

9. O – точка пересечения медиан

С
M
О
А
D
N
В

10. О – точка пересечения биссектрис треугольника

С
M
O
А
D
N
В

11. H- точка пересечения серединных перпендикуляров

С
К
F
H
А
D
В

12. H- точка пересечения высот треугольника или их продолжений

С
M
F
H
А
D
В

13. Четыре замечательные точки треугольника

Точка пересечения
медиан
Центр тяжести
Точка пересечения
биссектрис
Центр вписанной в
треугольник окружности
Точка пересечения
серединных
перпендикуляров
Центр описанной около
треугольника окружности
Точка пересечения высот Ортоцентр
или их продолжений

14.

1
4
2
3
5
6

15.

16.

В
8
K
С
x
x
8
L
N
y
18
А
18
M P
y
D
По теореме АВ + СD = ВС +АD (т. к окружность вписана в трапецию).
x = КL = CL, y = MD = DL. Высота трапеции ВЕ = 24.
Отрезки: СD = 30, PD = 18.
ВС = 8 + 6 = 14,
АD = 18 + 6 + 18 = 42.

17.

1 вариант
В
8
K
x
С
x
8
2 вариант
L
K
18
В
x
С
x
L
18
N
y
N
18
y
8
А
18
M P
y
D
А
8
y
M P
По теореме АВ + СD = ВС +АD (т. к окружность вписана в трапецию).
x = КL = CL, y = MD = DL. Высота трапеции ВЕ = 24.
Отрезки: СD = 30, PD = 18.
ВС = 8 + 6 = 14,
АD = 18 + 6 + 18 = 42.
ВС = 18 + 6 = 24,
АD = 8 + 6 + 18 = 32.
D

18.

1 вариант
В
8
K
x
С
x
8
2 вариант
L
K
18
В
x
С
x
L
18
N
y
N
18
y
8
А
18
M P
y
D
А
8
y
M P
По теореме АВ + СD = ВС +АD (т. к окружность вписана в трапецию).
x = КL = CL, y = MD = DL. Высота трапеции ВЕ = 24.
Отрезки: СD = 30, PD = 18.
ВС = 8 + 6 = 14,
АD = 18 + 6 + 18 = 42.
ВС = 18 + 6 = 24,
АD = 8 + 6 + 18 = 32.
D