Вероятностные аспекты ТПИ

1. Вероятностные аспекты ТПИ

Измерения как случайный процесс.
Эмпирические исследования больших рядов
измерений –
-Число положительных погрешностей примерно равно
числу отрицательных;
-Число малых по абсолютной величине погрешностей
намного превышает число больших;
-Погрешности по абсолютной величине не превосходят
какого-то известного предела;
-Погрешности группируются около определенного значения,
к которому стремится среднее. Из первого свойства, это 0.
1

2. Вероятностные аспекты ТПИ

Выводы о виде функции плотности:
- функция симметрична (свойство 1),
-функция имеет ярко выраженный максимум и
симметрично спадает к краям (свойства 2),
-функция усечена по какому-то уровню (свойство 3),
- в качестве центра группировки (оценки
математического ожидания) будет ноль (свойство 4).
вероятность погрешности зависит от величины этой
погрешности.
Удовлетворяет масса длинных рядов погрешностей
измерений.
2

3. Вероятностные аспекты ТПИ

Гаусс:
P ( 1 ) ( 2 ) ... ( n ) max
( )
h
e
h2 2
D( ) m 2
h
1
m 2
2
( )d
1
( )
e
m 2
1 2
2
2m
3

4. Вероятностные аспекты ТПИ

Закон Гаусса –
основные характеристики: среднее
арифметическое и средняя
квадратическая погрешность.
Дополнительные свойства:
-независимость, т.е. средняя сумма попарных произведений
двух рядов i и i равно нулю
' ''
lim
0
n
n
-рассеивания, при измерениях в одних условиях, имеем
2
lim
m2 D( )
n n
4

5. Вероятностные аспекты ТПИ

Свойства систематических погрешностей:
пред.
-ограниченность,
- отсутствие компенсации,
- отсутствие независимости,
- отсутствие свойства рассеивания
- отсутствие симметричности и
унимодальности.
5

6. Вероятностные аспекты ТПИ

Случайные погрешности:
- невозможно устранить из единичных результатов
наблюдений.
- влияние можно лишь ослабить оптимальной
организацией измерений и обработки.
- основные свойства проявляются в массе.
Систематические погрешности:
-имеют физический закон образования и
функционирования.
- устраняются в единичных результатах измерений,
введением поправок или организацией процесса.
6

7. Вероятностные аспекты ТПИ

Меры точности результатов измерений – степень
рассеивания измерений вокруг истинного значения.
Необходимость усреднения, виды:
D1 ( )
2
( )d
D2 ( )
( )d
Первая – основа классической ТПИ.
Из т. Чебышева и Ляпунова –
2
m
n
m
mm
2n
7

8. Вероятностные аспекты ТПИ

Нет истинных погрешностей. Подход Бесселя на основе
результатов измерений.
i xi a
vi xi x
i vi x a vi
2
m2
n
v 2
v
n 2
2
n
n
n
Лемма Гаусса:[v] = 0
8

9. Вероятностные аспекты ТПИ

Лемма Гаусса: [v] = 0
v1 x1 x
..................
v x x
n
n
[ x]
[v] [ x] nx [ x] n
0
n
2
2
2
2
2
v
v m
m
m
2
2 n 1
2
m
m
m
n
n
n
n
n
n
m
v 2
mm
m
2(n 1)
n 1
9

10. Вероятностные аспекты ТПИ

Использование т. Чебышева и Ляпунова для второй
гауссовской усредненной меры точности:
среднюю абсолютную погрешность (средняя погрешность)
M (| |)
n
срединная (вероятная) погрешность r – такая величина, большие
которой и меньшие которой по модулю погрешности в ряде
измерений равновозможные:
P r 0.5
Вычисление по вариационному ряду.
10

11. Вероятностные аспекты ТПИ

Графическое выражение погрешностей:
перегиб
центр
тяжести
половины
r m
11

12. Вероятностные аспекты ТПИ

Связь между погрешностями:
m
2
2
| | M
M
m
m
m
2
t
m
r
Ф 0.5
m
2
1.2533...
r
0.6745...
m
m 1.4825... r
12

13. Вероятностные аспекты ТПИ

Другие меры точности:
- коэффициент вариации
- полуразмах
m
V 100%
x
xmax. xmin.
R
2
-относительные погрешности
m r R 1
, , , ,
x x x x x N
-
предельные погрешности, коэффициенты 2, 2.5, 3,
для вероятностей 0.95, 0.99 и 0.9973
13