Уравнение плоскости

1.

Урок № 11
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
ПЛОСКОСТЬ от лат. planum
ровная поверхность.
План урока:
1 Прямая на плоскости и
плоскость в пространстве.
2 Вывод формулы уравнения
плоскости.
3 Решение задач о нахождении
уравнения плоскости.
4 ДЗ.

2.

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве.
Уравнение плоскости
в пространстве
Уравнение прямой
на плоскости
n{a; b; c} Z
n{a; b}
ax+by+cz+d=0
Y
О
ax+by+c=0
О
X
Вектор нормали прямой –
это вектор, который перпендикулярен
данной прямой.
Y
X
Вектор нормали плоскости –
это вектор, который перпендикулярен
данной плоскости.

3.

Частные случаи
уравнения прямой
Частные случаи
уравнения плоскости
Z
Y
x=0
x=0
y=0
y=0
О
О
X
z=0
X
Y
Y
x=a
Z
y=b
z=c
О
X
y=b
X
x=a
О
Y

4.

Частные случаи
уравнения прямой
Частные случаи
уравнения плоскости
Z
Y
ax+by+cz=0
О
ax+by=0
X
О
X
Если плоскость проходит
через начало координат, то d=0
Если прямая проходит
через начало координат, то с=0
z
С (0;0; c)
Уравнение
прямой
в отрезках
Y
b
X
a
Уравнение
плоскости
в отрезках
y
x y
1
a b
О
Y
В (0; b;0)
x
А(a;0;0)
x y z
1
a b c

5.

Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору
А( x0 ; у0 ; z0 )
n{a; b; c}
В( x; у; z )
А( x0 ; у0 ; z0 )
n
n{a; b; c}
нормальный вектор плоскости
АB x x0 ; y y0 ; z z0
n АB
n АB n
a( x x0 ) b( y y 0 ) c( z z0 ) 0
ax by cz d 0
, где
AB cos
n АB 0
d (ax0 by0 cz0 )

6.

Уравнение плоскости
1 Общее уравнение плоскости
ax by cz d 0
Частные случаи уравнения плоскости
2
3
O(0;0;0), O
α, то d=0
α=OXY: z=0, α=OXZ: y=0, α=OYZ: x=0.
4 α OXY: z=c, α OXZ: y=b, α OYZ: x=a.
z
С (0;0; c)
5 Если плоскость пересекает оси
координат в точках А, В, С, то
y
В (0; b;0)
x
ax by cz 0
А(a;0;0)
x y z
1
a b c
Уравнение плоскости в отрезках

7.

1) Запишите уравнения плоскостей по
рисунку и координаты вектора нормали
(ВСС1):
Z
С1 (ВАА1):
В1
(ВСА):
(DСС1):
(DAA1):
D1
А1
В
С
x=0
y=0
z=0
y=8
x=8
Y (D1C1B1):
n{1;0;0}
n{0;1;0}
n{0;0;1}
n{0;1;0}
n{1;0;0}
z=8
n{0;0;1}
x y z
1
x y z
1 a b c
D 8 8 8
(АСВ1):
А
X
8
x+y+z=8
x+y+z-8=0
n{1;1;1}

8.

2) Запишите уравнения плоскости по Предложите как лучше
рисунку, укажите вектор нормали
выбрать систему координат?
В правильной четырехугольной пирамиде
x y z
SABCD, все ребра которой равны 1
(SCD):
1
z
a
S
c
2
OD OC
2
y
DOC = DOS
по гипотенузе и катету
А
В
b
D
О
С
x
2x 2 y 2z 1 0
x
y
2
2
2
2
n{
2;
2
OS
2
z
1
2
2
2 ; 2}

9.

3) Напишите уравнение плоскости (D1B1C),
укажите вектор нормали, если
представленная фигура куб
D1(2;0;2), B1(0;2;2), C(2;2;0)
2
2
2
2a+2c+d=0
2(-1/4d)+2c+d=0
-1/2d+2c+d=0
2c=-1/2d
c=-1/4d
ax by cz d 0
2a+2c+d=0
2b+2c+d=0
2a+2b+d=0
2a-2b=0
2a+2b+d=0
4a+d=0
2a+2b+d=0
2(-1/4d)+2b+d=0
a=-1/4d
-1/2d+2b+d=0
ax by cz d 0
2b=-1/2d
-1/4dx-1/4dy-1/4dz+d=0
b=-1/4d
x+y+z-4=0 n{1;1;1}

10.

4) Напишите уравнение плоскости
(АМC), укажите вектор нормали,
если представленная фигура
прямоугольный параллелепипед
Введем систему координат
как показано на рисунке
x y z
1
a b c
x y z
1
2 5 4
10x+4y+5z=20
z
10x+4y+5z-20=0
4
n{10;4;5}
5
2
x
y

11.

Задача 5(6): Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти
координаты вектора нормали.(А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1))
ax by cz d 0
4a 3b d 0
4a d d 0
2a 3b 5c d 0 Цель – выразить
каждую из трех
4
a
2
d
4a 3b d 0
переменных a, b, с
d
через d
6b 5c d 0
a
2
Сложив 1 и 3 уравнение системы получим уравнение с 3-мя
6b 5c d 0
неизвестными a, b, d
2a 9b 2d 0
2d 5c d 0
Получили уравнение, которое «созвучно» со 2 уравнением
системы с 3-мя неизвестными a, b, d,
умножим на 2 данное уравнение и сложим его со 2
уравнением (для того чтобы избавиться от переменной а)
4a 18b 4d 0
15b 5d 0 b d
15b 5d
3
5c d
d
c
5

12.

ax by cz d 0
d
d
d
a
b
c
2
3
5
d
d
d
x
y
z d 0
2
3
5
15 x 10 y 6 z 30 0
Проверка правильности составленного уравнения плоскости
(подставим координаты точек в данное уравнение плоскости)
А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5)
30 30 30 30 0
60 30 30 0
60 30 30 0
Запишем координаты вектора нормали к плоскости
n{15;10;6}

13.

Составить уравнение плоскости: А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1)
ax by cz d 0
1)
1) Работаем с первым
уравнением системы, умножим
на 4 и сложим со вторым
(избавимся от переменной а)
a 3b 2c d 0
4a 12b 8c 4d 0
4a 2b d 0
a 3b 2c d 0
10b 8c 5d 0 (1)
4a 2b d 0
2) a 3b 2c d 0
3a 2b c d 0 2) Работаем с первым
уравнением системы, умножим
0) система содержит
четыре неизвестных
на 3 и сложим с третьим
(избавимся от переменной а)
1) и 2) позволило получить два уравнения с тремя
неизвестными (избавились от переменной а)
6) Подставим (5) во
второе уравнение
исходной системы и
выразим а через d
20d
10b
5d 0
7
4a 2b d 0
3d
4a
d 0
7
7b 7c 4d 0
3)
3) Работаем с полученными уравнениями (избавимся от
переменной b), для этого первое уравнение умножим на (-7),
а второе на 10 и сложим, получили уравнение с двумя
неизвестными
5) Подставим (4) в (1)
и выразим b через d
3a 9b 6c 3d 0
3a 2b c d 0
3d
b
14
5d
a
14
(2)
70b 56c 35d 0
70b 70c 40d 0
14c 5d 0
(3)
4) Выразим с через d
(5)
5d
c
14
(6)
7) Подставим
(4);(5);(6) в общее
уравнение плоскости
(4)
ax by cz d 0

14.

ax by cz d 0
5d
a
14
3d
b
14
5d
c
14
5d
3d
5d
x
y
z d 0
14
14
14
Разделим обе части уравнения на d, и умножим на (-14)
5 x 3 y 5 z 14 0
Проверка правильности составленного уравнения плоскости
(подставим координаты точек в данное уравнение плоскости)
А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1)
5 9 10 14 0
20 6 14 0
15 6 5 14 0
Уравнение плоскости проходящей через три точки А(-1;3;-2), В(4;-2;0),
С(3;-2;-1) имеет вид: 5 x 3 y 5 z 14 0

15.

Домашнее задание с урока 11:
Знать уравнение плоскости, вектор нормали к плоскости,
выбрать произвольные три точки, заданные в системе
координат в пространстве, составить уравнение плоскости
(2 задачи), задача ниже
4
6
3
3) Напишите уравнение плоскостей,
которые являются гранями
прямоугольного параллелепипеда и
(ВЕК). Укажите для каждой
плоскости вектор нормали.
Подумайте как легче ввести в этом
случае систему координат (какую
вершину выбрать началом
координат, подскажет (ВЕК)).