ЕГЭ. Методы вычисления площадей фигур

1.

ЕГЭ. Методы вычисления
площадей фигур

2.

«Геометрия является самым
могущественным средством для изощрения
умственных способностей и дает нам
возможность правильно мыслить и
рассуждать».
Галилео Галилей.
• «Глядя на мир, нельзя не удивляться»
Козьма Прутков

3. Площадь прямоугольника

• S=a∙b
S 2 3 6
Ответ: 6

4. Площадь параллелограмма

• S=a∙h
S 3 3 9
Ответ: 9

5. Площадь треугольника

S=a∙h/2
6 3
S
9
2
3 5
S
7,5
2

6. Площадь ромба

d1 d 2
S
2
S
6 8
Ответ: 24
2
24

7. Площадь трапеции

a b
S
h
2
5 7
S
7 18
2
2 5
S
4 14
2

8. Площадь кольца

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями,
радиусы которых равны 15 , 11 .
S R 2
S к Sб S м
Rб
15
,
Rм
11
2
2
15
11
Sк
225 121 104.
Ответ: 104

9. Дополнительное построение

S
3 5 3 6 3 3
6 8
2
2
2
S
48 (7,5 9 4,5) 27
Ответ: 27

10. Разрезание

Получили две фигуры: трапецию и прямоугольный треугольник.
S тр
1 9
3 15
2
Sтреуг
1 4
2
2
S 15 2 17
Ответ: 17

11. Формула Пика

Георг Алекса́ндр Пик
(10.08.1859-13.07.1942) ,
австрийский математик.

12.

• Теорема Пика для вычисление площади
многоугольника с целочисленными вершинами .
Пусть L — число целочисленных точек внутри многоугольника,
B— количество целочисленных точек на его границе,
S— его площадь.
Тогда справедлива формула Пика:
S=L+B/2-1

13.

• Мы будем пользоваться этой в более удобном для
нас виде. Введём другие обозначения:
В - число целочисленных точек внутри
многоугольника,
Г - количество целочисленных точек на его
границе, тогда формула Пика будет иметь вид:
S=В+Г/2-1

14. Пример 1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ

Пример 1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
В 22
Г 12
Г
S В 1
2
12
S 22 1 22 6 1 27
2
Ответ: 27

15. Пример 2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ

Пример 2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
В 9
Г 18
Г
S В 1
2
18
S 9 1 9 9 1 17
2
Ответ:
17

16. Применение подобия

Р1
k
Р2
S1
k2
S2
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
S1 R1 1
S2 R2 5
С1
R1
1
k
С2
R2
5
S1 45
45 1
45 1
45 25
S2
1125
S2 5
S 2 25
1
2
S S2 S1 1125 45 1080
Ответ: 1080

17. Итоги занятия

• При решении задач на нахождение
площадей фигур можно использовать
следующие методы:
• 1. Основные формулы вычисления
площадей плоских фигур.
• 2. Метод дополнительного построения .
• 3. Метод разрезания.
• 4. Формула Пика.
• 5. Применение подобия.
• 6. Осевая симметрия.