Законы алгебры логики. Равносильные преобразования

1.

2. Равносильные преобразования

• Равносильные преобразования логических
формул имеют то же назначение, что и
преобразования формул в обычной алгебре.
• Они служат для упрощения формул или
приведения их к определённому виду путем
использования основных законов алгебры
логики.

3.

Под упрощением формулы, понимают
равносильное преобразование,
приводящее к формуле, которая
• либо содержит по сравнению с исходной
меньшее число операций конъюнкции и
дизъюнкции и инверсий
• не содержит отрицаний неэлементарных
формул, либо содержит их меньшее число

4. Равносильность формул

• Две формулы F и G называются
равносильными, если на любом наборе
пропозиционных переменных λ(F) =
λ(G).
• Обозначения: F ≡ G.

5. 1. Закон двойного отрицания

Двойное отрицание исключает
отрицание.
A A

6. 2. Переместительный (коммутативный) закон

— для логического сложения:
A B B A
— для логического умножения:
A& B B & A

7. 3. Сочетательный (ассоциативный) закон

— для логического сложения:
( A B) C A ( B C )
— для логического умножения:
( A & B) & C A & ( B & C )

8. 4. Распределительный (дистрибутивный) закон

— для логического сложения:
( A B) & ( A C ) A ( B & C )
— для логического умножения:
( A & B) ( A & C ) A & ( B C )

9. 5. Закон общей инверсии (законы де Моргана)

— для логического сложения
А В A & B
— для логического умножения:
А& В A B

10. 6. Закон идемпотентности

— для логического сложения:
A A A
— для логического умножения:
A& A A
Закон означает отсутствие показателей степени.

11. 7. Законы исключения констант

— для логического сложения:
А 0 A
А 1 1
— для логического умножения:
А &1 A
А&0 0

12. 8. Закон противоречия

Невозможно, чтобы противоречащие
высказывания были одновременно
истинными.
A&A 0

13. 9. Закон исключения третьего

Из двух противоречащих высказываний об
одном и том же предмете одно всегда
истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
A A 1

14. 10. Закон поглощения

— для логического сложения:
— для логического умножения:
A & ( A B) A

15. 11. Закон исключения (склеивания)

— для логического сложения:
( A B) * ( A B) B
— для логического умножения:
A* B A* B B