Нахождение экстремума функции нескольких переменных. (Тема 16.8)

1.

Рассмотрим нахождение экстремума функции
нескольких переменных не на всей области
определения, а на множестве, удовлетворяющему
некоторому условию.
Пусть задана функция z=f(x,y), аргументы которой
удовлетворяют уравнению
g ( x, y ) C

2.

Точка (х0,у0) называется точкой условного
экстремума (максимума или минимума),
если существует такая окрестность этой
точки, что для всех точек (х,у) из этой
окрестности, удовлетворяющих условию
g(x,y)=C, выполняется неравенство:
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)

3.

Чтобы найти условный экстремум, нужно из
уравнения связи выразить одну переменную
через другую:
y=φ(x).
Подставим это выражение в функцию двух
переменных и получим функцию одной
переменной:
z=f(x,y)=f(x, φ(x)).
Ее экстремум и будет условным экстремумом
функции z=f(x,y).

4.

z f ( x, y )
z
x
y
( x0 , y0 )
( x, y )
g ( x, y ) C

5.

Найти точки максимума и минимума
функции
z x 2y
2
2
при условии 3х+2у=11.

6.

3 x 2 y 11
11 3 x
y
2
11 2
11 3 x
z x 2
x 6 x 11
2
2
2
2
z 11 x 3
x0 3
y0 1
условный минимум

7.

В этом примере связь между х и у оказалась
линейной, поэтому уравнение связи легко
разрешилось
относительно
одной
из
переменных.
Но в некоторых случаях это сделать довольно
сложно. Поэтому в общем случае для
нахождения условного экстремума используется
Рассмотрим функцию трех переменных:

8.

L ( x, y , ) f ( x, y ) ( g ( x, y ) C )

9.

Если точка (х0,у0) является точкой
условного экстремума функции z=f(x,y)
при условии g(x,y)=C, то существует
значение λ0, такое что точка
(х0,у0,λ0) является точкой экстремума
функции L(x,y,λ).

10.

Следовательно,
для
нахождения
условного
экстремума функции z=f(x,y) при условии
g(x,y)=C, требуется найти решение системы:
Lx f x ( x, y) g x ( x, y) 0
L y f y ( x, y) g y ( x, y) 0
L g ( x, y) C 0

11.

Последнее уравнение совпадает с уравнением
связи.
Первые два уравнения можно записать в виде:
gradf gradg
То есть в точках условного экстремума
градиенты функций f(x,y) и g(x,y)
коллинеарны.

12.

Рассмотрим геометрический
Лагранжа:
y
смысл
теоремы
gradf
f ( x, y ) Q
gradg
g ( x, y ) C
x
В точке условного экстремума линия уровня
функции z=f(x,y) касается линии g(x,y)=C.