Беспроводные системы связи и их безопасность

1. Беспроводные системы связи и их безопасность

Профессор, д.ф.-м.н. А.Г. Флаксман
Кафедра бионики и статистической радиофизики ННГУ
Литература
1. Марков Г.Т., Сазонов Д.М. Антенны. – М. Энергия, 1975. 528 с.
2. Прокис Д. Цифровая связь. Пер. с англ. – М: Радио и связь, 2000. 800с.
3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Пер. с англ. М:,
Вильямс, 2003. 1104 с.
4. Ермолаев В.Т., Флаксман А.Г. Теоретические основы обработки сигналов в системах мобильной
радиосвязи (Электронное методическое пособие). – Нижний Новгород: ННГУ им. Н.И.
Лобачевского, 2010. 107 стр.
5. Ермолаев В.Т., Флаксман А.Г. Современные методы пространственной обработки сигналов в
радиосистемах с антенными решетками. Учебное пособие. / Нижний Новгород: Изд-во
НГТУ им. Р.Е. Алексеева, 2008. - 171 с.
6. В.Т. Ермолаев, А.А. Мальцев, А.Г. Флаксман, О.В. Болховская, А.В. Клюев. Мобильная связь:
вопросы теории и типовые задачи. Учебное пособие. / Нижний Новгород: Изд-во
Нижегородского госуниверситета ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2014. 234 с.
22.09.2017
1

2.

Лекции 1-3. Основные характеристики антенных
решеток (АР)
- АР часто используются в радиосвязи, радиолокации, радиопеленгации, радионавигации
- АР представляет собой множество простых антенн, произвольно распределенных в
пространстве и объединенных системой управления передачей и приемом сигналов.
- Простые антенны называют элементами АР. Как правило, они имеют геометрические
размеры, не превышающие длину волны, в то время как вся АР может иметь
геометрические размеры, значительно превышающие длину волны.
- В большинстве случаев АР состоит из идентичных элементов, распределенных в
пространстве упорядоченным образом, например, на одинаковом друг от друга
расстоянии. Это обстоятельство оправдывает термин “решетка”, используемый для
таких антенных систем.
- Если элементы АР распределены вдоль некоторой линии, то АР называется линейной.
- Эквидистантной линейной АР называется система, элементы которой расположены
друг от друга на одинаковом расстоянии, называемым периодом АР.
- Если каждый элемент АР предполагается излучающим равномерно по всем
направлениям, то такая система называется эквидистантной линейной АР с изотропно
излучающими элементами.
- Решетка называется плоской, когда ее элементы распределены на плоскости.
- Элементы АР могут быть расположены на цилиндрической или сферической
поверхности (цилиндрическая или сферическая АР).
2

3. 1. Прием гармонического сигнала антенной решеткой

Сигнал, принятый первым элементом
s1 (t ) exp( j 0t )
2
0 2 f 0
0
1
Колебание во втором элементе опережает колебание в первом на время
d sin
c
с=3 108м/с - скорость света
s2 (t ) exp j 0 t exp j 2 f0 exp( j 0t )
2
s2 (t ) exp j d sin exp( j 0t ) exp j ( 0t k )
k 2
d sin
- волновое число и разность хода
3

4.

Сигнал в разных элементах АР отличается только разностью фаз n, которая зависит от
номера элемента n:
2
(n 1)d sin ;
n (1 N )
2
sn (t ) exp j (n 1)d sin exp( j 0t );
n
n (1 N )
Комплексная амплитуда
sn (t ) S n exp( j 0t );
n (1 N )
1
S1
2
exp j
d sin
S
2
.
S
2
exp
j
(
N
1
)
d
sin
S
N
4

5.

sn (t ) exp[ j 0t j (k rn )];
n (1 N )
rn r1 n
sn (t ) exp[ j (k n )] exp j 0t jkr1 ;
S n exp[ j (k n )];
n (1 N )
n (1 N )
Пример: круговая решетка
2
(k n ) R cos n
2
S n exp j
R cos n ;
n (1 N )
5

6. 2. Диаграмма направленности

N
s (t )
n 1
wn sn (t )
N
exp( j 0t ) wn S n
sn (t ) S n exp( j 0t );
n (1 N )
n 1
N
s (t ) exp( j 0t ) wn exp[ j (k n )]
n 1
wn exp[ j (k n )] - максимальная амплитуда
на выходе (в N раз больше
амплитуды волны)
wn ( 1) exp[ j (k n )] - при четном N имеем подавление сигнала (ноль на выходе)
n
Зависимость комплексной амплитуды выходного сигнала от направления
прихода плоской монохроматической волны единичной амплитуды
называется диаграммой направленности (ДН) АР.
N
F (k ) wn exp[ j (k n )]
R 2Da2
n 1
Зона Фраунгофера
(дальняя зона) антенны
6

7.

N
F (k ) wn exp[ j (k n )]
n 1
ДН является комплексной функцией, она имеет функцию модульного значения F (k )
и функцию аргумента (k ) arg F (k )
F (k )
Амплитудная ДН
(k ) arg F (k )
N
F (k ) wn f n (k ) exp[ j (k n )]
n 1
N
F (k ) f (k ) wn exp[ j (k n )]
Фазовая ДН
В общем случае элементы АР могут
иметь собственные различные ДН.
Множитель решетки
n 1
Диаграмма одного
элемента АР
Когда АР составлена из идентичных элементов, ее ДН равна
произведению ДН одного элемента и множителя решетки
7

8.

Свойства ДН линейной эквидистантной АР, состоящей из изотропных элементов
2
sn (t ) exp j
(n 1)d sin exp( j 0t )
2
F ( ) wn exp j d (n 1) sin
n 1
N
(1)
(2)
wn
1
2
exp j d (n 1)
N
N
(3)
wn
2
1
n 1
(4)
1 N
2
F ( )
exp j d (n 1)(sin )
N n 1
(5)
d
sin N (sin )
1
exp j d ( N 1)(sin )
F ( )
d
N
sin (sin )
8

9.

Амплитудная ДН
d
sin N (sin )
F ( ) N
d
N sin (sin )
(1)
Обобщенная угловая переменная
(2)
(3)
d
N (sin )
sin
F ( ) N
N sin N
Положения максимумов
(4)
Nm m=0,1,2,
Кривая 1 – sin
Кривая 2 – sin N
Кривая 3 – F ( ) N
N=5
9

10.

Положения максимумов
Nm
m=0,1,2,
Дифракционный
максимум ДН
1. ДН - периодическая функция
относительно обобщенной
угловой переменной Ψ
Главный
максимум ДН
2. Направление главного луча φ0
находим из формулы sin 0
Дифракционный
максимум ДН
3. Угловое расстояние между
первыми нулями дает ширину луча
ar 2 arcsin
dN cos 0
-3дБ
4. Ширину луча определяют по
уровню ДН, равному -3 дБ
относительно максимума (уровень
половинной мощности)
0,451
( ar ) 0,5 2 arcsin
Боковые лепестки ДН
dN cos 0
Ширина луча уменьшается при увеличении размера АР.
10
Ширина луча увеличивается при его отклонении от нормали.

11.

(1)
(2)
d
N (sin )
( 2) ( 2) - область видимости для угла
d
d
(3) N (1 ) N (1 ) - область видимости для обобщенного угла
В области видимости не должно
быть дифракционных лепестков!
(4)
( N 1) ( N 1)
Сравнивая (4) с (3), получим
два условия:
(5)
d
N (1 ) ( N 1) ,
d
N (1 ) ( N 1) .
Эти неравенства эквивалентны одному неравенству
При =0, d≤λ.
d N 1 1
N 1
(6)
При сканировании во всем переднем полукруге ( 0 2) требование
к межэлементному расстоянию становится более сильным (d≤0,5λ).
11

12.

Для борьбы с помехами принимаются меры к снижению уровня боковых лепестков ДН.
Данную задачу решают, выбирая соответствующим образом весовые коэффициенты.
2
F ( ) wn exp j d (n 1) sin
n 1
N
(1)
20 lg|F( )|=10 lg|F( )|2 – значение амплитудной ДН в логарифмическом масштабе
(дБ – децибеллы).
Рассмотрим два способа уменьшения уровней боковых лепестков ДН.
1. Дольф-чебышевское распределение весовых коэффициентов минимизирует
уровень боковых лепестков при фиксированной ширине главного луча.
Кривая 1 - ДН с равномерным
распределением весовых коэффициентов.
Кривая 2 - ДН для 9-элементной дольфчебышевской АР с весовыми
коэффициентами w1=w9=0,38; w2=w8=0,53;
w3=w7=0,76; w4=w6=0,94; w5=1.
Боковые лепестки уменьшаются, а главный
луч расширяется. Характерным является то,
что все боковые лепестки имеют один и тот
же уровень.
12

13.

2. Распределение весовых коэффициентов Ямпольского минимизирует средний
уровень боковых лепестков, получаемый интегрированием ДН по мощности (квадрат
амплитудной ДН) в области боковых лепестков.
Кривая 1 - ДН с равномерным
распределением весовых коэффициентов.
Кривая 2 - ДН для 16-элементной АР с
весовыми коэффициентами, равными
w1=w16=0,245; w2=w15=0,371; w3=w14=0,508;
w4=w13=0,646; w5=w12=0,724; w6=w11=0,882;
w7=w10=0,959; w8=w9=1.
Уровни боковых лепестков уменьшаются, а
главный луч становится шире.
Общая закономерность заключается в том, что для уменьшения среднего
уровня боковых лепестков модульные значения весовых коэффициентов
следует выбирать так, чтобы они уменьшались к краям АР.
13

14. 3. Коэффициент направленного действия (КНД)

КНД показывает, во сколько раз больше (или меньше) излучает антенна в
заданном направлении по сравнению с ненаправленной гипотетической
антенной при условии одинаковой подводимой мощности.
Плотность потока мощности , k F ,
ср
k
4
F ( , ) d
2
2
d cos d d
4
4 F ( , )
( , )
D( , )
2
ср
F
(
,
)
d
2
КНД
4
D( , ) Dmax F ( , )
2
4 F ( 0 , 0 )
2
Dmax
4
F ( , ) d
2
Dmax 2
4
0,5
2
F ( , ) cos d d
0 0,5
14

15.

Максимизация КНД.
Синтезируем ДН с максимальным КНД в выбранном направлении ( 0, 0).
2
F ( ) wn f n ( , ) exp j d (n 1) sin
n 1
N
Имели
F ( , ) WH S( , )
В матричной форме
Sn ( , ) f n ( , ) exp j 2 d (n 1) sin
КНД
D ( 0 , 0 )
- n-ая компонента вектора S
4 W H S ( 0 , 0 )
2 0.5
2
2
W S( , ) cos d d
H
0 0.5
Учтем, что
2
W S( , ) W H S( , )S H ( , ) W
H
4 W S ( 0 , 0 )
H
КНД D( 0 , 0 )
2
W H RW
Эрмитова матрица R равна
R
2 0.5
H
S
(
,
)
S
( , ) cos d d
0 0.5
15

16.

1. Матрица R является диагональной (т.е. отдельные элементы АР имеют
ортонормированные парциальные ДН).
Условие ортонормированности удобно записать в виде
КНД
D ( 0 , 0 )
R pq 4 pq
W H S( 0 , 0 )S H ( 0 , 0 ) W
WH W
Задача – найти экстремум отношения двух квадратичных форм.
Вектор W определен с точностью до комплексного множителя . Этот множитель
можно подобрать так, чтобы выполнялось условие W H W S H ( , )W
0
Тогда
0
D( 0 , 0 ) W H S( 0 , 0 )
Задача свелась к отысканию условного максимума. Применим метод Лагранжа.
L W H S( 0 , 0 ) [W H W S H ( 0 , 0 )W]
L
N *
*
w p S p ( 0 , 0 ) w p w p
p 1
p 1
N
N
- функционал Лагранжа
w p S *p ( 0 , 0 )
p 1
- неопределенный
множитель Лагранжа
16

17.

В качестве независимых переменных можно выбрать
dL
S k ( 0 , 0 ) wk 0
*
dwk
Множитель =1
wk 1S k ( 0 , 0 )
wk S k ( 0 , 0 )
dL
wk* S k* ( 0 , 0 ) 0
dwk
В матричной форме
wk , wk*
wk S k ( 0 , 0 )
W S ( 0 , 0 )
ДН с максимальным КНД
F ( , ) S H ( 0 , 0 )S( , )
2
F ( , ) f n* ( 0 , 0 ) f n ( 0 , 0 ) exp j
d ( p 1)(sin sin 0 )
n 1
N
Максимальный КНД в направлении ( 0, 0)
D ( 0 , 0 )
N
n 1
f n ( 0 , 0 )
2
17

18.

Dn ( 0 , 0 )
4 f n ( 0 , 0 )
2 0 ,5
2
- КНД n-го элемента в направлении ( 0, 0)
2
f n ( , ) cos d d
0 0 ,5
Из условия ортонормированности
D ( 0 , 0 )
N
Dn ( 0 , 0 )
n 1
Dn ( 0 , 0 ) f n ( 0 , 0 )
2
Максимальный КНД АР есть сумма КНД отдельных
элементов с ортогональными парциальными ДН.
2. Случай, когда матрица R является недиагональной
4 W S ( 0 , 0 )
H
Имели, что КНД
D ( 0 , 0 )
W H RW
Условие нормировки для весового вектора W
Тогда
2
W H RW S H ( 0 , 0 )W
D( 0 , 0 ) W H S( 0 , 0 )
Задача свелась к отысканию условного максимума. Применим метод Лагранжа.
18

19.

L
N N *
*
w p S p ( 0 , 0 )
w p R pq wq
p 1q 1
p 1
N
N
w p S *p ( 0 , 0 )
p 1
В качестве независимых переменных можно выбрать
N
dL
Sk ( 0 , 0 ) R kq wq 0
*
dwk
q 1
Множитель =1
ДН с максимальным КНД
- функционал Лагранжа
wk , wk*
RW S( 0 , 0 )
W R 1S( 0 , 0 )
F ( , ) S H ( 0 , 0 )R 1S( , )
Максимальный КНД в направлении ( 0, 0)
D( 0 , 0 ) 4 S H ( 0 , 0 )R 1S( 0 , 0 )
19

20. 4. Усиление антенны

Волна излученная
тракт
антенна
передатчик
Падающая
волна
Отраженная
волна
G , D , (1 ),
2
Усиление
антенны
КНД
КПД
антенны
Коэффициент
отражения от
входа антенны
20

21. 5. Мощность принятого сигнала

Приемная
антенна
тракт
приемник
Волна падающая
Эффективная
площадь приемной
антенны
плоскость
Вт Pt Gt
2
м 4 R 2
R 2 Da2
Gr 2
S
4
Pr Вт
Pt Gt Sr
4 R
2
Pt Gt Gr 2
Дальняя зона, где
фронт волны можно
считать плоским.
Мощность сигнала на
входе приемника
4 2 R 2
21

22. 6. Прием узкополосного сигнала антенной решеткой

Три эквивалентных способа представления действительного узкополосного сигнала
s (t ) a(t ) cos 0t (t )
(1)
(2) s(t ) a(t )cos (t ) cos 0t a(t )sin (t ) sin 0t
(3) s(t ) Re S (t ) exp( j t ) ; S (t ) a(t ) exp j (t )
0
Максимальному размеру АР, равному L,
соответствует максимальная задержка
сигнала τmax=L/c.
( f ) 1
- характерное время изменения комплексной амплитуды,
обратно пропорциональное ширине спектра.
max ( f ) 1
- условие, при котором комплексная амплитуда
имеет одинаковое значение на всех элементах АР
2
0
1
L c( f ) 1 - ограничение на размер антенны.
Если сигнал имеет ширину спектра 10 МГц (Δf=107 Гц), то L<<30 м.
22

23.

Чтобы различать регулярную и случайную комплексные
амплитуды, последнюю обозначим буквой X.
Вектор-столбец X=(X1, X2,…,XN)T - набор случайных
комплексных амплитуд Xn (n=1÷N) в элементах АР в
один и тот же момент времени ((.)T - транспонирование)
Многомерная гауссова плотность вероятности
совокупности комплексных случайных величин Xn
p( X)
1
N det M
exp( X H M 1X)
M XX H - корреляционная матрица, (.)H эрмитовое сопряжение.
X 1 X 1 X 1 X 2
X 2 X 1 X 2 X 2
M
X X X X
N 1
N 2
X1 X N
X2XN
X N X N
(.)* комплексное сопряжение
- Диагональный элемент КМ - средняя мощность шума в соответствующем элементе АР
- Недиагональные элементы - функции корреляции сигналов в двух разных антеннах.
- Симметричные относительно диагонали элементы матрицы - комплексно сопряженны.
- КМ является эрмитовой.
23

24.

Частные случаи представления КМ
1. Собственный шум АР
M=σ2I
2 0
0 2
M
0
0
0
0
2
Единичная матрица
2. Внешний источник шума малого углового размера.
X=b(t)Ф
(Ф – вектор-фазор источника шума)
3. Несколько (J) взаимно некоррелированных внешних
источников шума малого углового размера.
J
X bi (t ) i
i 1
J
M bi (t ) i iH
i 1
2
2
M XX H b(t ) H
1
2
exp j d sin i
i
2
exp
j
(
N
1
)
d
sin
i
24

25.

4. Внешний источник шума с угловой протяженностью.
Плоская волна излучается источником с угловым размером d .
( )d - комплексная амплитуда сигнала в первом элементе АР, где функция ( ) угловая плотность комплексной амплитуды. Комплексная амплитуда сигнала от
всего протяженного источника в элементе АР с номером n будет равна
X n exp[ j 2 d (n 1) sin ] ( )d (интеграл по протяженному источнику) d d
Разные участки протяженного источника
излучают статистически независимые
комплексные амплитуды
( ) ( ) ( ) ( )
( ) -функция, ( ) - угловая плотность мощности источника сигнала
Тогда
XnXm
exp[ j 2 d (n m) sin ] ( )d
Протяженный источник с лапласовской
плотностью вероятности углового
распределения мощности
( )
0
1
exp 2
s
2 s
0 – направление на центр источника,
s - угловая ширина источника по уровню половинной мощности
25

26.

Источник расположен в малой области углов( sin ),
угловая ширина источника мала ( s 2 )
XnXm
1
1 0.5 2 d s (n m)
2
exp j 2 d (n m) 0
Коэффициент корреляции для
лапласовского источника с
угловым размером 2 ,
5 и 8 (кривые 1, 2 и 3)
Модуль коэффициента корреляции уменьшается при увеличении угловой
ширины s источника и расстояния между n-ым и m-ым элементами АР
26

27. 7. ОСШ на выходе антенной решетки

1
S1
exp j 2 d sin
S2
S
S exp j 2 ( N 1)d sin
N
Вектор сигнала
Вектор весовых
коэффициентов
W w1 , w2 , , wn , , wN
T
S a S1 , S2 , , Sn , , S N
T
N
S a wn S n aW H S
n 1
Амплитуда
сигнала на
выходе АР
Скалярное
произведение
векторов
27

28.

X X1 , X 2 , , X n , , X N
T
N
Z wn X n W H X
n 1
Z
2
N N
wn wm
m 1n 1
H
H
W
XX
Корреляционная
матрица (КМ) шума
2
a WHS
XnXm
N N
w
n M nmwm
m 1n 1
W W H MW!
Средняя
мощность шума
на выходе АР
M XX H
2
W H MW
- отношение мощности сигнала к средней
мощности шума на выходе АР (ОСШ)
28

29.

Максимизация ОСШ
1. Имеется только собственный шум приемных устройств.
2
a WHS
Отношение двух квадратичных форм не зависит от нормировки W.
Поэтому вектор W можно определить с точностью до скалярного
комплексного множителя.
2
2 WH W
- нормировка весового вектора
WH W=1
a
КМ M=σ2I.
2
2
WHS
2
С учетом нормировки
Максимальное
ОСШ
Оптимальный вектор - W0=γS
1
W0
max
a
H
S
S S
2
2
(S H S)
a
2
N
S
2 n
n 1
2
max
a
2
2
N
29

30.

2. Имеются внешние шумовые помехи и собственный шум приемных устройств.
2
H
a W S
2
W H MW
Введем вспомогательный вектор V, такой, что W=M 0,5V.
2
H
a V M
0.5
S
2
VH V
Для максимального ОСШ, вектор V должен быть параллелен вектору M 0,5S.
Следовательно
M 1 – матрица, обратная по отношению к КМ шума,
γ – произвольный скалярный множитель.
1
W M S
Оптимальный весовой вектор находится как произведение обратной
корреляционной матрицы суммарного шума на вектора сигнала
max a
2
S H M 1 S
H
1
2
S M S
a S H M 1 S
2
Максимальное ОСШ
30

31.

3. Максимизация ОСШ при фиксированной амплитуде полезного сигнала на выходе АР.
2
a WHS
2
Считаем WHS=1.
W H MW
Максимизация ОСШ эквивалентна минимизации средней выходной мощности
min W H MW
W
H
при условии
WH S 1
Функционал Лагранжа
L
L W MW (W S 1)
H
dL
dwi*
H
N
M iq wq Si 0
q 1
(S MS)
H
1
W
Оптимальный
весовой вектор
N N
w*pM pqwq
p 1q 1
N *
w p S p 1
p 1
MW S
1
H
(S MS)
M 1S
max a S H M 1S
2
Максимальное
ОСШ
31

32.

4. В системах связи полезный сигнал передается и принимается непрерывно.
Вектор входного процесса Y=aS+X - вектор смеси шума и полезного сигнала.
Шум и сигнал некоррелированы между собой.
Полная КМ равна сумме КМ шума и сигнала
W0 M 0 1S
Весовой вектор
M 0 1
2
M a SS
2
W0 M 1S
W M 1 S
вместо
Как связаны векторы W и W0?
В соответствие с леммой об
обращении матриц имеем
2
M 0 M a SS H
a M 1SS H M 1S
2
1 a S H M 1S
H
1
M
1
a M 1SS H M 1
2
1 a S H M 1S
2
2
M 1S
a S H M 1S
2
1 a S H M 1S
M 1S
1
1
1
W W
M
S
2
2
1 a S H M 1S
1 a S H M 1S
Новая константа
2
(1 a S H M 1S) 1
не влияет на ОСШ
Наличие сигнальной компоненты в полной КМ не влияет на выходное ОСШ АР
32

33.

5. Протяженный источник
S вых
2
W H M S W - амплитуда сигнала на выходе АР, MS - КМ полезного сигнала
ОСШ
WH MS W
W H MW
Максимум отношения двух квадратичных форм достигается, когда вектор W равен
собственному вектору U1 матрицы M-1MS, соответствующему максимальному
собственному числу 1
Вектор U1 является собственным для обратной матрицы (M 1MS) 1=(MS) 1M,
но соответствующий теперь минимальному собственному числу 1/ 1.
Если сигнал наблюдается на фоне собственного шума, то M 1= 2I, M 1MS= 2MS.
Следовательно, оптимальным весовым вектором является собственный вектор
сигнальной КМ MS, соответствующий максимальному собственному числу 1.
33

34. 8. Оценка корреляционной матрицы шума

В случае гауссова шума максимально правдоподобная оценка КМ шума
по L статистически независимым выборкам входного процесса имеет вид
1 L
M X( j ) X H ( j )
L j 1
2
1 L
M pp x p ( j )
L j 1
X(j) – N-мерный вектор комплексных амплитуд шума в
j-ый момент времени,
N – число элементов АР.
1 L
M pq x p ( j ) xq* ( j )
L j 1
Оценочная КМ обладает следующими основными свойствами:
1. Является эрмитовой и состоятельной, так что lim M M
L
2. При L N имеет N положительных случайных собственных чисел.
3. При L<N имеет L положительных случайных собственных чисел, неравных
нулю, и N-L нулевых собственных чисел. В этом случае матрица является
вырожденной и не имеет обратной матрицы.
34

35.

При конечном числе выборок L наблюдается разброс шумовых собственных чисел,
появляются собственные числа, близкие к нулю.
Собственные числа точной
КМ шума М (один
источник шумовой помехи)
N=10
Разброс шумовых собственных
чисел выборочной КМ
Модифицированная максимально
(1 ) L 1 L l
H
M
(
L
)
X
(
L
l
)
X
( L l ), (0 1)
правдоподобная оценка КМ для
L l 0
нестационарных входных процессов
Весовые множители придают больший вес последним выборкам входного процесса
35

36. 9. Свойства прямой и обратной корреляционных матриц

Собственные числа j и собственные векторы Uj матрицы М находятся из решения
характеристического уравнения степени N и системы N линейных уравнений
N ( ) det( I M) N 1 N 1 2 N 2 ... N 0,
(1)
MU j j U j
( j 1,2,...N ).
В N-мерном векторном пространстве сигналов собственные векторы Uj (j=1 N)
образуют ортонормированный базис. В этом базисе, матрица М имеет вид
N
(2)
M U U j U j U Hj ,
H
U (U1 , U 2 ,..., U N )
- унитарная матрица
j 1
=diag 1, 2, …, N - диагональная матрица, составленная из собственных чисел j.
U j U Hj
- проекционная матрица или матрица-проектор на подпространство вектора Uj
(U j U Hj ) A (U Hj A)U j
(3) I
N
U j U Hj
- представление единичной матрицы
j 1
36

37.

N
1
M U U U j U Hj .
j 1 j
1
1
H
Два примера.
Представление обратной
КМ в виде разложения по
проекционным матрицам.
1. Один внешний источник шума
2
M 2 (I H )
b(t ) 2
M 2 (1 vN )
1 2 (1 vN )
H N - плоские волны
U1
N
2= 2 - имеет кратность N-1
Учитывая, что M
N
j 1
M 2 (I U1U1H ) 1U1U1H .
M 1
1
N
H
I
U
U
U
U
,
j j
j j
H
j
H
(
I
U
U
)
1
1
2
1
U1U1H
1
j 1
получим
Представление прямой и обратной
КМ в виде разложений по
проекционным матрицам
37

38.

2. Входной шум создается собственным шумом с мощностью 2 в каждом
элементе АР и двумя некоррелированными дискретными источниками
(1)
(2)
M
2
1,2
M
2 2 2H
2
1 N 1
N
2
g12
(3)
I 1 1 1H
1
2
2
2
j b j (t ) 2
1 2 2
1 2 g12
4
2
sin 2 (2 )dN (sin 2 sin 1 )
N 2 sin 2 (2 )d (sin 2 sin 1 )
1
H
(
I
U
U
1 1
2
U 2 U 2H )
1
1
H
U1U1
U 2 U 2H
1
2
38

39.

Обобщение на случай произвольного числа J (J N) источников некоррелированных
сигналов с линейно независимыми векторами Ф1, Ф2, , ФJ
(1)
(2)
M
M
1
2
I
J
U j U Hj
j 1
J
H
U
U
j j j
j 1
J
1
H
2 I U jU j
j 1
J
1
H
U
U
j j
j 1 j
N-мерное пространство
разбивается на два
подпространства
Подпространство
собственного шума
N-J
J
Подпространство внешних
источников шума
39

40.

Другой метод представления обратной КМ
Метод основан на свойствах характеристического и минимального многочленов КМ
Характеристический многочлен:
(1)
N ( ) det( I M) N 1 N 1 2 N 2 ... N
Теорема Гамильтона – Кэли: произвольная матрица М удовлетворяет своему
характеристическому многочлену, то есть N(М)=[0] или
(2)
M N 1M N 1 2M N 2 ... N I [0]
Если КМ М имеет кратные собственные числа, то существует минимальный
многочлен, который также является аннулирующим для КМ М.
Он является делителем характеристического многочлена, имеет наименьшую степень
и единичный коэффициент при старшем члене.
40

41.

Покажем, что КМ М имеет минимальный многочлен и его степень связана с числом
внешних источников шума. Считаем, что 2=1, волновые фронты являются плоскими
1. Один источник шума (J=1)
M I H
Подставим
I
H 2
I
H 2
M2 1M 2I
1I 1 H 2I
I 2 H 2 H H I 2 H 2 N H
I 2 H 2 N H 1I 1 H 2I
1 2 vN ,
2 (1 vN )
2 ( ) 2 1 2
1 1 vN
2 1
Многочлен второй степени является
минимальным многочленом КМ М
Корни минимального многочлена являются
собственными числами КМ М
41

42.

Обратную КМ можно представить в виде
линейной комбинации матриц I и М
M 1 c0I c1M
c0
1 2 vN
1
1
; c1
2 1 vN
2
1 vN
2. Два некоррелированных источников шума (J=2).
Линейно независимыми являются первые три матрицы I, М и M2, то есть
M3 1M 2 2M 3I
M I 1 1 1H 2 2 2H
1 3 ( 1 2 ) N
2 [3 2 1 2 N 1 2 N 2 (1 g12 )]
2
3 1 1 2 N 1 2 N 2 (1 g12 )
2
M
1
c0I c1M c2M
2
c0
2
1
, c1 1 , c2
3
3
3
42

43.

3. Произвольное число J некоррелированных источников
N
(M ) ( i )U i U iH
i 1
M 1 c0I c1M c2M 2 ... cK 1M K 1
Число К неравных между собой собственных чисел удовлетворяет условию К J+1.
В подпространстве собственного
шума имеется одно собственное
число кратности N-J.
Число неравных
между собой
собственных чисел
меньше или равно J
N-J
J
43

44. Лекции 4-5. Методы оптимальной пространственной обработки сигналов в антенных решетках

- При оптимальной обработке считается, что вектор полезного сигнала S и
корреляционная матрица M собственного шума и внешних помех известны точно.
- На практике это условие обычно не выполняется.
- Исследование методов определения оптимального весового вектора W имеет
большое значение для изучения адаптивных методов обработки сигналов, когда КМ
шума M оценивается с помощью конечного числа выборок шума.
- Методы определения оптимального весового вектора W отличаются выбором
базисных векторов в N-мерном сигнальном пространстве.
- Будем рассматривать четыре базисные системы векторов, состоящие из:
а) собственных векторов КМ шума M;
б) векторов полезного сигнала и внешних источников шума;
в) степенных векторов;
г) суммарно-разностных весовых векторов.
44

45. 1. Метод собственных векторов КМ шума

1
W M S
N
M
1
j 1
N
1
(U Hj S)U j .
j 1 j
W
max
N
1
j
U j U Hj .
max a S H M 1S
2
2
a
H 2
Uj S
j 1 j
Каждое слагаемое представляет собой долю ОСШ,
соответствующую отдельному собственному вектору.
45

46.

1. Сигнал наблюдается на фоне собственного шума АР.
1
1
1
M
I
(1)
2
2
(2)
(3)
(4)
N
U U
j 1
j
H
j
- представление единичной матрицы для
произвольной ортонормированной системы
векторов Uj (j=1 N).
- систему векторов выберем так, чтобы вектор U1
совпадал по направлению с вектором сигнала S.
U1 (S H S) 1 2 S
max
N
2
a
H 2
Uj S
j 1 j
max
a
j 2
2
2
(S H S)
46

47.

2. Сигнал наблюдается на фоне собственного шума АР и одного внешнего
источника шума.
1
1
U1U1H
1
(1)
M 1
(2)
1
1
W 2 (I U1U1H )S (U1H S)U1
1
(3)
max
H
(
I
U
U
)
1
1
2
a
2
2
2
S
H
(I U1U1H )S
2
(4)
H
a S S
S (I
2 H
U2
a
H 2
U1 S
1
U3
U1
UN
ОСШ при
оптимальной
обработке сигнала
2
U1U1H )S 1 U1H S
2
ОСШ при
согласованной
обработке сигнала
47

48.

(1)
Yв ых S в ых X в ых W H aS X W H Y
N
1
(U Hj S)U j .
(2) W
j 1 j
Y aS X
N
1
(S H U j )( U Hj Y)
j 1 j
Yвых
1 H
1
H
Uj X
Ui X
j
i
1
U Hj XX H U i
H
(3)
j i
N
1
H
U j U j U j U i
ji
j i
j 1
H
j
Декоррелятор шума
“Обеляющий” фильтр
48

49.

3. Сигнал наблюдается на фоне собственного шума АР и J внешних
источников шума.
Мощности внешних источников являются достаточно большими.
При этом первые J собственных чисел значительно превосходят значение мощности
собственного шума.
N
(1)
(2)
(3)
(4)
1
(U Hj S)U j .
j 1 j
W
W
N
1
2
(U Hj S)U j
j J 1
J
1 N
1
H
H
2 U jU j S 2 I U jU j S
j J 1
j 1
Y
Yвых (S
S I
j J 1
j 1
2 N
2
J
2
a
a
H
H
H
max 2 U j S 2 S I U j U j S
j J 1
j 1
N
H
U j )(U Hj Y)
H
J
U j U Hj
Считаем,
что 2=1.
49

50.

J
Yвых (S U j )( U Y) S I U j U Hj Y
j J 1
j 1
N
H
H
j
H
Данная обработка сигнала проще, так как не требует знания собственных
чисел, а преобразователь UH имеет меньшее число выходов.
50

51.

J
Yвых (S U j )( U Y) S I U j U Hj Y
j J 1
j 1
N
H
H
j
J
I U j U Hj
j 1
H
Матрица
проектирования на
подпространство
собственного шума
51

52.

2. Метод векторов полезного сигнала и внешних
источников шума
J
M bi (t ) i iH 2I
J i 1
2
H
2
(2)
bi (t ) i i I W S
i 1
2
(1)
MW S
Разделим обе части равенства на 2 и положим, что 2=1. Получим, что
J
H
(3) i i i I W S
i 1
J
(4) W S i xi i
i 1
H
(5) x j j S
(6)
J
2
i bi (t ) 2
xi iH W (i 1, , J )
i xi i , ( j 1, , J )
i 1
J
( ij i Hj i ) xi Hj S,
i 1
- отношение мощности внешнего
шума к мощности собственного
шума в элементе АР
( j 1, , J )
Система J линейных
уравнений для
определения xj
52

53.

J
(1)
H
H
(
)
x
ij i j i i j S,
( j 1, , J )
i 1
Для анализа полученного результата рассмотрим частные случаи
1) Имеется один внешний источник шума с параметрами 1 и Ф1.
(2)
(3)
W S 1x1 1
(1 1N ) x1 1H S
1 1H S
W S
1
1 1N
При 1 , весовой вектор АР слабо зависит от 1.
Пренебрегая этой зависимостью, получаем приближенное выражение
(4)
1 1H
1H S
W S
1 I
N
N
S
53

54.

2) Векторы Ф1, Ф2 ,…, ФJ внешних источников ортогональны, т.е.
(1)
0; (i j )
iH j
N ; (i j )
(2)
iH S
xi
, (i 1 J )
1 i N
i iH S
W S
i
1
N
i
i 1
J
(3)
При больших мощностях внешних источников ( j ), весовой вектор АР слабо
зависит от j. Пренебрегая этой зависимостью, получаем приближенное выражение
H
J
i
i
W S H i I
i 1 i i
i 1 N
J
(4)
iH S
H
J
i
i
S I
N
i 1
S
54

55.

3) Другое простое решение получается тогда, когда векторы внешних источников
шума Ф1, Ф2 ,…, ФJ ортогональны вектору полезного сигнала S, т.е.
iH S 0
J
для всех i.
( ij i Hj i ) xi Hj S,
i 1
Тогда
( j 1, , J )
Система уравнений имеет
нулевое решение,
т.е. xi=0 для всех i.
W S
Оптимальная обработка совпадает с согласованной обработкой.
Это объясняется тем, что внешние источники шума не влияют на прием полезного
сигнала, так как в направлениях на эти источники формируются нули ДН
55

56.

J
( ij i Hj i ) xi Hj S,
( j 1, , J )
i 1
J
Yвых S Y i xi iH Y
H
i 1
В важном случае, когда J<<N, обработка сигналов в существенно упрощается.
Вместо решения системы уравнений размерности N, необходимо решить систему
уравнений размерности J.
Это упрощение обусловлено наличием априорных данных о числе внешних
источников шума и их параметрах i, Фi.
56

57.

3. Метод степенных векторов
(1)
W M 1S
M 1 c0I c1M c2M 2 ... cK 1M K 1
Ранее мы установили, что число К линейно независимых степенных матриц равно
степени минимального многочлена матрицы М и при этом К J+1, где J - число
внешних источников шума.
(2)
W c0S c1MS c2M2S ... cK 1M K 1S
Выясним, чем определяется число линейно независимых векторов степенного базиса.
N
(3)
M j U j U Hj
j 1
(4)
N
( )
N
(M ) ( i )Ui UiH
i 1
(M )S ( i )( UiH S)Ui
i 1
(M)S 0
Посмотрим, в каких случаях этот вектор будет нулевым.
57

58.

N
(1)
(M )S ( i )( UiH S)Ui 0
i 1
( i ) 0
Условие выполняется, когда собственные
числа матрицы М являются корнями
многочлена ( ), т.е. ( ) является
минимальным многочленом матрицы М
U iH S 0
Условие выполняется, если вектор
S имеет нулевые проекции на
некоторые собственные векторы.
- Чтобы выполнялось условие (1), достаточно, чтобы многочлен ( ) имел корнями
только те собственные числа, которые отвечают подпространствам с ненулевыми
проекциями вектора S.
- В этом случае мы получим многочлен, который будет делителем минимального
многочлена и иметь степень К0 К J+1.
- Этот многочлен называется минимальным аннулирующим вектор S многочленом.
58

59.

Рассмотрим вариант обработки с двумя степенными векторами S и МS,
т.е. представим весовой вектор в виде
(1)
W c0S c1MS
MS XX H S
X( X H S)
X(S H X) H
Вектор МS является
корреляционным вектором
H
H
(2) x j (S X) , j (1 N )
S H X sk xk
k
59

60.

В случае одного внешнего источника шума степенной базис из векторов S и МS
является полным.
(1)
W c0S c1MS
(2)
M 2 I b(t ) H 2 (I H )
(3)
MS 2 [S v( H S) ]
2
Вектор МS становится параллельным вектору S в трех случаях:
1 - внешний источник шума отсутствует ( =0);
2 - вектор полезного сигнала S ортогонален вектору источника шума Ф (ФНS=0);
3 - вектор S равен вектору источника шума Ф.
При параллельности векторов S и МS базис, состоящий из этих двух векторов,
вырождается в базис, состоящий только из одного вектора S.
60

61.

Пример использования двух базисных векторов S и МS
Возможность уменьшения числа базисных векторов должна учитываться системой
обработки сигнала, что можно сделать, применяя базисные векторы S и МS.
(1)
(2)
F0 (S H S) 0.5 S,
F1 MF0 0F0 ,
H 0.5
F1,
F1 (F1 F1)
Условие ортогональности векторов F0 и F1
H
F0 F1 F0H MF0
W c0F0 c1F1
Sвых
0 F0H MF0
0 0
2
2
2
X вых
H
a W S
2
W H MW
X вых W H MW c0F0 c1F1 H M c0F0 c1F1
2
(3)
2 2 H 2
a c0 F0 S
c02F0H MF0 2c0c1F0H MF1 c12F1H MF1
ОСШ не зависит от нормировки вектора W. Поэтому
W F0 cF1 !
61

62.

- Обработка сигнала сводится к суммированию входных сигналов АР с
весовыми векторами F0 и F1.
- Вектор F0 обеспечивает когерентное накопление полезного сигнала.
- Вектор F1 в силу его ортогональности подавляет полезный сигнал и
обеспечивает прием шума.
- Такая обработка сигнала интерпретируется, как формирование двух
ортогональных ДН с помощью диаграммообразующей схемы (ДОС).
- Сигналы с выходов ДОС суммируются с действительным весовом
коэффициентом с.
(1)
W F0 cF1
(2)
F0H MF1 (F0H X)(F1H X) H
(3)
W F0 cF1
c (F0H MF1) (F1H MF1)
H
H 2
F1 MF1 F1 X
Функция корреляции шумов,
взятых с двух выходов ДОС
Средняя мощность шума на выходе
ДОС с весовым вектором F1
Вычисление векторов F0 и F1, коэффициента с и весовая обработка сигналов с помощью
вектора W реализуются с помощью простых операций сложения и умножения.
При этом не требуется оценивание и обращение КМ шума, вычисление собственных
чисел и векторов этой матрицы, знание параметров внешних источников шума.
62

63.

(1)
W F0 cF1
c (F0H MF1) (F1H MF1)
Весовой вектор (1) является оптимальным в ситуациях, когда КМ шума имеет два
отличных друг от друга собственных числа с кратностью одного N1 и другого N2, при
условии N1+N2=N.
Пример 1. На входе АР имеется собственный шум и шум одного внешнего источника.
КМ имеет одно собственное число кратности N-1, связанное с подпространством
собственного шума, и другое простое собственное число, связанное с одномерным
подпространством внешнего источника шума.
Пример 2. На входе АР имеются J (2 J N-1) ортогональных источников шума
одинаковой мощности и собственный шум. Условие ортогональности – ортогональность
векторов Фi источников шума (i=1,2,…, N-1).
КМ шума имеет одно собственное число кратности N-J, связанное с подпространством
собственного шума, и другое собственное число кратности J, связанное с
подпространством внешних источников шума.
63

64.

Обобщение на случай произвольного числа базисных векторов
Полученный результат обобщим на большее число базисных степенных векторов
S, MS, M2S, ,MK-1S.
Ортогонализация и нормировка базисных векторов выполняется по следующей схеме:
(1)
(2)
W F0
K 1
cnFn
n 1
F0 S N ,
H 0.5
F1, F1 MF0 0F0 ,
F1 (F1 F1)
F2 (F2H F2 ) 0.5 F2 , F2 MF1 1F1 0F0 ,
.....
F (F H F ) 0.5 F , F MF F F ,
n n
n
n
n 1
n 1 n 1
n 2 n 2
n
0 F0H MF0
1 F1H MF1
n 1 FnH 1MFn 1
0 F0H MF1
n 2 FnH 2MFn 1
Особенность процедуры ортогонализации и нормировки базисных векторов
заключается в том, что каждый вектор с индексом n 2 формируется с использованием
только двух предыдущих векторов.
64

65.

(1)
W F0
K 1
cnFn
Как определить коэффициенты сn?
n 1
Введем в рассмотрение матрицу F=(F1, F2, FК-1), составленную из ортонормированных
векторов-столбцов, и вектор С с компонентами сn.
Тогда (1) принимает вид:
(2)
(3)
W F0 FC
MW S
MF0 MFC S
Умножим уравнение (3) слева на матрицу FH и учтем, что в силу ортогональности
базисных векторов FHS=0. Тогда получим матричное уравнение для вектора С
(4)
F H MFC F H MF0
Матрица FHMF является КМ шумов на вспомогательных
выходах ДОС.
Каждый компонент вектора FHMF0 дает величину
взаимной корреляции шумов, взятых с основного и
соответствующего вспомогательного выхода ДОС.
65

66.

F H MFC F H MF0
1 1
1 2
0
2
F H MF
0
0
0
0
0
0
2
0
3
0
j
0 j j 1
0
0
0
K 2
Матрица размерности
(K-1) (K-1)
1c1 1c2 0
1c1 2c2 2c3 0
c c c 0
3 3
3 4
2 2
K 2cK 2 K 1cK 1 0
0
0
0
H
; F MF0
0
0
K 2
K 1
0
0
0
0
0
0
Вектор размерности (K-1)
Система уравнений в
развернутом виде
66

67.

Коэффициенты разложения cj можно получить в явном виде
1
1
( j 1)
( j 2)
( j 3)
2
D
D
D
(2)
j 1 K 2 j
j 1 K 3 j
0
K 1 j
( 2)
H
DK 2
F MF
c1 0 (1)
(3)
0
DK 1
0
c1
12
0
(4)
1
22
2
(1)
F H MFC F H MF0
2K 2
K 2
K 1
(5)
(6)
1c1 1c2 0
cj
1
j 1
c2
( j 2c j 2 j 1c j 1),
1 0
2 2
2 3
0
0
0
j
j 1
0 0 j
0 0 0
0
K 2
0
K 2
K 1
0
0
0
0
DK( j 11 ) j
1
0 1c1
1
( j 3,4, , K 1).
67

68.

Обозначим:
0 - ОСШ на основном выходе ДОС (согласованная обработка),
max - ОСШ на выходе всей системы (оптимальная обработка).
Выигрыш в ОСШ равен
(1)
max
0
1
02,1
1
1
12, 2
1 2K 2, K 1
(2)
j , j 1
j
j j 1
Коэффициент корреляции
шумов в соседних j-ом и
(j+1)-ом вспомогательных
выходах ДОС
F jH MF j 1
F jH MF j F jH 1MF j 1
68

69.

На практике число вспомогательных выходов ДОС можно выбрать меньше размера
базиса для уменьшения вычислительной сложности алгоритма обработки сигнала.
Соответствующая обработка называется квазиоптимальной.
Оценим эффективность оптимальной и квазиоптимальной обработки с разным
числом вспомогательных выходов ДОС.
(1)
max
0
1
02,1
1
1
12, 2
1 2K 2, K 1
Рассмотрим 16-элементную (N=16) и 27-элементную (N=27) линейные АР с периодом
d=0.5 .
В области вне главного луча ДН основного канала ДОС зададим J источников шума.
Угловая координата каждого из них - случайная величина, равновероятно распределенная
в указанной области углов.
Максимальное число вспомогательных выходов ДОС равно числу J источников.
Мощность собственного шума считаем единичной, а мощности источников vi=v=100.
69

70.

Средняя эффективность
оптимальной обработки
Потери в ОСШ при
квазиоптимальной обработке.
-0.75дБ
Число элементов
АР
Число источников шума
2
4
8
15
32
16
15,9 15,4 13,7 10,1
2,1
27
26,9 26,0 23,7 22,2 15,8
-0.46дБ
-1.7дБ
-2.8дБ
1
1
N=16
N=27
70

71.

4. Метод суммарно-разностных весовых векторов
(1)
W F0 FC
2
(2)
F
H
0
H
0
a F S
H
2
FC M F0H FC
Sвых
2
2
2
X вых
H
a W S
2
W H MW
- Матрицу F=(F1,F2, ,FN-1) в (1) можно составить
из любого другого набора линейно независимых
векторов-столбцов из подпространства,
ортогонального вектору полезного сигнала F0.
- Эти векторы не обязательно взаимно
ортогональны.
- Максимальное их число равно N-1, хотя на
практике может использоваться меньше.
Автокомпенсатор,
обеспечивающий минимум
выходной мощности шума.
71

72. Формирование разностных весовых векторов

Ограничимся случаем линейной эквидистантной АР.
Источник полезного сигнала находится в направлении 0.
Компоненты вектора F0 S N даются выражением
(1)
S n ( 0 )
1
2
exp j (n 1)d sin 0 ;
N
n (1 N )
Имеем, что
Из N элементов АР выберем два произвольных элемента с номерами n и m.
Зададим весовые коэффициенты так, чтобы выполнялись условия:
(2)
wn Sn ( 0 ) wm
Sm ( 0 ) 0
(3)
wn
2
2
wn wm 1
1
1
2
; wm
exp j (m n)d sin 0
2
2
Общее число разностных выходов равно 0.5N(N-1), но число линейно независимых
вариантов равно N-1.
Пример матрицы
F=(F1,F2, ,FN-1):
1
a
1 0
F
2
0
0
0
1
a
0
0
0
0
0
1
0 a
0
0
0
0
0
;
0
1
a
2
a exp j d sin 0
72

73.

Каждому столбцу этой матрицы,
используемому как весовой вектор АР,
соответствует ДН с нулем в угловом
направлении 0.
Полезный сигнал не проходит на
разностные выходы ДОС.
Формируя линейные комбинации
столбцов этой матрицы, получим
разностные выходы ДОС с различными
характеристиками.
1 – ДН суммарного канала;
2 – ДН разностного канала (n=1, m=3);
3 – ДН разностного канала (n=1, m=10)
73

74.

- Если полезный сигнал приходит не только с углового направления 0, а наблюдается
и в некоторой окрестности этого угла, к формированию разностных выходов ДОС
предъявляются более жесткие требования, чтобы дополнительно ослабить полезный
сигнал на этих выходах.
- В противном случае адаптивный компенсатор АК искажает полезный сигнал.
- В качестве дополнительного ограничения потребуем, чтобы производная ДН
разностного выхода также была равна нулю в направлении 0.
- Из N элементов АР выберем три произвольных элемента с номерами n, m и k.
- Зададим весовые коэффициенты таким образом, чтобы выполнялись условия:
wn S n ( 0 ) wm S m ( 0 ) wk S k ( 0 ) 0,
(1)
(2)
dS n ( )
dS ( )
dS ( )
wn
wm m
wk k
0.
d
d
d
0
S n ( 0 )
1
2
exp j (n 1)d sin 0 ;
N
n (1 N )
74

75.

(1)
wn S n ( 0 ) wm
S m ( 0 ) wk S k ( 0 ) 0,
n 1 wn S n ( 0 ) m 1 wm S m ( 0 ) k 1 wk S k ( 0 ) 0.
Один из коэффициентов можно выбрать произвольно, например, wn=1.
Другие два коэффициента найдем решая совместно два уравнения.
Затем нормируем весовые коэффициенты.
В результате получим
wn
(2)
wm
wk
k m
k m
2
n k m n
2
2
n k
k m 2 n k 2 m n 2
m n
k m 2 n k 2 m n 2
,
2
exp j (m n)d sin 0 ,
2
exp j (k n)d sin 0 .
Для примера рассмотрим базис, который получается, когда выбраны три элемента с
номерами m=n-1, k=n+1, а n принимает произвольное значение в интервале от 2 до N-1.
75

76.

wn
(1)
(2)
2
,
6
1
2
exp j d sin 0 ,
6
1
2
wn 1
exp j d sin 0 , n 2,3, , N 1.
6
wn 1
a
2
a
1
F
0
6
0
0
0
a
2
a
0
0
0
0
0
a
2
0 a
0
0
0
0
0
0 ,
a
2
a
2
a exp j d sin 0 .
76

77.

ДН основного выхода (кривая 1) и двух разностных выходов при
n=3, m=1, k=5 и n=5, m=1, k=9 (кривые 2 и 3, соответственно)
77

78.

Пример схемы для аналоговой ДОС
Пример представлен для 0=0 и N=6.
Сигналы с элементов АР подаются на делители мощности 1:2, а затем на разностные
устройства первого уровня, которые формируют разностные ДН с нулем в
направлении 0=0.
Разностные устройства второго уровня формируют разностные ДН с нулем и нулевой
первой производной в направлении 0=0.
Синфазный и противофазный входы разностных устройств помечены индексами 0 и .
78

79.

Рассмотрим другой метод формирования разностных выходов ДОС.
Сначала поставим задачу сформировать разностные выходы ДОС с нулевыми
значениями в направлении прихода полезного сигнала.
Для этого построим матрицу проектирования на подпространство, ортогональное
вектору F0, которую можно записать в виде
(1)
I F0F0H
Столбцы этой матрицы - векторы, принадлежащие подпространству, ортогональному
вектору F0.
Число этих векторов равно N, а размерность подпространства равна N-1.
Следовательно, число линейно независимых столбцов в матрице равно N-1.
Их можно выбрать, как базисные векторы для формирования разностных выходов ДОС.
Образуя линейные комбинации базисных векторов получаем весовые векторы
разностных выходов ДОС, образующие ДН с нулями в направлении полезного сигнала.
79

80.

Введем дополнительное ограничение – равенство нулю первой производной ДН
в направлении 0 прихода полезного сигнала.
2
F ( ) wn exp j d (n 1) sin
n 1
N
(1)
(2)
N
dF ( )
2
2
j d cos 0 wn (n 1) exp j d (n 1) sin 0 0
d
n 1
0
Отсюда ясно, что вектор весовых коэффициентов должен быть ортогонален вектору с
компонентами (n 1)S n ( 0 ) , где Sn ( 0 ) - компоненты вектора F0 S N .
Вводя диагональную матрицу с элементами nn=(n-1), этот вектор запишем, как F0.
Оба ограничения будут выполняться, если вектор весовых коэффициентов ортогонален
одновременно векторам F0 и F0.
В общем случае эти векторы не ортогональны, поэтому выполним их ортогонализацию
и нормировку. В результате получим пару ортонормированных векторов F0 и F 0.
80

81.

F0
F0 n
1
F0H 2F0 (F0H F0 )2
[ (F0H F0 ) I]F0
2 3
1
n
1
N
1
S n S n ( 0 ); n (1 N )
2
( N 1))( N 1)
I F0F0H F0 F0 H
Столбцы матрицы – векторы из
подпространства, ортогонального
векторам F0 и F 0.
Число этих векторов – N, а
размерность подпространства –
(N-2).
Поэтому, число линейно
независимых столбцов в матрице
равно N-2.
Столбцы можно считать
базисными векторами,
формирующими разностные
выходы ДОС
ДН основного выхода (1) и разностных выходов с
одним и двумя ограничениями (2) и (3)
81