OFDM-системы связи. Лекции 7-8

1.

Лекции 7-8. OFDM-системы связи
1. Ортогональные многомерные сигналы с частотным сдвигом
sm (t ) Re s0m (t ) exp( j 2 f ct )
s0m (t )
1
km
Ts
2
cos 2 f ct 2 m ft
Ts
0 t Ts , m=1, 2,…, M.
sin Ts m k f j Ts m k f
j 2 m k ft
e
dt
e
T
m
k
f
s
0
km 0 f
2
exp( j 2 m ft )
Ts
Ts
1
Ts
f – минимальный частотный
разнос между поднесущими,
Спектры и временная зависимость
синусоид с ортогональными
частотами
07.01.2020
1

2.

2. Формирование OFDM-сигнала
dk – информационный символ, передаваемый на k–й поднесущей,
n – дискретное время, NF – число точек БПФ.
Передаваемый узкополосный сигнал
(n – дискретное время, NF – размерность БПФ)
1
T
f k k f , f , N F s
Ts
t
s ( n)
s ( n)
NF
1
NF
k 1
1
NF
j 2 kn
d
exp
k N
F
k 1
dk exp( j 2 f k n t )
NF
3. Прием OFDM-сигнала
Принятый низкочастотный сигнал x(n) h(l )s(n l ) z (n)
l 0
z(n) – гауссов собственный шум приемника с нулевым средним и дисперсией
Приемник выполняет прямое БПФ
07.01.2020
gm
1
NF
02
j 2 mn
x
(
n
)
exp
N
F
n 1
NF
2

3.

(1)
(2)
gm gm
gm
(1)
gm
j 2 kl N F 1
j 2 (k m)n
d k h(l ) exp
exp
NF
N F n 1 N F
k 1l 0
NF
j 2 (k m)n
1
km
exp
N
NF
n 1 F
NF
1
NF
Hm
( 2)
gm
( 2) 2
gm
z ( n) z
*
(1)
gm
N F H mdm
j 2 ml
h
(
l
)
exp
NF
l 0
1
NF
j 2 mn
z
(
n
)
exp
NF
n 1
NF
1
NF
j 2 mn
j 2 mq
*
z
(
n
)
z
(
q
)
exp
exp
N
NF
F
n 1q 1
NF NF
(q) 02 nq
07.01.2020
Hm – коэффициент передачи многолучевого канала
на m-й поднесущей
( 2) 2
gm
02
3

4.

ОСШ на m–й поднесущей
m NF
Hm
2
dm
h(l )h (q) P(l ) lq
1
P0 s(n)
NF
2
d k d m d k
m
2
H m
02
*
1
P0
NF
2
2
dm
m 1
dm
2
2
07.01.2020
l
Hm
2
j 2 m(l q)
*
h
(
l
)
h
(
q
)
exp
N
F
l 0 q 0
1
NF
m
dm
2
02
j 2 (k m)n
d
d
exp
k m
NF
k 1m 1
NF NF
km
NF
dm
P(l ) 1
1
NF
P0
0
2
2
d m
2
m P0 02
4

5.

Частотная структура
OFDM-системы связи
Нулевая несущая
Защитные
поднесущие (слева)
1
P0
NF
N used
m 1
dm
2
Поднесущие
данных
N
2
used d m
NF
Пилотные
поднесущие
Защитные
поднесущие (справа)
m
N F P0
N used 02
Информация из конца символа
переносится в защитный интервал
(циклический префикс).
Иначе возникнет помеха между
поднесущими.
Длительность защитного интервала
должна быть больше максимальной
задержки в канале связи
07.01.2020
5

6.

4. Структурная схема OFDM-системы связи
Помехо-
Входной поток
устойчивый
двоичных
кодер
данных
Интерливинг
М-КАМ
модуляция
Вставка
пилотных
поднесущих
Частотно-селективный
канал
Входная
цепь
Выходной поток
двоичных
данных
07.01.2020
Помехоустойчивый
декодер
Деинтерливинг
М-КАМ
демод-ция
Коррекция
канала
ОБПФ
Добавление
защитного
интервала
Выходная
цепь
ЦАП
АЦП
БПФ
Временная и
частотная
синхр--ция
Удаление
защитного
интервала
6

7.

Коррекция канала или эквализация
g m N F H m d m g m( 2)
Вход эквалайзера – выход блока БПФ
2
g m( 2) 02
Задача эквалайзера – восстановить спектр переданного сигнала, искаженного в
частотно-селективном пространственном канале
Выход
эквалайзера
dm f m gm ;
1. Простейший эквалайзер
fm
f m – коэффициент передачи
эквалайзера на m-ой частоте
fm ?
1
NF Hm
dm
gm
g m( 2)
dm
NF Hm
NF Hm
Если на некоторых частотах коэффициент передачи канала неограниченно
уменьшается (например, на m-й поднесущей Hm<< 1), то дисперсия шумовой
составляющей на этой частоте может неограниченно увеличиваться. Это плохо.
2. Эквализация по минимуму среднеквадратической ошибки
Функционал среднеквадратической ошибки
2
2
J d m d m f m g m d m
2
min
J min
fm gm dm
fm
fm
07.01.2020
7

8.

dJ
dfm*
d
dfm*
*
*
*
( f m* gm
dm
)( f m gm dm ) gm
( f m gm dm ) 0
Т.о. сигнал ошибки эквалайзера ортогонален входному сигналу
*
gm
dm
fm
Коэффициент передачи эквалайзера на m-ой частоте
2
gm
fm
*
( 2)
N F H mdm gm
dm
2
N F H mdm
2
N F H m d m 02 ;
2
2
N F H m dm 02 ;
( 2) 2
gm
fm
fm
*
NF Hm
dm
2
2
2
N F H m d m 02
1
NF Hm
- совпадение с простейшим эквалайзером
*
NF Hm
dm
2
02
Если на некоторых частотах коэффициент передачи канала неограниченно
уменьшается (например, на m-й поднесущей Hm<< 1), то дисперсия шумовой
составляющей на этой частоте не может неограниченно увеличиваться. Это хорошо.
07.01.2020
8

9.

6. Пропускная способность OFDM-системы
Пропускная способность количество правильно переданной информации, (бит/сек)
Каждый кластер (фрейм) кодируется и декодируется независимо.
Каждый кластер (фрейм) характеризуется:
Ns – число поднесущих; Nt – число OFDM-символов; Np – число пилотных
поднесущих, kb – уровень модуляции (битовая загрузка символа), Rc – скорость кода.
Структура ресурсного блока (R - пилотные поднесущие)
Параметры ресурсного блока (LTE стандарт):
- число поднесущих Ns=12,
- число OFDM символов Nt=7,
- длительность блока – 0.5 мсек,
- ширина полосы – 180 КГц,
- число пилотных поднесущих Np=4 и Np=12
Коэффициент уменьшения
пропускной способности из-за
пилотных поднесущих:
0.95 (Downlink) и 0.86 (Uplink)
Downlink
07.01.2020
Uplink
9

10.

I cluster Rc kb ( N s Nt N p )
I I cluster NtTs I cluster f Nt
(бит)
(бит/сек)
Th (1 PER) I (1 PER) Rc kb ( N s Nt N p ) f Nt
(бит/сек)
PER вероятность пакетной ошибки
Nt 1
Th (1 PER )Wdata Rc kb
kb 1, Rc 1, ОСШ
07.01.2020
PER 0, Th Wdata
ПС (ОСШ>>1) равна
ширине полосы для
передачи данных
10

11.

7. Эффективная пропускная способность OFDM-системы
Рассмотрим передачу некодированной информации, а наличие кодера учтем, задавая
максимально допустимое число v ошибочно переданных бит в блоке, которое может
исправить кодер.
Блок считается переданным верно при меньшем или равном v числе ошибочных бит.
Вероятность, что в блоке из n бит имеется j ошибочно
pn( j ) Cnj BER j (1 BER)n j
и (n-j) правильно детектированных бит
(бит/Гц сек)
j
C n - число сочетаний из n по j.
Вероятность правильной передачи блока
v
C
j 0
j
n
BER j (1 BER ) n j
Вероятность блоковой ошибки
BLER 1
v
Cnj BER j (1 BER) n j
j 0
Th (1 BLER)
(бит/Гц сек)
07.01.2020
kb Rc ( N s Nt N p )
N s Nt
Эффективная ПС при QPSK модуляции
Rc 1, N s 5, Nt 5
11

12.

8. Некоторые сведения о преобразованиях Фурье
8.1. Дискретное преобразования Фурье (ДПФ)
- прямое ДПФ
Докажем, что обратное ДПФ
Доказательство:
12

13.

Обозначим
Прямое и обратное ДПФ
13

14.

8.2. Матричная формулировка ДПФ
Введем N-мерные векторы
Введем матрицу
размерности N N
Прямое и обратное ДПФ в матричной записи:
14

15.

8.3. Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Введем новые обозначения:
Выше мы использовали обозначения X(k) и W без нижнего индекса N, показывающего
длину последовательности.
Предположим, что длина преобразуемой
последовательности – целая степень 2
Идея БПФ:
WN e j 2 N
15

16.

Или в краткой форме:
CN/2(k) и HN/2(k) – ДПФ размерности N/2, включающие
четные и нечетные n, соответственно
GN 2 (k )
H N 2 (k )
( N 2 ) 1
x(2l )W
l 0
lk
N 2
( N 2 ) 1
x(2l 1)W
l 0
lk
N 2
1. N-точечное ДПФ с четным N может быть вычислено через два N/2- точечных ДПФ.
2. Если N/2 четное, то каждое из этих N/2- точечных ДПФ может быть вычислено через
два N/4- точечных ДПФ и так далее.
3. Так как N=2r, то N, N/2, N/4 …. четные числа и процесс закончится 2-точечным ДПФ.
16

17.

8.4. Вычислительная сложность дискретных преобразований Фурье
1. БПФ Каждая стадия имеет N комплексных умножений и N комплексных сложений.
Всего имеется log2N стадий. Полный объем вычислений CFFT N log 2 N
2. ДПФ
Полный объем вычислений
3. Сравнение
4. Пример.
CDFT N 2
Использование БПФ дает выигрыш в
N
раз
log 2 N
N=210 = 1024.
CDFT = 220 106. CFFT =10 1024 104
Использование БПФ дает выигрыш в 100 раз.
17

18.

Частотная и временная синхронизация в OFDM системе
1. Влияние ошибок частотной синхронизации
f fk
sin f
- спектр сигнала, передаваемого на
Sk ( f ) sinc
sinc( f )
,
k-ой поднесущей
f
f
NF
1
gk
x(n) exp( j 2 f k n t ) - прямое БПФ на приемнике при идеальной
N F n 1
синхронизации поднесущих на передатчике и
приемнике
gk
1
NF
NF
x(n) exp[ j 2 ( f k f )n t ]
n 1
- прямое БПФ на приемнике при ошибке f
синхронизации поднесущих на передатчике и
приемнике
Из-за ошибки синхронизации:
- сигнал на k-ой поднесущей
уменьшается,
- появляется помеха между
поднесущими (inter-subcarrier
interference - ISI).
18

19.

Помеха между поднесущими I k
d j S j ( f k f )
j 1, j k
Символ dj, передаваемый на j-ой поднесущей, является случайным.
Поэтому, помеха Ik также является случайной величиной.
При достаточно большом числе поднесущих помеха Ik в соответствие с центральной
предельной теоремой подчиняется гауссовой статистике (гауссов шум с нулевым
средним и дисперсией)
( 2ISI ) k
Имеем
2j S j ( f k f )
j 1, j k
2
( 2j 2 ) - дисперсия передаваемых символов
(не зависит от номера поднесущей)
f
S j ( f k f ) sinc (k-j )
f
f
2
sinc (k-j )
f
j 1, j k
2
Тогда ISI
2
Дисперсия помехи между поднесущими
для размерности БПФ 64, 512 и 4096
(соответствующие кривые совпадают)
Основной вклад в помеху вносят
только ближние поднесущие
19

20.

Коэффициент уменьшения амплитуды сигнала из-за ошибки синхронизации sinc( f f )
sinc( f f ) 2
~
Эквивалентное ОСШ k k
k 2ISI 2
~
k
sinc( f f ) 2
2ISI
( k – ОСШ при идеальной
синхронизации при f=0)
При неограниченном увеличении ОСШ k, или при
неограниченном увеличении мощности передатчика,
эквивалентное ОСШ стремится к конечному пределу
Пример. 4-ФМ сигналы единичной мощности
dk
( 1 j )
2
Среднее значение <dk>=0, дисперсия 2 =1
Относительная ошибка синхронизации f f 0.25
Максимально достижимое ОСШ 13.5 дБ.
Относительная ошибка синхронизации f f 0.1
Максимально достижимое ОСШ 32 дБ.
20

21.

2. Влияние ошибок временной синхронизации
Ошибка синхронизация по времени не приводит к появлению помехи между
поднесущими.
Однако если область времени, на которой выполняется БПФ на приемнике, захватывает
выборки из двух последовательных символов, то появляется межсимвольная помеха.
Свойство преобразования Фурье: сдвиг t по времени приводит в спектре сигнала к
дополнительному фазовому множителю exp(j2 f t )
Фазовый сдвиг между соседними поднесущими будет составлять
2 f t
Если t=m t, где t – интервал времени между выборками, то 2 m N F
Поворот фазы происходит к соответствующему повороту диаграммы отображения
бит в символы, что приводить к ошибкам при демодуляции передаваемых данных.
Величина ошибки демодуляции зависит от типа модуляции
21

22.

3. Совместное влияние ошибок синхронизации
Предположим теперь, что имеются ошибки синхронизации по частоте ( f) и времени ( t)
Помеху между поднесущими можно учесть
добавляя к дисперсии собственных шумов
дисперсию помехи между поднесущими
2ISI 2
f
sinc
(
k-j
)
f
j 1, j k
Если ошибок синхронизации нет, то в результате прямого БПФ,
выполняемого на приемной стороне, сигнал на m-ой поднесущей gm
(zm – гауссов шум с нулевым средним и дисперсией 2
2
N F H m d m zm
0
При наличии ошибок
синхронизации
(k )
(k ) (k )
(k )
gm
NF Hm
d m sinc( f f ) exp( j m( k ) ) zm
,
m( k ) 0 2 f (kTs 0.5 N F t t ) 2 t (m f ).
0 смещение фазы на несущей частоте, верхний индекс k обозначает
номер OFDM символа.
f m f 0 m f
Считается, что поднесущие частоты расположены симметрично
относительно центральной частоты
m N F 2 ... N F 2
m 0
22

23.

(k )
(k ) (k )
(k )
gm
NF Hm
d m sinc( f f ) exp( j m( k ) ) zm
,
m( k ) 0 2 f (kTs 0.5 N F t t ) 2 t (m f ).
Имеем из формулы, что
- имеется общий поворот фазы сигнала на всех поднесущих из-за частотного
смещения f и смещения 0 фазы на несущей частоте (первые два слагаемых)
- общий поворот фазы увеличивается с увеличением номера k OFDM символа
(слагаемое 2 fkTs )
- частотное смещение f приводит к ослаблению сигнала на всех поднесущих
(множитель sinc( f f ) ), а также к появлению помехи между поднесущими
- ошибка t синхронизации по времени (то есть ошибка определения стартового
положения OFDM символа) приводит к прогрессивно нарастающему фазовому
повороту, пропорциональному номеру m поднесущей (последнее слагаемое)
Обозначим t t t ( t – временное расстояние между выборками)
Фазовый поворот (например, на 90 ) будет достигаться, если
2
m t
NF
2
t
NF
4m
Т.о. фазовый сдвиг 90 на первой поднесущей соответствует ошибке синхронизации
по времени равной 32 выборкам при использовании 128 поднесущих.
На поднесущих с большими номерами фазовый сдвиг увеличивается
пропорционально номеру поднесущей.
Если ограничить 90 фазовый сдвиг крайних поднесущих (m=0.5NF), то ошибка
синхронизации t не должна превышать величины 0.5 t.
23

24.

4. Символьная синхронизация «вслепую»
Защитный интервал (циклический префикс) в последовательности передаваемых OFDM
сигналов дает возможность выполнять символьную синхронизацию без специальных
синхросигналов (синхронизация «вслепую»).
Схема
символьной
синхронизации
Пусть x(n) – n-ая выборка принятого сигнала. OFDM-символ состоит из N+M выборок.
Часть выборок (M выборок) из хвостовой части каждого символа переставляется вперед
для образования защитного интервала. Две последовательности выборок, показанных
прямоугольниками, являются одинаковыми.
Процедура синхронизации представляет
собой корреляционную обработку сигналов
1
yk
M
k M
x ( n) x ( n N
*
n k 1
F
)
Индекс k означает сдвиг начала окна относительно начала OFDM-символа.
24

25.

А) В канале нет задержанных сигналов (однолучевой канал).
Считаем коэффициент h передачи канала постоянным на рассматриваемом интервале
двух OFDM-символов.
Пусть s(n) – n-ая выборка предаваемого сигнала.
Тогда n-ая выборка комплексной амплитуды принятого сигнала x(n)=hs(n)+z(n),
2
где z(n) – гауссов собственный шум приемника с нулевым средним и дисперсией 0
Начало окна совпадает с началом OFDM-символа (k=0).
Пренебрегаем собственным шумом.
В левую часть окна попадают 1,2,…,M выборки, а в правую часть окна – NF+1, NF+2,
…, NF +M выборки.
1 M
y0
hs (n) h* s * (n N F )
Сигнал на выходе схемы синхронизации
M n 1
Учтем, что
s ( n N F ) s ( n)
(n=1,2,…,M)
Получим
1
y0
M
M
hs(n)
2
n 1
25

26.

Начало окна сдвинуто на k-выборок вправо.
В левую часть окна попадают k+1, k+2,…, k+M выборки, а в правую часть окна –
k+NF+1, k+NF+2,…, k+NF+M выборки.
Учтем, что s (n N F ) s (n)
Получим
1
yk
M
(n=1,2,…,M)
M k
1
hs
(
n
)
h
s
(
n
N
)
F
M
n k 1
* *
M
1
hs
(
n
)
M
n k 1
2
M k
h s ( n) s * ( n N F )
2
n M 1
(k=1,2,…, M-1)
Приближенно имеем:
k
2
2
s
(
n
)
h
1
,
yk
M
0,
k 0,1,2,..., M 1,
k M,
Отклик на выходе схемы синхронизации имеет треугольный вид.
Величину s (n) 2 можно трактовать как среднюю мощность на входе приемной
антенны, которая пропорциональна мощности передатчика.
Поэтому высота треугольника пропорциональна мощности передатчика.
Ширина треугольника (по нулевому уровню) равна удвоенному числу выборок в
защитном интервале.
26

27.

Результаты моделирования (однолучевой канал)
Выходной сигнал процедуры синхронизации с учетом собственных шумов
Защитный интервал состоит из M=16 символов,
размерность БПФ NF=64,
ОСШ=30 дБ,
кружки – истинное начало символов,
крестики – полученная оценка,
ось х – номер выборки
вертикальные линии – начало защитного интервала
1
0.9
0.8
0.7
Пики функции корреляции
точно указывают начало
защитного интервала
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
81
161
241
321
27

28.

Средняя ошибка (слева) и СКО синхронизации (справа) в зависимости от ОСШ (дБ)
5
1
4
0.8
3
0.6
8
0.4
16
0.2
0
0
5
8
2
10
16
1
15
20
25
30
0
0
5
10
15
20
25
Защитный интервал состоит из M=8 или M=16 символов
Ошибки уменьшаются с увеличением ОСШ и длины защитного интервала.
При ОСШ больше 12 дБ средняя ошибка 0.3 выборки, а СКО 1.5 выборки.
30

29.

Приемник выполняет прямое БПФ, которое принимает вид
gm
j 2 mn
x
(
n
)
exp
N
N n n0 1
1
N n0
n0 – ошибка синхронизации,
выраженная в числе выборок.
Слагаемые с индексом n0+1<n<N выборки из
первого OFDM-символа, а слагаемые с индексом
N<n<N+n0 – выборки из второго OFDM-символа
1
Тогда g m
N
j 2 mn 1
x (n) exp
N
N
n 1
N
(1)
x (1) (n),
x ( n) ( 2 )
x (n),
j 2 mn 1
x (n) exp
N
N
n 1
n0
(1)
n0 1 n N
N n N n0
N n0
j 2 mn
x ( 2) (n) exp
zm
N
n N 1
Так как n0<<N, то пренебрегаем вторым слагаемым. Тогда ОСШ на m-ой поднесущей
2
h(0) d m(1)
2
m
02 B
2
2
Имеем, что дисперсия
07.01.2020
h(0) P0
02 B
2
1
B
N
2
1
B
N
N n0
j 2 mn
( 2)
x
(
n
)
exp
N
n N 1
N n0 N n0
j 2 m(n q)
( 2)
( 2 )*
x
(
n
)
x
(
q
)
exp
N
n N 1 q N 1
29

30.

Канальный коэффициент h(0) одинаков
2
2
( 2)
( 2)*
( 2)
для первого и второго OFDM-символов. x (n) x (q) h(0) s (n) nq h(0) P0 nq
Разные выборки OFDM-символа
статистически независимы
s ( 2) (n) - n-ая выборка второго OFDM-символа
2
Имеем
h(0) P0 n0
B
N
2
h(0) P0
h(0) 0
ОСШ не зависит от номера поднесущей
n
n
2
2
02 0 h(0) P0 1 0 h(0) 0
N
N
2
При увеличении мощности передатчика ОСШ
стремится к пределу, который не зависит от мощности
07.01.2020
2
0 P0 02
N
n0
30

31.

Результаты моделирования (7-ми лучевой канал, лучи одинаковой мощности)
Выходной сигнал процедуры синхронизации с учетом собственных шумов
Защитный интервал состоит из M=16 символов,
размерность БПФ NF=64,
ОСШ=30 дБ,
кружки – истинное начало символов,
крестики – полученная оценка,
ось х – номер выборки
вертикальные линии – начало защитного интервала
1
0.9
0.8
0.7
Имеется ошибка в оценке
времени начала защитного
интервала
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
81
161
241
321

32.

Средняя ошибка (слева) и СКО синхронизации (справа) в зависимости от ОСШ (дБ)
3
8
5
2.5
16
2
4
8
1.5
3
1
2
0.5
1
0
0
5
10
15
20
25
30
0
0
16
5
10
15
20
25
30
Защитный интервал состоит из M=8 или M=16 символов
Из сравнения графиков следует, что с увеличением длины импульсной
характеристики ошибки значительно увеличиваются.
При ОСШ больше 12 дБ средняя ошибка 2.5-3 выборки, а СКО 2.2-2.8 выборки.

33.

5. Частотная синхронизация «вслепую»
s(n) exp( j 2 f 0 n t )
1. В канале нет задержанных сигналов (однолучевой канал).
Высокочастотная n-ая выборка передаваемого сигнала
Принятый сигнал после демодуляции с учетом ошибок частотной синхронизации
x(n) hs(n) exp( j 2 f 0 n t ) exp[ j 2 ( f 0 f )n t ] hs(n) exp( j 2 f n t )
Максимальный сигнал на выходе схемы синхронизации
1 M
y0
hs (n) exp( j 2 f n t ) h* s * (n N F )hs (n) exp[ j 2 f (n N F ) t ]
M n 1
~
y0 exp( j 2 f N F t )
Учли, что
s ( n N F ) s ( n)
N F t TS 1 / f
Измеряем фазу
(n=1,2,…,M)
Обозначили
1
~
y0
M
M
hs(n)
n 1
y0 ~
y0 exp( j 2 f / f )
2 f / f
Находим относительную ошибку синхронизации
Находим статистические свойства ошибки частотной синхронизации
2. В канале имеются задержанные сигналы (многолучевой канал).
Рассматриваем этот случай
07.01.2020
33
2

34.

6. Синхронизация на основе пилотных сигналов
Пусть на m-ой поднесущей k-го OFDM символа передаются известные данные
(пилотная поднесущая).
Имели ранее, что
d m(k )
(k )
(k ) (k )
(k )
gm
NF Hm
d m sinc( f f ) exp( j m( k ) ) zm
,
m( k ) 0 2 f (kTs 0.5 N F t t ) 2 t (m f ).
Или
~ (k ) (k ) (k )
(k )
gm
NF Hm
d m zm
~ (k )
(k ) (k )
Hm
Hm
dm sinc( f f ) exp( j m(k ) )
~ ( k )
Hm
(k )
gm
N F d m( k )
~ (k )
Hm
(k )
zm
N F d m( k )
- эквивалентный коэффициент
передачи на m-ой поднесущей
- оценка эквивалентного коэффициента
передачи с учетом ошибок синхронизации
34