Задачи с параметрами

1.

Задачи с параметрами
Цель данного курса - показать учащимся разнообразие задачи по
теме, задачей которого является научить методам решения таких
задач на основе часто встречаемых типов. Курс рассчитан на
последовательное изучение его, начиная с 8 класса, так в I
полугодие учащимся 8 классов можно предложить изучение:
- Линейные уравнения, системы уравнений, неравенства,
содержащие параметры.
В 9 классе :
- Квадратные уравнения и неравенства. Системы уравнений и
неравенств второго порядка.
В 10 классе:
- Иррациональные уравнения и неравенства;
- Показательные и логарифмические уравнения и неравенства;
- Тригонометрические уравнения и неравенства.
В 11 классе:
- Применение производной;
- Графический метод решения и метод решения относительно
параметра;
900igr.net

2.

Тематический план
Тема
Количество часов
§ 1. Линейные уравнения,
5ч
§ 2. Системы линейных уравнений
5ч
Задачи, предлагаемые на экзаменах
§ 3. Линейные неравенства
5 ч.
Зачет
2 ч.
Итого:
17 ч.

3.

§ 1. Линейные уравнения
Определение:
Уравнение вида (1) А * Х = В,
где А, В - выражения, зависящие от параметров,
Х - неизвестное, называется линейным уравнением с
параметрами.
Схема исследования:
Если А=0, В0, то имеем 0 * Х = В, уравнение не имеет решений.
Если А=0, В=0, то 0 * Х = 0, уравнение имеет решением множество
всех действительных чисел.
Если А0, В - любое, то уравнение имеет единственное решение .
Замечание:
Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала
нужно привести его к стандартному виду (1) и только после
этого проводить исследование.

4.

П 1.
Для всех значений параметра К решить
уравнение (К+4)*Х=2К+1.
Решение:
Уравнение записано в стандартном виде.
Если К+4=0, т.е. К=-4, то уравнение имеет вид
0 * Х = -7, т.е. не имеет решений: х Ø.
Если К+4 0, т.е. К -4, то уравнение имеет
единственное решение
2К 1
х
К 4
Ответ: если К=-4, то х Ø, если К
-4, то
2К 1
х
К 4

5.

Для всех значений параметра а решить уравнение
3
1
*
х
3
а
4
0
а
4
Решение: Запишем уравнение в стандартном виде
3
1
*
х
4
3
а
а
4
3
а 1 0
4
4
а
3
1. Если
, т.е.
, то имеем 0 * Х = 0,
решением является множество действительных
чисел: х
4 3
а
4
х
4
2. Если а , то
3
а 1
3
4
4
Ответ: Если
, то х
,
а
3
Если
а
4
3
, то х=-4.

6.

р 1
*х р 1
Для всех значений параметра решите уравнение:
2
3
Решение:
2
р
если 1 0 , т.е. при р=1 уравнение
имеет вид 0 * Х = 2, следовательно,
х Ø, при р=-1, уравнение имеет вид
0 * Х = 0, следовательно, х
.
р
1
р
1
р
р
1
р
р
1
х
р
1
если
, то р
р
1
р
1
р
1
1
Ответ: если р=1, х Ø; если р=-1, х ;
р
1
если р 1 , х р р
.
1
3
2
2
2
2

7.

Для всех значений параметра решить
а
3
а
2
уравнение:
2
а х
а
1
Решение:
При а = -1 уравнение не имеет смысла, поэтому оно
при а = -1 не имеет решения: х Ø.
При а -1, то уравнение равносильно системе:
а
а
1
2
а
х
3
а
2
2
а
х
0
2
3
а
2
*
х
5
а
5
а
3
а
2
*
х
2
а
3
а
2
а
а
1
х
2
а
х
2
а

8.

2
если 3а-2=0; т.е. а , то уравнение имеет вид
3
10
0*Х=
, х Ø.
9
2
если а
то
3
5
а2 5
а
х
теперь найдем те
3
а 2
значения параметра а, при которых х = 2а, т.е.
система не имеет решения.
а 2 а 0
5а 5а
Имеем:
2а
2
а
3а 2
3
2
а 1
а 0
Следовательно, при а = 0 или
а = - 1 исходное
2
уравнение также как и при а 3 не имеет решения.

9.

Ответ: если
то х Ø
если
2
а 1
;0; ,
3
2 , то
а 1
;0;
3
5а2 5а
х
3а 2

10.

Для всех значений параметра а решить
уравнение:
1
2
х
2
а ах
1
Решение: уравнение равносильно системе:
2 х 4а ах 1
х 2а
1
х
а
а 2 * х 1 4а
х 2а
1
х
а
если а=2, то 0 * Х = -7, х Ø
если
а 2
, то
1 4а
х
.
а 2

11.

х
Найдем значения параметра, при которых х=2а или имеем
1 4а
а 2 2а
1 4а 1
а 2 а
1 4а 2а2 4а
2
а
4
а
а 2
а 2
Таким образом, если
2а2 1
а 2
а
1
1
а
2
1
а
2
, то исходное
2
уравнение также не имеет решения.
1 1
Ответ: а
; ;2
, то х Ø;
2 2
1 1
а
; ;2
, то
2 2
1 4а
х
а 2
.
1
а

12.

При каких значениях параметра а уравнение
2
2
*
а
1
х
а
2
а
3
имеет единственное решение, принадлежащие
лучу 1; .
Решение:
2
а
1. 1 0,
а 1
.
Если а = 1, то 0 * Х = - 4, х Ø
Если а = - 1, то 0 * Х = 0,
х
Условия задачи не выполняются

13.

если а 1 , то х
х 1;
а 3
по условию задачи
а 1
а 3
1
а 1
2 а 2
0
а 1
2;
а
;1
Откуда
из
найденного
множества значений а
надо исключить
а = -1,
Ответ:
а
;
1
1
;
1
2
;

14.

П 7.
При каких значениях параметра а и в уравнение
2
а
в
1
*
х
2
а
в
3
0
имеет не менее двух различных решений.
Решение:
Если линейное уравнение имеет 2 и более решений,
то оно имеет бесконечное множество решений.
1
Значит,
.
а
2а в 1 0 2а в 1 4а 2
2
в 2
2в 4
2а в 3 0 2а в 3
1
Ответ: при а
2
,
в 2
.

15.

П 8.
При каких значениях параметра а и в
уравнение
не имеет решений.
2
*х а в
а
в
1
Решение:
2а в 0 в 2а
а в 1 0 в 1 а
в 2а
а 1
в
а
2
в 2
в
Ответ: при а 1 в 2а , (или а
2
.
в 2 ,)

16.

Задачи для самостоятельного решения
1. Решить уравнение
5
р
1
*
х
25
р
10
р
1
0
2

17.

Решение:
5
*
5
р
1
х
р
1
2
Если 5р + 1 = 0, т.е.
Если
1
р
5
1, то х = - 5р – 1.
р
5
, то 0 * Х = 0,
х

18.

Решить уравнение ах – а = х – 1.
Решение:
Х * (а - 1) = а – 1.
Если а – 1 =0, т.е. а = 1, 0 * Х = 0,
Если а 1
х
, то х = 1.
Ответ: Если а – 1 =0, то
Если
х
а 1 , то х = 1.

19.

. Решить уравнение
р
*
4
х
р
р
2
2
2
Решение: р2 4 0 р 2
если р = 2, то 0 * Х = 4, х Ø
если р = - 2, то 0 * Х = 0, если , то х ,
р 1
,
р 2 , то х
если
р р 2 0
2
р 2
1 3
р .
2
Ответ: если р = 2, х
р 2
р 1
Ø; если
если р 2
р = - 2,
х
р 1
р 2
2
р
р
р
р
2
2
1
х

20.

. Решить уравнение
р
*
1
х
р
2
р
1
0
2
2
р
1
*
х
р
2
р
1
р
1
2
2
2
р2 1 0 р 1
если р = 1, то 0 * Х = 0,
если р = - 1, то 0 * Х = 4, х
р 1
р 1 х
р 1
х ,
Ø
.
х
Ответ: если р = 1,
если р = - 1, х Ø;
р 1 х р 1
р 1

21.

Решить уравнение
m
*x
3
m
2
p
0
,
m
*x
3
m
2
p
,
,
1. если
m 3 0 т.е. m 3
то 0 * Х = - 3 – 2р, причем, если – 3 – 2р = 0, т.е.
или
3
р , то 0 * Х = - 3 – 2р х
2
Ø.
3, то 0 * Х = 0,
p
2
х
m 2p
m 3
2 .если m 3 , то x
3
Ответ: еслиm 3 p 2 х ,
3
если m 3 р
, х Ø; если ,
2
m 2p
m 2p
х
x
3 m
m 3
m 3

22.

Системы уравнений
П. 1. Определение
Система А
,
х В
С
1
1у
1
А
В
С
2х
2у
2
Где А1 , А2 , В1 , В2 , С1 , С 2 - выражения,
зависящие от параметров, х, у –
неизвестные, называется системой двух
линейных алгебраических уравнений с
двумя неизвестными в параметрах.

23.

Если А1 , А2 , В1 , В2 системы зависят
от нескольких параметров, то
исследовать систему удобно с помощью
определителей системы:
А В1
= А В
= А1 В2 - В1 А2
,
1
2
х =
2
С1
В1
С2
В2
А1 С1
У = А2 С 2
= С1 В2 - В1 С 2
,
= А1 С 2 - А2 С1
.

24.

Теорема.
Если главный определитель 0, то
система имеет единственное решение,
определяемое по правилу Крамера:
х
х=
,
у
у=
.
0 и хотя бы один из вспомогательных
определителей
у не равен нулю, то система не имеет
х или
решений.
х = У=0
В случае
систему надо исследовать дополнительно
=
Если
=
При этом, как правило, система сводится к одному
линейному уравнению.

25.

В случае = 0 часто бывает удобно
исследовать систему следующим
образом:
= 0, найдем
Решая уравнение
конкретные значения параметров или
выразим один из параметров через
остальные и подставим эти значения
параметров в систему. Тогда получим
систему с конкретными числовыми
коэффициентами или с меньшим
числом параметров, которую и надо
исследовать.

26.

Для всех значений параметра а решить систему
уравнений:
ах
3
ау
2
а
3
х
ау
1
Решение:
Из второго уравнения найдем х = 1 – ау, и подставим в первое
уравнение: а (1 – ау) – 3ау = 2а + 3 - а (а + 3) у = а + 3.
Возможны случаи:
1) а = 0. тогда уравнение имеет вид 0 * у = 3
у Ø.
Следовательно, при а = 0 система не имеет решений.
у
2) а = - 3. Тогда 0 * у = 0
При этом х = 1 – ау = 1 + 3у.
а
3
1
1
3) а 0, а - 3. Тогда
у
х = 1 – ау = 1 – а =2.
.
Ответ:
Если а = 0, то (х;у) Ø
Если
а = - 3, то х = 1 + 3у, у 1
;
- 3, то х = 2, у =
Если0, а а
а
а
а
3
а
а

27.

Для всех значений параметра а решить систему
уравнений:
а
5
х
2
а
3
у
3
а
2
3
а
10
х
5
а
6
у
2
а
4
Решение:
Найдем определители системы
=
а 5
2а 3
3а 10
5а 6
х =
у=
= (а+5) (5а+6) - (2а+3) (3а+10) = а (2-а),
3а 2
2а 3
2а 4
5а 6
= (3а+2) (5а+6) - (2а+3) (2а+4) = а (11а+14),
а 5
3а 2
3а 10
2а 4
= (а+5) (2а+4) - (3а+2) (3а+10) = - а (7а+22).

28.

1). = а (2-а) 0, а 0 и а - 2, тогда
а 14
х а 11
х =
а 2 а
,
а 7а 22
=
а 2 а
7а 22
а 2
2) = а (2-а) = 0 а = 0 или а = 2.
.
При а = 0, определители
х = у = 0.
Тогда система имеет вид:
у=
,
=
11а 14
2 а
у
=
5х 3у 2
5х + 3у = 2
х 6у 4
10
.
х
2 5
у= х
3 3

29.

При а = 2, определитель х 0. этого
достаточно, чтобы утверждать, что
система не имеет решений.
Ответ: если а 0 и
7а 22
у =
;
а 2,
то х =
11а 14
2 а
а 2
Если а = 0, то х , у =
Если а = 2, то (х;у) Ø. ;
2 5
х;
3 3
,

30.

Линейные неравенства
П.1. Определение
Неравенства Ах > B, Ax < B, Ax B,
Ax B, где
А, В - выражения, зависящие от
параметров
а х - неизвестное, называется
линейными неравенствами с
параметрами

31.

Решить неравенство с параметрами - значит для всех
значений параметров найти множество решений
заданного неравенства.
Неравенство вида Ах > B, решается по
схеме:
1) если А > 0, то х > В/А.
2) если А < 0, то х < В/А.
3) если А = 0, то неравенство имеет вид
0 * х > В. При В 0 неравенство имеет
пустое множество решений; при В < 0
решением неравенства будет
множество всех действительных чисел .

32.

Для всех значений параметра а решить
2
неравенство (р - 1) х > р - 1
Решение:
р2 1
1) р - 1 > 0 р > 1, тогда х >
р 1
х > р + 1;
р2 1
2) р - 1 < 0 р < 1, тогда х < р 1
х < р + 1;
3) р - 1 = 0 р = 1, неравенство имеет вид
0*х > 0, х Ø.
Ответ: если р > 1, то х > р + 1; если р < 1, то
х < р + 1; если р = 1, то х Ø.

33.

При каких значениях а и в система
не имеет решений
5х 4у 1
в
3х 2ау
Решение системы сведем к исследованию
линейного уравнения.
Умножив второе уравнение системы на (- 5),
первое на (3) и сложим уравнения:
12у – 10ау = 3 – 5в, у (12 – 10а) = 3 – 5в (1).
Уравнение (1) не имеет решения, если
6
3
12 – 10а = 0 и 3 – 5в 0, т.е. а =
,в .
5
6
3
5
Ответ: а = 5 , в
.
5

34.

При каких значениях а прямые
2х + ау = - 2 и 4х + 3у = 3 пересекаются?
Прямые пересекаются, если система
2
уравнений 2х ау
4х 3у 3
имеет единственное решение.
Первое уравнение умножаем на (- 2) и
сложим со вторым:
- 2ау + 3у = 4 + 3, у( - 2а + 3) = 7.
3
Если – 2а + 3 0, т.е. а , то система
2
имеет единственное решение.
3
Ответ: а
.
2

35.

.
При каких значениях а и в система
ах
5
у
1
6
х
15
у
в
3
уравнений не имеет решений.
Решение:
Первое уравнение умножим на 3 и сложим со
вторым:
3ах + 6х = - 3 + в + 3, т.е. х (3а + 6) = в (2).
Если 0*х = в, то уравнение (2) не имеет
решений, а следовательно, и исходная
система уравнений.
Значит а = - 2, в 0.
Ответ: а = - 2, в 0.

36.

Рецензия
Этот раздел математики является, по большому счету, «абитуриентским»:
считается, что ученик, изучивший школьную программу, сможет перенести
методы решения уравнений и неравенств на уравнения и неравенства с
параметрами. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем,
что даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих
параметры, приходится производить ветвление всех значений параметра на
отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение.
Автор подробно рассматривает методы решения линейных уравнений и
сводящихся к ним уравнений с одним и двумя параметрами, анализирует
подходы к задачам на решение уравнений при всех значениях параметров и на
поиск таких значений, при которых решения уравнений существуют и
удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Рассматриваются системы уравнений с двумя неизвестными, исследовать
которые удобнее всего с помощью правила Крамера. Отдельно выделены
задачи, предлагаемые ЦТ по математике.
Линейные неравенства с параметрами требуют исключительной точности
выполнения преобразований.
В элективном курсе разобрано очень большое количество задач. Особое
внимание уделяется отработке навыков равносильных преобразований и
перебора всех возможных вариантов без исключения.
канд. Физ.-мат. наук, доцент кафедры
естественнонаучных дисциплин ГОУ «ЧРИО» Ярдухин А.К.