ДУ второго порядка

1.

Уравнение вида
F ( x, y, y , y ) 0
называется ДУ второго порядка.
где х – независимая переменная;
у– неизвестная функция;
у' и у"– ее первая и вторая производные.

2.

Будем рассматривать уравнения второго порядка,
разрешенные относительно второй производной:
y f ( x, y, y )
6
Решением ДУ второго порядка называется
функция у=φ(х), определенная на
некотором интервале (a,b), которая
при подстановке ее в уравнение
обращает его в тождество.

3.

Пусть дано ДУ (6). Если функция f(x,y,у') и ее
частные производные f'y и f'y' непрерывны
в некоторой области D пространства
переменных (х,у,у'), то для любой
внутренней точки (х0,у0,у'0) этой области
существует единственное решение
уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям х=х0, у=у0, у‘=у'0

4.

Через заданную точку (х0 ,у0 ) на плоскости ХОУ
проходит единственная интегральная кривая с
заданным значением углового коэффициента
касательной у0' .

5.

y
tg y0
y0
x0
x

6.

Общим решением уравнения (6) в некоторой
области D называется функция
y ( x, C1 , C2 )
удовлетворяющая
этому
уравнению
произвольных значениях С1 и С2.
при
Частным решением уравнения (6) называется
общее решение, взятое при фиксированных
значениях этих постоянных:
y ( x, C , C )
1
0
2
0

7.

Рассмотрим уравнение
y 0
Его общее решение получается при двукратном
интегрировании:
2
d y
0 y dy dx 0 y C1
2
dx
dy
C1 dy C1 dx dy C1 dx
dx

8.

y C1 x C2
Найдем частное решение уравнения при
y x 1 2 y x 1 1
Подставляем в общее решение:
C1 1
2 C1 C2
C1 1
C2 1
Частное решение будет иметь вид:
y x 1