Линейные ДУ второго порядка

1.

Линейным дифференциальным уравнением
второго порядка (ЛДУ) называется
уравнение вида
y p( x) y g ( x) y f ( x)

2.

Где у – искомая функция, p(x), g(x), f(x) – функции,
непрерывные на некотором интервале (a,b).
Если f(x)=0, то уравнение называется
линейным однородным.
Если f(x) не равно 0, то уравнение
называется линейным неоднородным.

3.

Если разрешить это уравнение относительно
второй производной, то оно будет являться
частным случаем уравнения
y f ( x, y, y )
и будет удовлетворять условиям теоремы Коши.
Поэтому для любых начальных условий это
уравнение имеет единственное решение задачи
Коши.

4.

А
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДУ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линейным однородным ДУ второго
порядка называется уравнение вида
y p( x) y g ( x) y 0
7

5.

Пусть функции у1(х) и у2(х) – решения
уравнения (7). Тогда функция
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
тоже будет решением этого уравнения при
любых значениях постоянных С1 и С2.

6.

Найдем первую и вторую производные от этой
функции:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
и подставим их в исходное уравнение (7):
C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) p( x) (C1 y1 ( x) C2 y2 ( x))
g ( x)(C1 y1 ( x) C2 y2 ( x))

7.

C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) p( x) C1 y1 ( x)
p( x) C2 y2 ( x) g ( x) C1 y1 ( x) g ( x) C2 y2 ( x)
C1 ( y1 ( x) p( x) y1 ( x) g ( x) y1 ( x))
C2 ( y2 ( x) p( x) y2 ( x) g ( x) y2 ( x)) 0
(поскольку функции у1 (х) и у2 (х) – решения этого
уравнения).

8.

Ранее
было
введено
понятие
линейной
зависимости векторов. По аналогии можно
ввести
понятие
линейной
зависимости
функций.
Функции у1(х) и у2(х) называются линейно
зависимыми на интервале (а,в), если
существуют такие числа α1, α2, что для
любого х из этого интервала
выполняется равенство:
1 y1 ( x) 2 y2 ( x) 0

9.

Линейно зависимые функции
пропорциональными, т.е.
2
y1 ( x) y2 ( x)
1
оказываются
1
y2 ( x) y1 ( x)
2
Обратное утверждение тоже верно: если две
функции пропорциональны на интервале
(а,в), то они линейно зависимы на этом
интервале.
Если указанное равенство не выполняется, то
функции
будут
называться
линейно
независимыми.

10.

Введем для случая двух функций
y1 y2
W ( x)
y1 y2 y2 y1
y1 y2

11.

Если функции у1 (х) и у2 (х) линейно зависимы
на интервале (а,в), то определитель
Вронского, составленный из них, равен
нулю. Если же эти функции линейно
независимы, то определитель Вронского
отличен от нуля.

12.

Пусть функции у1 (х) и у2 (х) линейно зависимы на
интервале
(а,в).
Тогда
они
будут
пропорциональны, т.е.
y2 k y1 y2 k y1
Следовательно
y1 k y1
y1 y1
W ( x)
k
0
y1 k y1
y1 y1

13.

Вторую часть теоремы докажем от противного:
Пусть функции у1 (х) и у2 (х) линейно
независимы на интервале (а,в). Предположим,
что
W ( x) 0
Тогда его столбцы будут пропорциональны,
следовательно, пропорциональны сами функции,
и тогда функции должны быть линейно
зависимы, что противоречит условию теоремы.
Таким
образом,
если
функции
линейно
независимы, то определитель Вронского отличен
от нуля.

14.

Пусть решения уравнения (7) у1(х) и у2(х) –
линейно независимы на (а,в), тогда
функция
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
где С1 и С2 – произвольные постоянные,
является
общим
решением
этого
уравнения.

15.

Функция
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
является
решением уравнения (7). Нужно
показать, что она представляет собой общее
решение, т.е. что из нее можно выделить
частное решение, удовлетворяющее любым
начальным условиям.
Выберем любые числа
x0 (a, b),
y0 ,
y0

16.

Составим из них начальные условия:
y x x y0
0
y x x y0
0
Подставим в левую часть этих условий функцию
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
Получим систему двух линейных уравнений
относительно неизвестных чисел С1 и С2:
C1 y1 ( x0 ) C2 y2 ( x0 ) y0
C1 y1 ( x0 ) C2 y2 ( x0 ) y0

17.

Определитель этой системы
y1 ( x0 ) y2 ( x0 )
y1 ( x0 ) y2 ( x0 )
есть определитель Вронского.
Поскольку у1 и у2 – линейно независимы, то
W ( x) 0
и система будет иметь единственное решение
C1 C
0
1
C2 C
0
2

18.

Подставляем эти решения в исходную функцию:
y C y1 ( x) C y2 ( x)
0
1
0
2
Получили частное решение, удовлетворяющее
произвольно выбранным начальным условиям.
Следовательно, функция
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
действительно
является
уравнения (7).
общим
решением

19.

1
Установить, будет ли функция
y C1 sin x C2 cos x
общим решением уравнения
y y 0

20.

По теореме это решение будет общим, если
функции
sin x и cos x
являются решением этого уравнения и будут
линейно независимыми.
Проверяем:
(sin x) cos x
(cos x) sin x
sin x sin x 0

21.

(cos x) sin x
( sin x) cos x
cos x cos x 0
Следовательно, данные функции являются
решением этого уравнения. Проверим, будут
ли они линейно независимыми.
Вычислим определитель Вронского:
W ( x)
sin x
cos x
cos x sin x1
sin x ( sin x) cos x cos x 1 0

22.

Следовательно, данные
линейно независимыми.
Таким образом, функция
функции
являются
y C1 sin x C2 cos x
будет общим решением заданного уравнения.

23.

2
Установить, будет ли функция
y C1 e C2 e
2x
3x
общим решением уравнения
y 5 y 6 y 0

24.

По теореме это решение будет общим, если
функции
e
2x
и e
3x
являются решением этого уравнения и будут
линейно независимыми.
Проверяем:
(e ) 2e
2x
2x
2x
(e ) 4e
2x
4e 5 2e 6 e 0
2x
2x
2x

25.

(e ) 3e
3x
3x
(e ) 9e
3x
9e 5 3e 6 e 0
3x
3x
3x
3x
Следовательно, данные функции являются
решением этого уравнения. Проверим, будут
ли они линейно независимыми.
Вычислим определитель Вронского:
W ( x)
e
2x
2e
2x
e
3x
3e
3x
3e e 2e e 0
2x
3x
2x
3x

26.

Следовательно, данные функции
линейно независимыми.
Таким образом, функция
y C1 e C2 e
2x
являются
3x
будет общим решением заданного уравнения.

27.

Б
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДУ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линейным неоднородным ДУ второго
порядка называется уравнение вида
y p( x) y g ( x) y f ( x)
8

28.

Общее решение уравнения (8) состоит
из суммы его частного решения и общего
решения соответствующего ему
однородного уравнения.

29.

Пусть
~
y ( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
- общее решение соответствующего однородного
уравнения (7), и пусть
Y (x )
- какое-либо частное решение неоднородного
уравнения (8).

30.

Сначала покажем, что функция
~
y ( x) Y ( x) y ( x)
является решением уравнения (8).
~
y ( x) Y ( x) y ( x)
~
y ( x) Y ( x) y ( x)
Подставляем в уравнение (8):

31.

~
~
Y ( x) y ( x) p( x) Y ( x) p( x) y ( x)
~
g ( x) Y ( x) q ( x) y ( x) =
Учтем, что
~y ( x) C y ( x) C y ( x)
1
1
2
2
~y ( x) C y ( x) C y ( x)
1
1
2
2
Тогда

32.

Y ( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) p( x) Y ( x)
p( x) C1 y1 ( x) p( x) C2 y2 ( x) g ( x) Y ( x)
=
g ( x) C1 y1 ( x) q( x) C2 y2 ( x)
Y ( x) p( x) Y ( x) g ( x) Y ( x)
C1 y1 ( x) p( x) C1 y1 ( x) g ( x) C1 y1 ( x)
C2 y2 ( x) p( x) C2 y2 ( x) g ( x) C2 y2 ( x)
f ( x)

33.

Таким образом, функция
~
y ( x) Y ( x) y ( x)
является решением уравнения (8).
Теперь нужно показать, что она является общим
решением этого уравнения.
Рассмотрим разность
y ( x) Y ( x)
где у(х) – любое решение уравнения (8). Эта
разность является решением однородного
уравнения
y p( x) y g ( x) y 0

34.

Поскольку
( y ( x) Y ( x)) y ( x) Y ( x)
( y ( x) Y ( x)) y ( x) Y ( x)
Подставляем в это уравнение:
y ( x) Y ( x) p( x) y ( x)
p( x) Y ( x) g ( x) y ( x) g ( x) Y ( x)

35.

y ( x) p( x) y ( x) g ( x) y ( x)
Y ( x) p ( x) Y ( x) g ( x) Y ( x)
f ( x) f ( x) 0
Следовательно, эту разность можно записать в
виде
частного
решения
однородного
уравнения (7):
y( x) Y ( x) C y1 ( x) C y2 ( x)
0
1
0
2

36.

Таким образом, любое решение уравнения (8)
можно получить по формуле:
y ( x) Y ( x) ~y ( x)
путем подбора произвольных постоянных
C1 и C2
Это и означает, что данная функция является
общим решением неоднородного уравнения.

37.

Таким образом, чтобы найти общее
решение неоднородного уравнения (8) нужно
найти общее решение соответствующего
однородного уравнения (7), а затем –
какое-либо частное решение неоднородного
уравнения, и эти решения сложить.

38.

Для
нахождения
частного
решения
неоднородного уравнения используется
Пусть
~
y ( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
- общее решение однородного уравнения (7).
Будем
считать,
что
частное
решение
неоднородного уравнения (8) имеет такой же
вид, но произвольные постоянные С1 и С2 сами
являются функциями от х:

39.

C1 C1 ( x)
Тогда
C2 C2 ( x)
Y ( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x)
Дифференцируем это равенство:
Y ( x) C1 ( x) y1 ( x) C1 ( x) y1 ( x)
C2 ( x) y2 ( x) C2 ( x) y2 ( x)
Положим функции
C1 C1 ( x)
C2 C2 ( x)

40.

такими, что выполняется равенство:
C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) 0
Тогда
Y ( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x)
Находим вторую производную:
Y ( x) C1 ( x) y1 ( x) C1 ( x) y1 ( x)
C2 ( x ) y2 ( x ) C2 ( x ) y2 ( x )

41.

Подставляем
найденные
уравнение (8):
производные
в
C1 ( x) y1 ( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x)
C2 ( x) y2 ( x) p ( x) C1 ( x) y1 ( x)
p ( x) C2 ( x) y2 ( x) g ( x) C1 ( x) y1 ( x)
g ( x) C2 ( x) y2 ( x) f ( x)
Перегруппируем слагаемые с С1(х) и С2(х) :

42.

C1 ( x) y1 ( x) p ( x) y1 ( x) g ( x) y1 ( x)
C2 ( x) y2 ( x) p ( x) y2 ( x) g ( x) y2 ( x)
C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) f ( x)
Так как у1(х) и у2(х) – решения однородного
уравнения (7), то выражения в скобках равны
нулю, следовательно:

43.

C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) f ( x)
Объединим его с равенством
C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) 0
Получаем систему:
C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) f ( x)
C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) 0

44.

Определитель этой системы
y1 ( x) y2 ( x)
y1 ( x) y2 ( x)
есть определитель Вронского.
Поскольку у1(х) и у2(х) – линейно независимы, то
W ( x) 0
и система будет иметь единственное решение
C1 ( x) 1 ( x)
C2 ( x ) 2 ( x )

45.

Интегрируем эти выражения, получим
C1 C1 ( x)
C2 C2 ( x)
Подставляем их в выражение
Y ( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x)
и получаем частное решение неоднородного
уравнения.

46.

Найти общее решение уравнения
y 5 y 6 y x

47.

Рассмотрим однородное уравнение:
y 5 y 6 y 0
Ранее было показано, что его общее решение
~y C e 2 x C e3 x
1
2
Следовательно, частное решение неоднородного
уравнения будем искать в виде:
Y C1 ( x) e C2 ( x) e
2x
3x

48.

Y C1 ( x) e C1 ( x) 2e C2 ( x) e3 x C2 ( x) 3e3 x
2x
Пусть
2x
C1 ( x) e C2 ( x) e 0
2x
3x
Тогда
2x
3x
Y C1 ( x) 2e C2 ( x) 3e
3x
3x
Y C1 ( x) 2e C1 ( x) 4e C2 ( x) 3e C2 ( x) 9e
2x
2x
Подставляем в уравнение:

49.

C1 ( x) 2e 4C1 ( x) e 3C2 ( x) e
2x
2x
3x
9C2 ( x) e 10C1 ( x) e 15C2 ( x) e
3x
2x
6C1 ( x) e 2 x 6C2 ( x) e 3 x x
Получаем:
C ( x) e 2 x C ( x) e3 x 0
1
2
2x
3x
2C1 ( x) e 3C2 ( x) e x
3x

50.

Первое уравнение умножаем на 2 и вычтем
его из второго:
3C2 ( x) e 2C2 ( x) e x
3x
3x
C2 ( x) x e 3 x
Теперь подставляем в первое уравнение:
C1 ( x) e 2 x x e 3 x e3 x 0
C1 ( x) x e
2 x

51.

Интегрируем эти выражения:
x u
dx du
2 x
1 2 x
C1 ( x) x e dx 2 x
e dx dv v e
2
1
1 2 x
1
1 2 x
2 x
2 x
x e e dx x e e
2
2
2
4
1 2 x 1
e x
2
2

52.

x u
dx du
1 3 x
C2 ( x) x e 3 x dx 3 x
e dx dv v e
3
1
1 3 x
1
1 3 x
3 x
3 x
x e e dx x e e
3
3
3
9
1 3 x
1
e x
3
3
При
интегрировании
можно
опустить
произвольные постоянные т.к. мы ищем
любое частное решение уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения
имеет вид:

53.

1 3 x 3 x
1 2 x 2 x 1
1
Y x e e x e e
3
3
2
2
5
1 1
1 1
1
x x x
6
3 6
2 3
2
Складываем это частное решение и общее
решение однородного уравнения, получаем
общее решение исходного неоднородного
уравнения:
1
5
y C1 e C2 e x
6
6
2x
3x