Призма, пирамида. Понятие и чертёж

1.

2. План лекции

Понятие и чертёж
Элементы призмы
Общие свойства призм
Виды призм и их особенности
Поверхность призм
Сечения призм
Призмы вокруг нас

3. Понятие призмы

• Чертёж призмы
А
В
К
D
С
• Призма это многогранник состоящий
из двух равных плоских
многоугольников, лежащих в
параллельных плоскостях,
и всех отрезков, соединяющих
соответствующие точки этих
многоугольников.
A’
B’
K’
D’
C’
Вернуться к плану

4. Элементы призмы

Верхнее основание
Ребро основания
вершина
Боковое
ребро
диагональ
Нижнее
основание
Боковая
грань
высота

5. Элементы призмы

• Основания –
это грани, совмещаемые параллельным переносом.
• Боковая грань –
это грань, не являющаяся основанием.
• Боковые рёбра –
это отрезки, соединяющие соответствующие вершины
оснований.
• Вершины –
это точки, являющиеся вершинами оснований.
• Высота –
это перпендикуляр, опущенный из одного основания на
другое.
• Диагональ –
это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной
грани.
Вернуться к плану

6. Общие свойства призмы

1. Основания призмы равны
2. Основания призмы лежат в
параллельных плоскостях
3. У призмы боковые рёбра параллельны и
равны
4. Любая боковая грань является
параллелограммом
Вернуться к плану

7. Виды призм

n –угольная призма
Прямая призма
Правильная
призма
Наклонная призма
Вернуться к плану

8. N-угольная призма

• - это
призма, в основании
которой лежит n -угольник
Треугольная
призма
Четырёхугольная
призма
Шестиугольная
призма

9. Прямая призма

• - это призма, боковые рёбра
которой перпендикулярны
основанию
• Её высота равна
боковому ребру
h
b

10. Правильная призма

• - это прямая призма, основанием
которой является правильный
многоугольник.
В основании
равносторонний
треугольник
В основании
квадрат
В основании
правильный
6-угольник

11. Наклонная призма

• - это призма, боковые рёбра
которой не перпендикулярны
основанию.
h

12. Поверхность призмы

Полная поверхность Sполн.
Боковая
+
поверхность Sбок
Поверхность
оснований Sосн
Поверхность – это сумма площадей
граней

13. Боковая поверхность прямой призмы

• Теорема:
Боковая поверхность прямой призмы
равна произведению периметра
основания на длину бокового ребра.
Дано: прямая n-угольная призма, a1 , а2 … аn стороны основания, l - боковое ребро.
Доказать: Sбок=Pосн l
Вернуться к плану

14. Доказательство теоремы

• Боковые грани прямой призмы –
прямоугольники у которых сторонами
являются стороны основания призмы и
боковые рёбра призмы
S1=a1l , S2=a2l
…Sn= an l
• Sбок= S1+S2+…Sn=a1l +a2l +an l =
(a1 +a2 +…an) l =Pосн l
Теорема доказана

15. Особые сечения призмы

• Диагональное
сечение – это сечение
проходящее через два
боковых ребра, не
принадлежащих
одной грани.
Вернуться к плану
• Перпендикулярное
сечение – это
сечение, проходящее
перпендикулярно
боковым ребрам.
Sбок.п. =Pперп.сеч. АА1

16. Призмы вокруг нас

17.

Пирамида

18.

Пирамида
Вершина
Высота пирамиды
S
Рёбра
Боковая
грань
Высота
боковой грани
D
E
C
O
H
A
B
Основание

19.

Виды пирамид
M
S
Боковая
поверхность
B
C
D
A
C
A
B
Треугольная
пирамида
Четырёхугольная пирамида

20.

S
AB=BC=AC,
∆ABC-равносторонний.
Пирамида
правильная
Апофема
N
C
B
R
O
K
A
r
M

21. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны.

PA1A2…An - правильная пирамида
P
OPA1 = OPA2 = …
1. PO( катет) – общий;
2.OA1=OA2=…R
(катеты)
h
An
O
R
R
A1
A2
Значит,
PA1=PA2 =…

22. Все боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники .

P
A5
PA1A2 A3…An – правильная
пирамида
PA1A2= PA2A3=…= PA1An
(по трём сторонам)
A1A2=A2A3=A3A4=..;
PA1=PA2=PA3=…
A4
An
A3
A1
A2

23. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

P
Sб.п.=S A1A2P+S
A2A3P+S A3A 4P =…
= ½A1A2·PH + ½A2A3· PH +
+ ½A3A4· PH…=
= ½PH·(A1A2 + A2A3 + A3A4 +…)
A4
=
An
½P
A3
H
A1
A2
ОСНОВ.
PH
или
Sбок.п. =½Pосновh,
где h - апофема

24.

Усечённая пирамида
M
C1
B1
Верхнее основание
A1
D1
Ребра
h
C
D
B
Нижнее основание
A
Боковая грань