Примеры решения задач по теоретическим основам электротехники (ТОЭ)

1.

Примеры решения задач ТОЭ ч. 3
Катушка со сталью
задача 1
Для катушки со стальным сердечником задано:
u (t ) 130 cos( t ) B S 25 см 2 l 50 см w 100
f 50 Гц
Кривая намагничивания ферромагнитного сердечника представлена в виде графика

2.

Построить график зависимости тока в катушке от времени. Найти амплитуду тока.
Решение
Напряжение на входе катушки и магнитный поток в сердечнике связаны уравнением
1
Um
d
2 f 314
u (t ) w
(t )
sin( t )
с
dt
w
3
4
.
14
10
Um
130
1.656 Тл
m
4.14 10 3 Вб Bm m
4
S
25 10
w 100 314
B(t ) Bm sin( t ) 1.656 sin( t ) Тл
Дальнейшие расчеты проводятся графически. Из графических построений следует:
H m 115 А / см I m
H ml 115 50
57.5 А
w
100
Амплитуда тока определяется по закону полного тока

3.

4.

задача 2
На стальном сердечнике с сечением
S 10 см 2
длиной средней линии
l 50 см
w 4000
расположена обмотка
По ней протекает синусоидальный ток
I m 15 А
частотой
f 50 Гц
Кривая намагничивания ферромагнитного сердечника представлена в виде таблицы
B, Тл
0
1
1,25
1,4
1,5
H , A / см
0
200
400
800
1500
Построить график зависимости напряжения на зажимах катушки от времени. Найти
амплитуду этого напряжения.

5.

Решение
По закону полного тока
i (t ) w H (t )l H (t )
H m 1200 А / см
i (t ) w
4000
15 sin( t )
1200 sin( t )
l
50

6.

По таблице строится график кривой намагничивания
Дальнейшие расчеты проводятся графически. Из графических построений следует:
При t 30o H 600 А / см Bm 1.35 Тл
BS 1.35 10 10 4 Вб
При t 60o H 1040 А / см Bm 1.43 Тл
BS 1.43 10 10 4 Вб

7.

При t 90o H 1200 А / см Bm 1.46 Тл
BS 1.46 10 10 4 Вб

8.

По результатам графических расчетов строится график зависимости магнитного потока
сердечника от времени
Напряжение можно рассчитать используя выражение
d
u (t ) w
w
dt
t

9.

T 0.02
t1
c
12
12
u (0) w
1
0.00135
4000
3240 B
0.02
t1
12
2
0.00143 0.00135
u (t1 ) w
4000
192 B
0
.
02
t 2
12
Амплитуда напряжения равна
U m 3240 B
u(t2 ) 0

10.

По результатам графических расчетов строится график зависимости напряжения от
времени

11.

задача 3
Катушки с ферромагнитным сердечником питается от источника синусоидального
r 4.36 Ом
напряжения. Активное сопротивление обмотки
Определить параметры схемы замещения катушки
R0 , X 0
если известны показания приборов
Pw 5.26 Вт U v 10 B I A 1 A

12.

решение
Схема замещения катушки со сталью и векторная диаграмма к ней имеют вид
Из схемы замещения следует, что активная мощность показываемая ваттметром
складывается из мощности, выделяющейся в проводах обмотки ( rобм ) , и мощности
потерь в стали ( в сердечнике катушки )-
Ro .
2
Pобм I A r 12 4.36 4.36 Вт Pст Pw Pобм 5.26 4.36 0.9 Вт
Напряжение на сопротивлении обмотки
U обм I A r 1 4.36 4.36 В

13.

Напряжение U 0 можно определить, используя векторную диаграмму. Треугольник
напряжений можно приблизительно принять прямоугольным, тогда
U 0 U v U обм 102 4.362 9 В
2
2
По мощности в стали можно определить ток
I ст
I ст
Pст 0.9
0.1 A
U0
9
Используя векторную диаграмму можно определить ток намагничивания
I I А I ст 12 0.12 0.995 А
2
2
Параметры схемы замещения
U0
9
R0
90 Ом
I ст 0.1
U0
9
X0
9.045 Ом
I 0.995
I

14.

Четырехполюсники
задача 1
Определить сопротивление нагрузки ЧТП при согласованном режиме его работы
решение
По определению при согласованном режиме работы ЧТП сопротивление нагрузки
должно равняться характеристическому сопротивлению ЧТП
Zн Zc

15.

Z c Z xx Z кз
Входное сопротивление ЧТП в режиме холостого хода равно
Z xx R jX 10 j 20
Входное сопротивление ЧТП в режиме короткого замыкания равно
Z кз jX
R jX
10 j 20
j 20
8 j 24
R jX
10 j 20
следовательно
Z c Z xx Z кз (10 j 20)(8 j 24) 400 j 400
565.7e
j135o
23.8e
j 67.5o
9.1 j 22
Таким образом нагрузка ЧТП в согласованном режиме представляет собой активно
индуктивное сопротивление
Rн 9.1 Ом
X н 22 Ом

16.

задача 2
Определить мгновенное значение синусоидального напряжения на нагрузке ЧТП,
нагруженного согласованно, если входное напряжение равно
u1 (t ) 100 sin( t 100o )
решение
Для решения воспользуемся характеристической постоянной передачи ЧТП

17.

1
g c ln
2
Z кз
1
Z xx
1
U m1
U1
ac ln
ln
U2
U m2
bc u1 u 2
Z кз
Z xx
U 1
ac jbc ln
U 2
характеристическое затухание ЧТП
характеристическая фаза ЧТП
Входное сопротивление ЧТП в режиме холостого хода равно
Z xx R jX 10 j 20
Входное сопротивление ЧТП в режиме короткого замыкания равно
R jX
10 j 20
Z кз jX
j 20
8 j 24
R jX
10 j 20

18.

Z кз
8 j 24
1.12 + 0.16i 1.131e j8.13 1.063e j4.065 1.06 + 0.075i
Z xx
10 j 20
1 1 (1.06 + 0.075i) 1 2.06 + 0.075i 1
g c ln
ln
ln( -14.008 + 16.26i)
2 1 (1.06 + 0.075i) 2 0.06 - 0.075i 2
1
1
1
j130.75
ln( 21.462e
) {ln( 21.462) + j130.75} (3.066 j130.75)
2
2
2
1.5 j 65.5o
Следовательно, характеристическое затухание ЧТП
характеристическая фаза ЧТП
bc 65.5o
ac 1.5
Нп (непера)
(градуса)
Тогда
1.5 ln
U m1
U
U
100
m1 e1.5 4.482 U m 2 m1
22.31
U m2
U m2
4.482 4.482
bc u1 u 2 u 2 u1 bc 100o 65.5o 34.5o

19.

ответ
u2 (t ) 22.3 sin( t 34.5o )
задача 3
Определить мгновенное значение синусоидального напряжения на нагрузке цепной
схемы, составленной из трех каскадно включенных ЧТП- звеньев, нагруженной
согласованно, если входное напряжение равно
u1 (t ) 100 sin( t 100o )
и заданы характеристические параметры звена
Z c 10 j 20
g c 1.2 j15o
Рассчитать входное сопротивление цепной схемы с согласованной нагрузкой и меру
передачи цепной схемы

20.

решение
1. При согласованно нагруженном ЧТП его входное сопротивление равно сопротивлению
нагрузки. Поэтому входное сопротивление цепной схемы тоже равно сопротивлению
Нагрузки то есть характеристическому сопротивлению звена
Z ц .сх. Z с 10 j 20
2. При одинаковых звеньях цепной схемы ее мера передачи равна
g ц.сх.
U 1
U 1
U 2
U 2
ln
ln
ln
ln
g с1 g с 2 g с 3 3g с
U2
U 2
U 2
U2
U m1
3.6 ln
U m2
3(1.2 j15o ) 3.6 j 45o
U m1
U m1
100
3.6
e 36.598 U m 2
2.732
U m2
36.598 36.598
bc u1 u 2 u 2 u1 bc 100o 45o 55o
u2 (t ) 2.73 sin( t 55o )

21.

Цепи с распределенными параметрами ( длинные линии)
задача 1
Какому идеализированному элементу ЭЦ (электрическому сопротивлению,
индуктивности или емкости ) соответствует воздушная линия без потерь , если ее длина
равна 20 см. и она работает в режиме холостого хода на частоте 300 МГц
решение
Длина электромагнитной волны распространяющейся в воздушном пространстве
равна
8
c
3 10
1
6
f 300 10
Здесь
c
м
скорость электромагнитной волны, распространяющейся в воздушном
пространстве, равная скорости света
Входное сопротивление линии без потерь зависит от длины линии и частоты
гармонического колебания волны в ней. В режиме холостого хода это сопротивление
чисто реактивное, то есть может быть либо индуктивностью, либо емкостью.
График зависимости этого сопротивления от длины линии имеет вид

22.

При длине линии 20 см
емкостный характер
из графика видно, что сопротивление линии имеет
25
4
см

23.

задача 2
Построить графики входного и выходного напряжений на входе и на нагрузке линии
при включении линии без потерь на источник постоянного напряжения при следующих
параметрах источника (генератора) , линии и нагрузки:
E 100 B
Rг 3
1
Rн
3
волновое сопротивление линии
решение
При расчете переходного процесса используется понятие коэффициента отражения
от конца линии (от нагрузки) и от генератора

24.

1
Rн 3
kн
0.5
Rн 1
3
Rг 3
kг
0.5
Rг 3
Обозначим время перемещения волны от начала линии к концу как
В момент коммутации линия с нагрузкой всегда воспринимается генератором как
волновое сопротивление, что соответствует режиму бегущей волны. Поэтому
i
E
E
Rг 4
E
E
uвх (0) i
25
4
4

25.

В момент первого отражения от конца линии
uотр ( ) uвх (0)k н 25 ( 0.5) 12.5
uвых ( ) uвх (0) uотр ( ) 25 ( 12.5) 12.5
В момент первого отражения от генератора
uотр (2 ) uотр ( )k г 12.5 0.5 6.25
uвх (2 ) uвых ( ) uотр (2 ) 12.5 ( 6.25) 6.25
В момент второго отражения от конца линии
uотр (3 ) uотр (2 )k н 6.25 ( 0.5) 3.125
uвых (3 ) uвх (2 ) uотр (3 ) 6.25 3.125 9.375
В момент второго отражения от генератора
uотр (4 ) uотр (3 )k г 3.125 0.5 1.5625
uвх (4 ) uвых (3 ) uотр (4 ) 9.375 1.5625 10.9375

26.

В момент третьего отражения от конца линии
uотр (5 ) uотр (4 )k н 1.5625 ( 0.5) 0.78125
uвых (5 ) uвх (4 ) uотр (5 ) 10.9375 0.78125 10.1562
В момент третьего отражения от генератора
uотр (6 ) uотр (5 )k г 0.78125 0.5 0.3906
uвх (6 ) uвых (5 ) uотр (6 ) 10.1562 0.3906 9.7656
В установившемся режиме
i уст
E
E
E
1
Rг Rн 3 10
3
3
uв х. уст uвых. уст
E 1
E
i уст Rн
10
10 3
10
3

27.

28.

29.

Теория ЭМП
задача 1
Определить величину и направление вектора напряженности электростатического
поля от двух точечных зарядов в заданной точке пространства
E1
q
4 0 r1
2
E2
E E1 E2
q
4 0 r2
2

30.

задача 2
Определить величину и направление вектора напряженности электростатического
поля и потенциал в заданной точке пространства от двух заряженных осей с линейной
плотностью
E1
2 0 r1
E2
2 0 r2
E E1 E2
r2
(N )
ln
2 0 r1

31.

задача 3
Определить емкость на единицу длины бесконечно длинного провода над
поверхностью земли. Заданы радиус провода и высота подвески над землей
По методу зеркальных отображений
электростатическое поле от
заряженного провода над
поверхностью земли рассчитывается
как поле от двух заряженных осей в
воздушном пространстве, но уже при
отсутствии проводящей земли. По
определению емкость на единицу
длины
C0
где
u
u
напряжение между линией и землей
u N 0
напряжение между линией и землей равно разности потенциалов провода и земли.
Потенциал земли равен нулю, поэтому

32.

u N
2h
ln
2 0
R
Следовательно, емкость провода равна
2 0
C0
2h
ln
R
задача 4
Рассчитать потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции
и частичные емкости двухпроводной воздушной линии, расположенной над
поверхностью земли. Геометрические размеры заданы.
Расчет проводится на основании расчета электростатического поля заряженной линии
с линейными плотностями 1 и 2
по методу зеркальных отображений
Потенциал в точке N от двух пар заряженных линий по методу наложения равен
1
r2(1)
2
r2( 2)
(N )
ln (1)
ln ( 2)
2 0 r1
2 0 r1

33.

Если точку N поместить на поверхность первого провода, то его потенциал
определится через заряды проводов
(h1 h2 ) 2 d 2
1
2h1
2
1
ln
ln
2 0
R 2 0
(h1 h2 ) 2 d 2

34.

Если точку N поместить на поверхность второго провода, то его потенциал по
аналогии равен
(h1 h2 ) 2 d 2
1
2
2h2
2
ln
ln
2
2
2 0
2 0
R
(h1 h2 ) d
Полученная система уравнений связывает потенциалы проводов линии и заряды на них
1 1 11 2 12
1
2h1
11
ln
2 0
R
2 1 21 2 22
1
2h2
22
ln
2 0
R
12 21
Коэффициенты
11, 12 , 21, 22
1
2 0
ln
(h1 h2 ) 2 d 2
(h1 h2 ) 2 d 2
называются потенциальные коэффициенты

35.

Коэффициенты электростатической индукции
дают возможность определить
заряды линий через их потенциалы. Они рассчитываются как обратная матрица
потенциальных коэффициентов
1
11 12
11 12
22
22
21
21
Частичные емкости двухпроводной воздушной линии определяются через
коэффициенты электростатической индукции
c11 11 12
c12 12
c21 21
c22 22 21

36.

задача 5
Определить величину и направление вектора напряженности магнитного поля от
бесконечно длинного провода с током в заданной точке пространства
величину и направление вектора напряженности магнитного поля можно определить
по закону полного тока
i
i
Hl i H
l 2 r

37.

задача 6
Определить величину и направление вектора напряженности магнитного поля от
двухпроводной линии с током в заданной точке пространства
по закону полного тока
H1
i
2 r1
H H1 H 2
H2
i
2 r2

38.

Задача 7
Определить величину и направление векторного магнитного потенциала от
двухпроводной линии с током в заданной точке пространства
Магнитное поле от двухпроводной линии с током плоско –параллельное. Векторный
потенциал такого поля имеет только z- составляющую и определяется по формуле
0i r2 0i
a
A( N )
ln
ln
2 r1 2 a d

39.

Задача 8
Рассчитать магнитный поток в рамке от двухпроводной линии с током. Определить
взаимную индуктивность между линией и рамкой
магнитный поток в рамке можно вычислить через векторный потенциал вдоль контура
рамки с помощью интеграла
Adl
l

40.

Контур рамки разбиваем на 4 участка: от 1 до 2, от 2 до 3, от 3 до 4 , от4 до 1.
Интеграл вычисляется в следующем виде
2
3
4
1
1
2
3
4
Adl A dl A dl A dl A dl
l
0ib r2(1)
r2( 4)
A1b 0 A4b 0 b( A1 A4 )
(ln (1) ln ( 4) )
2
r1
r1
взаимная индуктивность между линией и рамкой вычисляется по формуле
0b
r2(1)
r2( 4)
M
(ln (1) ln ( 4) )
i
2
r1
r1