Схема Бернулли

1. Схема Бернулли

2.

Определение.
Схемой Бернулли называется последовательность
независимых испытаний, в каждом из которых
возможны лишь два исхода —«успех» и «неудача»,
при этом «успех» в одном испытании происходит с
вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q =1p.

3. Теорема. (Формула Бернулли).

Доказательство. Событие
Означает, что в серии из n
испытаний произошло ровно k
успехов.
Рассмотрим один из
плагоприятствующих событию A
исходов.
(у – «успех», н – «неудача»)

4.

Т.к. испытания независимы, то вероятность такого элементарного
исхода равна
Первые k испытаний завершились успехом, а остальные (n - k) - неудачей.
Другие, благоприятствующие нашему событию исходы, отличаются от
данного лишь иным расположением k успехов по n местам.
Число благоприятствующих исходов равно числу сочетаний из n элементов
по k, а вероятность события A равна сумме вероятностей всех
элементарных событий, составляющих данное.

5.

• Определение.
Набор чисел
Называется биномиальным распределением
вероятностей и обозначается
p q
n
0 0 n
Cn p q
1 1 n 1
n n 0
Cn p q Cn p q

6. Наиболее вероятное число успехов

np q k np p
*

7.

8.

9. Номер первого успешного испытания в схеме Бернулли

10. Выбор без возвращения

Из урны наудачу выбирают n шаров
Такое распределение вероятностей называется гипергеометрическим

11.

12. Предельное поведение гипергеометрического распределения

13. Независимые испытания с несколькими исходами

Полиномиальное распределение

14. Предельные теоремы с схеме Бернулли

Теорема Пуассона

15.

16.

17.

18. Предельная теорема Муавра-Лапласа

Предельная теорема МуавраЛапласа