НОВЫЕ ТИПЫ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

О возникновении т.н. «теории робастных систем»

Классификация простейших случаев неопределенности по видам характеристических полиномов для линейных стационарных систем

1.22M

Category: $mathematics$ mathematics

Новые типы обратных связей в системах автоматического управления

1. НОВЫЕ ТИПЫ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

2. О возникновении т.н. «теории робастных систем»

Основополагающей работой, определившей возникновение
теории робастности, является теорема В.А. Харитонова.
(«Асимптотическая устойчивость положения равновесия
семейства систем дифференциальных уравнений» Дифференциальные уравнения. – 1978. – №11. – С.2086-2088.)
Теорема Харитонова имеет важный и
красивый результат.
Но наряду с этим имеет и ограничение.

3. Классификация простейших случаев неопределенности по видам характеристических полиномов для линейных стационарных систем

• Интервальная неопределенность – коэффициенты полинома
являются интервальными параметрами;
• Аффинная неопределенность – коэффициенты полинома
образованы суммой или разностью интервальных параметров;
• Полилинейная неопределенность – коэффициенты полинома
линейно зависят от каждого параметра, если остальные параметры
фиксированы;
• Полиномиальная неопределенность – коэффициенты полинома
зависят полиномиально хотя бы от одного параметра.
Для интервальной и аффинной неопределенностей существуют
достаточно простые методы анализа и синтеза, но если коэффициенты
полинома являются более сложными функциями интервальных
параметров, то анализ и синтез ИС значительно усложняется.

4.

• Постановка задачи:
x
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
.
.
.
.
.
a1 (t )
an (t ) an 1 (t )
x u
.
1
| ai (t ) | Ai
где a(t) - произвольные функции времени, в том числе
разрывные

5.

Хорошо бы расследовать
1. Координатно-операторная обратная связь
1.1. Система с одним неопределенным параметром
1.2. Система с двумя неопределенными параметрами
1.3 Система с более, чем двумя неопределенными
параметрами
2.1 Операторная обратная связь с одним неопределенным
параметром
2.2 Операторная обратная связь более чем с одним
неопределенным параметром

6.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.1. Система с одним неопределенным параметром
«Хрестоматийный» пример
x1 x2
x2 a x1 u
скаляризуем путем введения новой переменной
x1 dx1
2
(a d ) x1 d u
Теперь имеем дело со скалярным объектом:
d u (a d 2 ) x1
Будем рассматривать стабилизацию в малом
x1
u (a0 d 2 ) | x1 | sgn
dx1 x2 ,

7.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.1. Система с одним неопределенным параметром
t=time;
init x1=1,x2=0,Miu_cp=0;
ao=5;
w=0.5;
K=10;
d=2;
a=ao*sin(w*t);
sigma=d*x1+x2;
Ksi=sigma/x1;
Miu=-K*sign(Ksi);
Miu_cp'=5*(Miu-Miu_cp);
a_oc=d^2-Miu_cp;
u=-K*abs(x1)*sign(d*x1+x2);
x1'=x2;
x2'=a*x1+u;
output x1,x2,u,a_oc,a;

8.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.1. Система с одним неопределенным параметром

9.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.1. Система с одним неопределенным параметром

10.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
x1 x2
x2 a(t ) x1 b(t ) x2 (t ) u (t )
a (t ) A
b(t ) B
Сделаем замену переменных
E
x2
d
x1

11.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
x1 x2 ( E d ) x1 ,
x2 ( E d ) x1 x2 Ex1 ( E d ) x1
E a (t ) b(t )( E d ) u (t ) / x1 ( E d ) 2
где d характеризует качество стабилизации.
Проведем следующие преобразования
Тогда система уравнений примет вид
x1 ( E d ) x1 ,
2
E a (t ) b(t )( E d ) u (t ) / x1 ( E d )

12.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
Если Е>0 то для стабилизации требуется
Для того чтобы
E 0
E 0 D 0
D b(t ) ^ 2 4(a(t ) u(t ) / x1 )
u (t ) ( A
B^2
) x1
4
Если Е<0 то для стабилизации требуется
E 0
То есть Е-d попадает в корневой промежуток рассматриваемого выражения
(E d )
b b(t ) ^ 2 4(a(t ) u(t ) / x1 )
2
u(t ) (( E d ) ^ 2 B | E d | A) x1

13.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными
параметрами
Тригонометрический закон изменения параметров объекта.
Рассматривается стабилизация модели вида
x1 x2
x2 a(t ) x1 b(t ) x2 (t ) u (t )
a a 0 sin wt ;
b b 0 cos wt ;

14.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
Тригонометрический закон изменения параметров объекта.

15.

16.

17.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
Дифференциальный закон изменения параметров объекта.
x1 x2
x2 a(t ) x1 b(t ) x2 (t ) u (t )
, где
a (t ) x3(t );
b(t ) x 6(t )
x3' 10 * x3 x4 ;
x4 ' x3* x5 28 * x3 x4;
x5' x3* x4 2.666 * x5;
x6 ' x7 x8;
x7 ' x6 0.3* x7;
x8' 0.4 8.5 * x8 x6 * x8;

18.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
Дифференциальный закон изменения параметров объекта.

19.

20.

21.

22.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
Дифференциальный с sign закон изменения параметров объекта
x1 x2
x2 a(t ) x1 b(t ) x2 (t ) u (t )
,где
a(t ) a0(t ) sign( x3(t ));
b(t ) b0(t ) sign( x6(t ))
x3' 10 * x3 x4 ;
x4 ' x3* x5 28 * x3 x4;
x5' x3* x4 2.666 * x5;
x6 ' x7 x8;
x7 ' x6 0.3* x7;
x8' 0.4 8.5 * x8 x6 * x8;

23.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.2. Система с двумя и более неопределенными параметрами
Дифференциальный с sign закон изменения параметров объекта

24.

25.

26.

27.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.3. Система, представленная в «Фробениусовой» форме с
неограниченным числом неопределенных параметров
x
0
1
0
0
0
0
1
0
.
.
.
.
.
a1 (t )
an (t ) an 1 (t )
0
0
x u
.
1
| ai (t ) | Ai
Введем новую переменную характеризующую отклонение объекта от
требуемого режима
n
d i xi
i 1
dn 1

28.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.3. Система, представленная в Фробениусовой форме с неограниченным
числом неопределенных параметров
n 1
xn 1 xn di xi
i 1
n 1
n 1
n
i 1
i 1
i 1
xn di xi 1 di xi 1 ai xi u
Стоит задача стабилизации сигма в нуле и выбора коэффициентов d i
n 1
n
i 1
i 1
u di xi sign( ) Ai | xi |

29.

1. Координатно-операторная обратная связь
1.3. Система с 4- мя неопределенными параметрами
Состояние объекта
управление

30.

2. Операторная обратная связь
2.1. Система с одним неопределенными
параметрами
x1 x2 ,
x2 ax1 u,
a a0
в отличие от п. 3, вводим координатную
ошибку следующим соотношением
x2 d x1 x2 (d ) x1

31.

2. Операторная обратная связь
2.1. Система с одним неопределенными параметрами
График изменения состояний объекта
График изменения управления объекта

32.

2. Операторная обратная связь
2.2. Система с неограниченным числом неопределенными параметров
x
0
1
0
0
0
0
1
0
.
.
.
.
.
a1 (t )
an (t ) an 1 (t )
0
0
x u
.
1
| ai (t ) | Ai
Заметим что рассматриваемая матрица является «Фробениусовой», ai (t )
т.е. являются коэффициентами «характеристического» полинома(точнее его аналога):
n a1 (t ) n 1 .... an 1 (t ) an (t )
Будем искать управление в следующем виде u=Kx

33.

2. Операторная обратная связь
2.2. Система с неограниченным числом неопределенными параметров
Тогда уравнение замкнутой системы примет вид
x
0
1
0
0
0
0
1
0
.
.
.
.
an (t ) kn
an 1 (t ) kn 1
.
a1 (t ) k1
x
Характеристический полином имеет вид :
n (a1 (t ) k1 ) n 1 .... (an 1 kn 1 ) (an kn )
стабилизация системы с заданным качеством d
( d ) n b1 ( d ) n 1 .... bn 1 ( d ) bn
Необходимым условие стабилизации с заданным качеством ОУ является
не отрицательность коэффициентов последнего характеристического
уравнения
Найдем оценки этих коэффициентов

34.

2. Операторная обратная связь
2.2. Система с неограниченным числом неопределенными параметров
k1 A1 Cn1d z1
b1 [0 z1; 2 A1 z1 ]
i 1
ki ( zi Ai C d Cni kk d i k max(bk ))
i
n
i
k 1
i 1
bi [ zi ; zi 2 Ai Cni kk d i k (max(bk ) min(bk ))]
k 1
Теперь можно найти значения zi обеспечивающие достаточности
сходимости, использую критерий
постоянных коэффициентов
Харитонова и достаточности для

35.

2. Операторная обратная связь
2.2. Система с неограниченным числом неопределенными параметров
Произведем синтез регулятора для системы с 3-мя неопределенными параметрами
K1 ( z1 A1 3d )
K 2 ( z2 A2 3d 2 4dA1 )
K 3 ( z3 A3 d 3 d 2 (6 A1 z1 ) d (2 A2 z2 ))
z1 2 A3 6d 2 A1 2dA2
z2 1
z3 0

36.

2. Операторная обратная связь
2.2. Система с неограниченным числом неопределенными параметров
Состояние объекта
управление

English Русский Rules