Тепломассообмен. Теория подобия физических явлений. Числа подобия. Уравнения подобия

1. Тепломассообмен 11

● Теория подобия физических
явлений
● Числа (критерии) подобия
● Уравнения подобия

2. Условия подобия процессов конвективного теплообмена

Если систему дифференциальных уравнений и граничные
условия привести к безразмерному виду, то число влияющих
факторов формально сократится, например число (критерий)
Рейнольдса: Re w0 0
соотношение сил инерции и вязкости.
Для нахождения явного вида зависимостей (9) нужны опытные
данные. Чтобы результаты опытов на модели можно было
перенести на натуру, необходимо, по условию подобия
процессов на модели и натуре, выдержать равенство
чисел подобия:
Re м wм
м
м
wн
н
н
Reн
.

3. Условия подобия физических явлений

Если модель изготовлена в масштабе м / н = 1/10, то для
одной и той же жидкости на модели и натуре, для соблюдения
условий подобия необходимо, чтобы отношение скоростей
было wм / wн = 10, что не всегда можно обеспечить.
Поэтому иногда моделируют процессы на других жидкостях
м / н = 1/10. В теорию подобия внесли большой вклад
Гухман А.А., Кирпичев М.В., Петухов В.С., Михеев М.А. и др.
Приведем систему дифференциальных уравнений и условия
однозначности к безразмерному виду одним из способов методом масштабных преобразований.
Получатся безразмерные величины:
wy
wx
w
X ;Y ; Z ;Wx ;W y ;Wz z ; .
w0
w0
w0
c
0
0
0
x
y
z

4. Безразмерное дифференциальное уравнение теплоотдачи

Выразим размерные величины через безразмерные и
масштабы отнесения, выбранные из условий однозначности,
x X 0 ; y Y 0; z Z 0; wx Wx w0; wy W y w0; wz Wz w0;
c
подставим их в дифференциальные уравнения
и граничные условия. Тогда дифференциальное уравнение
теплоотдачи примет вид:
( c )
c
( ).
c (Y 0 ) c 0 Y
После сокращения на и переноса всех
c
0
( ), (1)
размерных величин в левую сторону получим:
Y
где / Nu - число Нуссельта (соотношение конвективной
0
теплоотдачи вне пограничного слоя и теплопроводности внутри.

5. Приведение к безразмерному виду дифференциального уравнения энергии

Дифференциальное уравнение энергии для стационарного
режима ( t 0; 0) имеет вид:
2 2 2
wx
wy
wz
a(
).
x
y
z
x 2
y 2
z 2
(2)
Выразим все размерные величины через безразмерные и
масштабы отнесения:
( c ) c 2
2 2 ( c )
[
] 2 ( 2 ),
2
2
x ( X 0 ) ( X 0 ) ( X 0 )
0 X
Тогда дифференциальное уравнение энергии:
Wx w0
( c )
( c )
( c ) c 2
Wy wo
Wz w0
a 2 .
( X 0 )
(Y 0 )
( Z 0 )
0
(3)

6. Безразмерное дифференциальное уравнение энергии

Умножим обе части уравнения (3) на
w0
c
0
2
0 [W
a
2 / a:
0
c 20 2
( ) W y ( ) Wz ( )] a 2 .
x
X
Y
Z
0 a
После сокращений получим безразмерное дифференциальное
уравнение энергии Фурье-Кирхгофа (теплопроводности в
жидкости):
Здесь
w0 0
[Wx ( ) Wy ( ) Wz ( )] 2
a
X
Y
Z
w0 0
Pe
a
число (критерий) Пекле.
.
(4)

7. Приведение к безразмерному виду уравнения движения

Дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса
в проекции на ось х для стационарного режима:
(Wx w0 )
(Wx w0 )
(Wx w0 )
W y w0
Wz w0
( X 0 )
(Y 0 )
( Z 0 )
w
1 p
g c
20 2Wx.
( X 0 )
0
Wx w0
Умножим обе части уравнения на
только размерные величины:
w02
0
2
0
w0
g c
2
0
2
0
и вынесем из него
w0
1
2
0
w0 0 w0
w0
2
0
2
0
w0
.
(5)

8. Числа подобия Рейнольдса, Грасгофа, Эйлера

После сокращений имеем:
В левой части
w0 0 / Re
w0
0
g c
2
0
0
w0 w0
1.
(6)
- число (критерий) Рейнольдса
(соотношение сил инерции и вязкости). Умножим первый
уравнения (6) на:
где
число (критерий) Грасгофа – соотношение
член правой части
g c
3
0
2
Gr
0 g
c
w0
0
2
0
3
0 g
0
c 2
0
w0
0
Gr
,
Re
подъемных и вязкостных сил.
Второй член правой части равенства (6) умножим на:
w0
p w0
p w
0
( 2 0 0 ) (Eu Re),
w0 w0 X w0 X w0
X
где
p
число (критерий) Эйлера – соотношение сил
Eu
давления и инерции.
w02

9. Безразмерное дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности)

Тогда безразмерное дифференциальное уравнение движения
Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима:
Wx
Wx
Wx Gr
(7)
2
Re(Wx
X
Wy
Y
Wz
Z
)
Re
X
(Eu Re) Wx.
Проекции уравнения Навье-Стокса на оси y и z не дадут
новых чисел подобия, поэтому их не рассматриваем.
Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности)
или w0 Wx W y Wz
(Wx w0 ) (Wy w0 ) (Wz w0 )
( X
0)
(Y
Так как (w0 /
уравнение
сплошности:
0)
0
) 0
( Z
0)
0;
(
0
X
Y
Z
) 0.
, то безразмерное дифференциальное
Wx Wy Wz
0
X
Y
Z
или
divW 0.
(8)

10. Безразмерные система уравнений и граничные условия

Безразмерная система дифференциальных уравнений
конвективного теплообмена:
Nu ( / Y ); Pe(Wx Wy Wz ) 2 ;
X
Y
Z
Wx
Wx
Wx Gr
Wy
Wz
)
(Eu Re) 2Wx ;
X
Y
Z
Re
X
Wy
Wy
Wy
Re(Wx
Wy
Wz
) (Eu Re) 2W y ;
X
Y
Z
Y
Re(Wx
(9)
Wz
Wz
Wz
Re(Wx
W y
Wz
) (Eu Re) 2Wz ;divW 0.
X
Y
Z
Z
Граничные условия I рода:
X 0 Wx 1;W y Wz 0; 0 0;
0 X 1;Y 0 Wx W y Wz 0; c 1.
(10)

11. Определяемые и определяющие числа подобия

Преобразуем число Пекле
следующим образом:
где
a
Pr
Pe
w0 0 w0 0
RePr,
a
a
число (критерий) Прандтля – соотношение полей
скоростей и температур.
Из безразмерной системы уравнений и граничных условий
можно выявить три вида величин:
● независимые переменные -
X ,Y , Z ;
● постоянные величины - Re,Gr,Pr;
● зависимые переменные - Nu, ,W ,W ,W , Eu.
x
y
z
Определяемые числа подобия
Определяющие числа подобия
Nu, ,Wx ,W y ,Wz , Eu;
X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr.

12. Общий вид решений конвективной теплоотдачи в безразмерном виде

Каждый определяемый критерий подобия является функцией
определяющих:
Nu f1( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr);
f 2 ( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr);
Wx f 3 ( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr);
W y f 4 ( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr);
(11)
Wz f 5 ( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr);
Eu f 6 ( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr).
В безразмерных зависимостях (11) шесть влияющих факторов,
по сравнению с двенадцатью - в размерных уравнениях (9)
для
, , wx , wy , wz , p,
(см. Тепломассообмен 10).

13. Виды подобий

Подобными называются явления, которые имеют одинаковую
физическую природу и описываются одинаковыми по форме
и по содержанию уравнениями.
Бывают следующие виды подобия:
● геометрическое – подобие геометрических фигур;
● тепловое – подобие тепловых потоков и температурных полей;
● кинематическое – подобие движений жидкостей;
● динамическое – подобие сил, вызывающих подобные
движения.
Основные понятия о теории подобия можно получить из трех
теорем подобия.
w
w
Re1 1 1 2 2 Re2 .
I теорема – в подобных явлениях
1
2
одноименные числа подобия равны:

14. II и III теоремы подобия физических явлений

II теорема – решение дифференциального уравнения
(системы уравнений) можно представить в виде функции
от чисел подобия, полученных из этого уравнения:
Nu f ( X ,Y , Z ,Re,Gr,Pr).
IIIтеорема – подобны те явления, условия однозначности
которых подобны, а числа подобия, составленные из этих
условий однозначности, равны.
Условия однозначности подобны, если в сходственных точках
в сходственные моменты времени отношение одноименных
величин есть величины постоянные, называемые константами
подобия. Одноименные величины – это величины, имеющие
одинаковый физический смысл и размерности.

15. Геометрическое подобие

Для геометрического подобия необходимо равенство
отношений сходственных сторон:
A1
11
21
12
22
13
c
-
23
константа геометрического
подобия.
A2
11
12
21
C1
13
B1 C2
22
23
B2

16. Константы подобия

1
c
2
константа теплового
подобия;
w1
константа кинема cw
тического подобия.
w2
Сходственные точки – это точки, отвечающие геометрическому
подобию А1-А2; В1-В2; С1-С2.
Сходственные моменты времени – имеющие одинаковое начало
отсчета, для которых
( 1 / 2 ) c безразмерное время.
Константы подобия нельзя выбирать произвольно, они связаны
w1 cww2; 1 c 2 ; 1 c 2 ;
c c w2 2 cw c
w
w
Re1 w
Re2;
Re1 1 1 2 2 Re2 ,
c 2
c
1
2
Так как Re Re , то константы
cw c
1
2
1.
между собой:
подобия связаны соотношением:
c