Логарифмические уравнения. Уравнения, решаемые с использованием теорем о логарифмах

1. Логарифмические уравнения

2.

loga b c loga b loga c
log a b r log a b
r
b
log a log a b log a c
c

3.

log3 x 2 log3 x 2 log3 2x 1
log 3 x 2 x 2 log 3 2 x 1
x 2 x 2 2x 1
x 4 2x 1
2
x 2x 3 0
x 1 п.к.
x 3
2
х 2 0
ОДЗ: x 2 0
2 x 1 0
1 2 0
1 2 0
2 1 1 0
3 2 0
3 2 0
2 3 1 0
log
b
c
log
b
log
c
a
a
a
Ответ : 3

4.

log11 x 4 log11 x 7 log11 7 x
log11 x 4 x 7 log11 7 x
x 4 x 7 7 x
x 3x 28 7 x
2
x 2 x 35 0
2
x 5 п.к.
x 7 п.к.
Ответ : корней нет
х 4 0
ОДЗ: x 7 0
7 x 0
5 4 0
5 7 0
7 5 0
7 4 0
7 7 0
7 7 0
loga b c loga b loga c

5.

log23 2 x 1 log23 x 0
log23 2 x 1 log23 x
2 x 1 x
x 1
Ответ : 1
2 x 1 0
ОДЗ:
x 0
Разность двух
выражений равна нулю,
если они равны
2 1 1 0
1 0

6.

log0,5 4x 1 log0,5 7 x 3 1
Преобразуем заданное уравнение к виду
log0,5 4x 1 1 log0,5 7 x 3
log0,5 4 x 1 log0,5 0,5 log0,5 7 x 3
log0,5 4x 1 log0,5 0,5 7 x 3
4 x 1 0,5 7 x 3
4 х 1 0
ОДЗ: 7 x 3 0
1 log 0,5 0,5
4 1 1 0
7 1 3 0
4 x 1 3,5 x 1,5
0,5 x 0,5
x 1
п.к.
Ответ : корней нет
loga b c loga b loga c

7.

x 3
log 2 x 3 x 5 log 2
2
x 3 х 5 0
x 5
x 3
ОДЗ: x 3 0
log 2 x 3 x 5
2
x 5
x 5
2
log 2 x 3 2
Решение двух неравенств
2log2 x 3 2
одинаково (метод интервалов):
5
x 3 2
x 3 2
x 3 2
x 5
x 1 п.к.
log2 x 3 1
1
3
5
x
loga b c loga b loga c
Ответ : 5
loga b 2n loga b
2n

8.

lg x 1 3lg x 3 lg 8
3
3lg x 1 3lg x 3 lg8 3
1
lg x 1 lg x 3 lg 8
3
lg x 1 lg x 3 lg 8
1
3
ОДЗ:
x 1 0
x 3 0
5 1 0
5 3 0
lg x 1 lg x 3 lg 2
Преобразуем полученное уравнение к виду
lg x 1 lg 2 lg x 3
lg x 1 lg 2 x 3
x 1 2 x 6
x 5
Ответ : 5
loga b c loga b loga c
log a b r log a b
r

9.

log 2 x3 1 log 2 x 2 x 1 4
х 3 1 0
ОДЗ: 2
x x 1 0
x 1
log 2 2
4
x x 1
3
log 2
x 1 x
2
x 1
x x 1
2
4
log2 x 1 4
x 1 2
x 17
4
Ответ : 17
173 1 0
2
17 17 1 0
b
log a log a b log a c
c

10.

log 0,5 x 6 6 x 4 12 x 2 8 3
x 6 x 12 x 8 0,5
6
4
2
3
ОДЗ:
x 6 6 x 4 12 x 2 8 0
x 6 x 12 x 8 8
6
4
2
x 6 x 12 x 16 0
6
4
2
t 6t 12t 16 0
3
2
Для дальнейшего решения уравнения
воспользуемся схемой Горнера
log a b c a b
c

11.

t 6t 12t 16 0
3
2
16 1; 2; 4; 8; 16
3
2
p 1 1 6 1 12 1 16 0
t 4 0
t 4
2
D 4 16 0
t 2t 4 0
t 4
x 2
x2 4
ОДЗ:
p 2 2 6 2 12 2 16 0
x 6 6 x 4 12 x 2 8 0
p 4 4 6 4 12 4 16 0
2 6 2 12 2 8 0
3
3
2
6
2
2
t 4 t
2
2t 4 0
6
4
2
6 2 12 2 8 0
4
2
Ответ : 2