Лекция 7

1.

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
Кафедра математики
Дисциплина
«Математический анализ»
Раздел 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К
ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

2.

Лекция7. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К
ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
В.1.
Критерий
постоянства
функций.
Признаки
монотонности (возрастание и убывание функций)
В.2.
Экстремумы
экстремума
функций.
Необходимое
условие
В.3. Достаточное условие экстремума
В.4. Отыскание наименьших и наибольших значений
функции на промежутке
В.5. Выпуклость и точки перегиба
В.6. Асимптоты графика функции
В.7. Общий план исследования функций
2

3.

Вопрос 1.
3

4.

Вопрос 1.
Теорема 1 (критерий постоянства функции). Для постоянства f ( x ) на
некотором промежутке Х необходимо и достаточно, чтобы равенство
f (x ) = 0 выполнялось во всех точках этого промежутка.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
()
f (x ) = const, x X .
Тогда, как известно, f x = 0 во всех точках промежутка X.
Достаточность. Пусть f (x ) = 0 для любого x X . Возьмем любые
две точки x1 , x2 X . По формуле Лагранжа (прошлая лекция)
Но так как
f (x2 ) − f (x1 ) = (x2 − x1 ) f (c ) , c ( x1 , x2 ) X .
f (x ) = 0 для всех x X , то и f (c ) = 0 , в силу чего из
предыдущего равенства получим f (x2 ) − f (x1 ) = 0 или f (x1 ) = f (x2 ) . Отсюда
()
следует, что f x = const, x X . Теорема доказана.
4

5.

Теорема
Вопрос
1. 2
(признак
возрастания
дифференцируема и возрастает ( ) на
( )
функции).
1. Если
f (x)
некотором промежутке Х, то
f ( x ) 0, x X (необходимый признак ( ) функции).
2. Если
f (x)
дифференцируема
на
промежутке
Х,
причем
f ( x ) 0, x X , то данная функция на этом промежутке ( ) (достаточный
признак возрастания функции).
Доказательство. 1. Пусть f (x) дифференцируема и ( ) на промежутке Х.
Возьмем значение аргумента x X (x – внутр. точка X) и придадим ему
такое приращение Δх, что x + x X . Рассмотрим отношение
f
f ( x + x) − f ( x)
=
.
x
x
Так
как
f (x)
−
функция
( ),
то
f ( x + x ) f ( x )
f ( x + x ) f ( x ) при x 0 . В обоих случаях
(1)
при
x 0
f
f ( x + x) − f ( x)
=
0.
x
x
Так как f (x) дифференцируема на Х, то конеч. f ( x )
неравенству (2)
(2)
на Х
Согласно
f
f (x + x ) − f ( x )
= lim
0,
x →0 x
x →0
x
f ' (x ) = lim
т.е. f ( x ) 0,
и
что и требовалось доказать.
5

6. Вопрос 1.

2. Пусть
f (x ) 0 на промежутке Х. Возьмем любые две точки
x1 , x2 X такие, что х2 > х1. По формуле Лагранжа имеем
f ( x1 ) − f ( x2 ) = f (c)( x2 − x1 ) ,
(3)
где x1 c x2 .
f (x ) 0, x X и c X , то f (c ) 0 . Тогда из
соотношения (3) следует, что f ( x2 ) − f ( x1 ) 0 или f ( x2 ) f ( x1 ) .
Поскольку
Другими словами, функция f (x) возрастает ( ) на промежутке Х, что и
требовалось доказать.
Также доказывается аналогичная теорема для убывающей функции .
6

7. Вопрос 1.

Теорема 3 (признак убывания( ) функции). 1. Если
f (x)
дифференцируема и ( ) на некотором промежутке Х, то f ( x ) 0, x X
(необходимый признак ( ) функции).
2. Если f (x) дифференцируема на промежутке Х, причем
f (x ) 0, x X , то данная f (x) на Х ( ) (достаточный признак
убывания функции).
Вывод: В любой точке промежутка возрастания y = f ( x ) касательная к
ее графику образует с осью Ох острый угол ; на промежутке убывания
функции угол – тупой (рис.1). Иначе говоря, промежутку возрастания
функции f (x) соответствует случай tg = f (x ) 0 , а промежутку убывания
tg = f (x ) 0 .
7

8. Вопрос 2.

8

9. Вопрос 2.

Определение 1. Точка x0 называется точкой максимума функции f (x),
если такая окрестность X этой точки, что для x X , x x0 ,
выполняется f (x ) f (x0 ) .
Точка x0 называется точкой минимума функции f (x), если существует
такая окрестность Х этой точки, что для x X , x x0 выполняется
неравенство f ( x ) f ( x0 ) .
Значения функции f (x) в точках ее максимума и минимума называются
максимумом и минимумом этой функции и обозначаются maxf (x) и
minf (x):
( f (x0 ) = max f (x )) ( x X , x x0 : f (x ) f (x0 ));
(4)
( f (x0 ) = min f (x )) ( x X , x x0 : f (x ) f (x0 )).
9

10. Вопрос 2.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или
экстремальными значениями этой функции (рис.2):
а) точки x1 и x3 − точки максимума функции, где функция переходит
от возрастания к убыванию (в направлении возрастания координаты х);
б) точки x 2 и x4 − точки минимума функции, где функция переходит
от убывания к возрастанию.
10

11.

Вопрос 2.
Теорема 1 (необходимое условие гладкого экстремума). Если f (x)
дифференцируема в точке x0 и имеет в x0 экстремум, то f (x0) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности f (x 0 ) = maxf (x). Тогда в
силу формулы (4) имеем
f ( x0 + x) − f ( x0 )
0 при x 0;
x
f ( x0 + x) − f ( x0 )
0 при x 0.
x
Поскольку функция f (x) дифференцируема в точке x0, т. е. f (x 0 )конеч.,
то при x → 0 оба эти отношения стремятся к общему пределу f (x 0 ),
равному нулю, т.е. f (x 0 ) = 0.
11

12. Вопрос 2.

Геометрический смысл теоремы: если в точке экстремума график функции
имеет касательную и эта касательная не параллельна оси Oy (как, например, в
точке x3 на рис.2, то эта касательная непременно параллельна оси Ox.
Итак, в точках гладкого экстремума f(x) дифференцируема и f (x 0 ) = 0
(точки x1 и x2 на рис.2). Существуют, однако, и точки экстремума другого
типа – так называемые точки острого экстремума, в которых f(x) не
является дифференцируемой. Здесь возможны два случая:
а) f ( x ) = , как в точке x3 на рис.2;
( )
б) f x не существует, как в точке x4 на рис.2.
12

13. Вопрос 2.

у
О
y = g(х)
y = f(х)
х1
х2
х
Рис.3/
13

14. Вопрос 2.

Определение 2. Критическими точками f(x) называются точки, где
f (x ) = 0 или f ( x ) = , или f ( x ) не существует (∄), при условии, что в
двух последних случаях f(x) непрерывна в соответствующей точке.
Теорема 2. (необходимое условие экстремума f(x)) Если функция f(x)
имеет в точке x0 экстремум, то эта точка - критическая точка f(x).
Однако обратно-не верно: не всякая критическая точка f(x) является и ее
экстремальной точкой. Например, для функций, графики которых
представлены на рис.3, точки x1 и x2 будут критическими, так как f (x 1 ) = 0,
g (x 2 ) = ∞. Однако ни одна из этих точек не является экстремальной для
соответствующей функции.
14

15. Вопрос 3.

Итак, если y = f(x) и имеет экстремум, то только в критических точках:
f (x) = 0 или f (x) = ∞, или f (x) не существует.
Однако, как отмечено в вопросе 2, функция может и не иметь экстремума
в критической точке. Поэтому для окончательного решения вопроса о
наличии экстремума нужны некоторые дополнительные сведения о
поведении исследуемой функции в критической точке и ее окрестности.
Иначе говоря, функция только тогда имеет в критической точке экстремум,
когда в этой точке выполняется достаточное условие экстремума. Каждая
из следующих трех теорем и представляет собой такое достаточное условие.
При исследовании функции на экстремум можно пользоваться любой из них.
15

16. Вопрос 3.

Теорема 1 (достаточное условие экстремума на основе первой
производной). Пусть f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем
критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала
кроме, может быть, самой точки x0.
1. Если в некоторой окрестности X критической точки x0 функции
f (x) > 0 при x x0 и f (x) < 0 при x x0 , то f ( x0 ) = max f ( x ) .
2. Если f (x) < 0 при x x0 и f (x) > 0 при x x0 , то f (x 0 ) = minf (x).
3. Если в некоторой окрестности критической точки функции f (x)
сохраняет знак, то в точке x0 функция f(x) экстремума не имеет.
Итак, достаточное условие экстремума в критической точке x0 функции
f(x) состоит в перемене знака производной f (x) при переходе через
критическую точку x0. Если при переходе через x0 в направлении возрастания
аргумента x производная f (x) меняет знак с плюса на минус, то в точке x0
будет максимум, если с минуса на плюс, то в точке x0 имеем минимум
функции. Если при прохождении через критическую точку производная не
меняет знака, то в критической точке экстремума нет, и эта точка
принадлежит либо промежутку убывания функции, либо промежутку
16
возрастания в зависимости от знака f (x).

17. Вопрос 3.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума на основе второй
производной). Если в некоторой окрестности критической точки x0 функция
f(x) дважды непрерывно дифференцируема, f (x) = 0, и при этом f ( x ) 0,
то имеем f (x 0 ) = maxf (x); в случае f ( x ) 0, имеем f (x 0 ) = minf (x).
17

18. Вопрос 3.

Теорема 3 (достаточное условие экстремума, на основе производных
высших порядков). Пусть в некоторой окрестности критической точки x0 f(x)
дифференцируема
раз,
-я производная функции непрерывна в этой
окрестности, и выполняются равенства
n
f (x 0 ) = f (x 0 ) =
n
= f (n–1)(x 0 ) = 0; f (n)(x 0 ) ≠ 0.
Тогда справедливо:
1) если
2) если
n − нечетное, то f (x ) не имеет экстремума в точке x0 ;
n − четное, то f (x ) имеет в точке x экстремум, причем
(n)
максимум, если f (x 0 ) < 0 , и минимум, если f
(n)
0
(x 0 ) > 0 .
18

19. Вопрос 3.

Пример. Найти экстремумы функции
f ( x) = x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1.
Решение. Найдем первую производную:
f ( x) = 4 x3 − 12 x2 + 12 x − 4 = 4( x3 − 3x2 + 3x − 1) = 4( x − 1)3 .
Поскольку f (x) определена и непрерывна на всей числовой оси, то
критические точки определяются из уравнения f ( x) = 0 или ( x − 1) = 0 .
Отсюда следует, что существует единственная критическая точка x0 = 1 . На
основе теоремы 3 исследуем характер найденной критической точки:
3
f ( x) = (4 x3 − 12 x 2 + 12 x − 4) = 12 x 2 − 24 x + 12,
f (1) = 0;
f ( x) = (12 x 2 − 24 x + 12) = 24 x − 24,
f (1) = 0;
f ( 4) = (24 x − 24) = 24.
(4 )
Производная четвертого порядка f (x ) 0 при любом действительном x.
Следовательно, в точке x = 1 рассматриваемая функция имеет минимум и
min f ( x) = f (1) = 0.
19

20. Вопрос 4.

Пусть f(x) определена и непрерывна на некотором промежутке X
(конечном или бесконечном). Если X = a, b − отрезок, то среди значений
функции на этом отрезке обязательно существуют и наименьшее (m), и
наибольшее (M) значения функции. Очевидно, что если наибольшее значение
M достигается во внутренней точке a, b , то оно будет одним из
максимумов функции; но оно может достигаться и в граничных точках
интервала.
Следовательно, для отыскания наибольшего значения функции f(x) на
отрезке a, b надо
сравнить все ее максимумы в интервале (a, b ) и значения f(a) и f(b) и из
них выбрать наибольшее. Аналогично, наименьшим значением f (x) на a, b
будет наименьшее из всех минимумов функции и значений f(a) и f (b).
20

21. Вопрос 4.

Теорема. (Если промежуток X не является отрезком). Если f(x) непрерывна
на промежутке X и имеет на этом промежутке единственный экстремум, то
соответствующее значение функции будет наибольшим или наименьшим на
X в зависимости от того, будет ли этот экстремум максимумом или
минимумом
21

22. Вопрос 5.

22

23. Вопрос 5.

23

24. Вопрос 5.

Понятие выпуклости кривой может быть введено несколькими
способами. Можно показать, что определения 1-3 эквивалентны.
Определение 1. График у = f(x), называется выпуклым вверх или просто
выпуклым на промежутке Х, если любая дуга этого графика с концами в
точках, принадлежащих данному промежутку, расположена не ниже
стягивающей ее хорды (рис.4, а). График функции называется выпуклым вниз
или вогнутым на промежутке Х, если любая его дуга с концами в точках,
принадлежащих данному промежутку, расположена не выше стягивающей
ее хорды (рис.4, б).
24

25. Вопрос 5.

Определение 2. График у = f (x), называется выпуклым вверх (выпуклым
вниз) на промежутке Х, если он целиком лежит под касательной (над
касательной), проведенной к нему в любой точке этого промежутка (рис.5).
Если график у = f (x) − выпуклый вверх на промежутке Х (рис.5, а), то
y dy, x X .Если график у = f (x) – выпуклый вниз на промежутке
Х (рис.5, б), то y dy, x X (в обоих этих случаях x + x X ). Учитывая, что
y = f ( x + x) − f ( x) , а dy = f ( x) x , определение 2 можно записать в несколько
иной форме.
25

26. Вопрос 5.

у
О
х0
х
Рис.6.
26

27. Вопрос 5.

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости графика функции). Пусть
у = f (x) дважды дифференцируема на промежутке Х. Если f (x) < 0 для
любого x X , то график функции на Х − выпуклый вверх, если же
f (x) > 0 для любого x X , то график − выпуклый вниз.
График функции у = f (x) может изменять характер выпуклости в
области определения данной функции. Общая граничная точка
промежутков выпуклости вверх и выпуклости вниз графика у = f (x)
называется точкой перегиба этой у = f (x) (или графика функции).
Геометрически это означает, что кривая лежит над касательной
с одной стороны от точки перегиба и под касательной − с другой
стороны (рис.6).
В частности, на рис.6 левее точки перегиба x0 (x x0 ) график
является выпуклым вниз (лежит выше касательной), правее точки
перегиба (x x0 ) график является выпуклым вверх (лежит ниже
27
касательной).

28. Вопрос 5.

Теорема 2. Если производная f (x) имеет в точке x0 экстремум,
то эта точка для функции f (x) будет точкой перегиба.
Замечание. Данная теорема дает достаточное, но не
необходимое условие существования точки перегиба
функции f (x). Это значит, что точка может быть точкой
перегиба функции f (x) в случае, когда она не является
экстремальной точкой для производной f (x). Поэтому,
отыскивая точки перегиба непрерывной функции f (x),
нужно исследовать те точки, в которых f (x) = ∞ или f (x)
не существует.
28

29. Вопрос 6.

В практических задачах часто представляет интерес
исследование поведения функции и формы ее графика при
неограниченном удалении его точек от начала координат. При этом
неограниченно возрастают по абсолютной величине либо обе
координаты точек графика, либо одна из них.
Может случиться, что когда точка M ( x, f ( x)) «стремится по
графику в бесконечность», график у = f (x) неограниченно
приближается к некоторой прямой (рис.7). В этом случае,
расстояние от такой прямой, называемой асимптотой, до графика
у = f (x) стремится к нулю.
Можно выделить следующие типы асимптот.
29

30. Вопрос 6.

30

31. Вопрос 6.

. Наклонные и горизонтальные (как частный случай)
асимптоты.
Определение. Прямая, заданная уравнением у = kx + b,
называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при
x → +∞ (или при x → –∞), если
lim ( f (x ) − kx − b ) = 0 или f (x ) = kx + b + (x ) ,
(5)
x →
где (x ) → 0 при x → .
31

32. Вопрос 6.

На рис.7 схематически изображены именно наклонные
асимптоты. Если k = 0 , то уравнение y = b задает горизонтальную
асимптоту.
Пусть график функции у = f (x) имеет асимптоту y = kx + b при
x → + (рис.7, а).
f ( x)
k = lim
.
x → +
x
(6)
Тогда из равенства (5) следует, что
b = lim ( f ( x) − kx).
x → +
(7)
если существуют конечные пределы (6) и (7), то из соотношения (7)
сразу получаем (5), т.е. приходим к наличию наклонной асимптоты.
32

33. Вопрос 6.

Вертикальные асимптоты.
Определение. Прямая x = a называется вертикальной
асимптотой графика у = f (x), если хотя бы одно из предельных
lim f (x ) равно + или − . Из
lim f (x ) ,
значений x →
x →a −0
a+0
определения следует, что для отыскания вертикальных асимптот
графика функции у = f (x) нужно найти точки, вблизи которых
данная функция неограниченно возрастает (в частности, точки
бесконечного разрыва). Если a − такая точка, то уравнение x = a
задает вертикальную асимптоту графика функции у = f (x).
33

34. Вопрос 7.

Для исследования функции и построения четкого эскиза ее
графика, можно рекомендовать следующий общий план
исследования.
1. Установить область определения функции. При наличии
точек разрыва найти в них односторонние пределы данной
функции; определить, имеет ли график функции вертикальные
асимптоты.
2. Найти наклонные асимптоты графика функции.
3. Отметить свойства графика функции, не связанные с
производными, например, симметрию и периодичность.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями
координат.
5. Вычислив первую производную функции, установить
промежутки ее возрастания и убывания, определить экстремумы.
6. С помощью второй производной исследовать характер
выпуклости графика функции, найти точки перегиба.
34

35. Вопрос 7.

Эскиз графика функции можно уточнить, найдя точки пересечения
кривой с осями координат. Точки пересечения графика функции у = f (x) с
осью Ox определяются из уравнения: f (x) = 0. Точки пересечения графика
функции у = f (x) с осью Oy можно найти, положив x = 0, т.е. вычислив
значения f (0).
Некоторые характерные свойства графика можно установить без
использования производных. В частности, таково свойство периодичности
функции; свойство четности ( f (–x) = f (x)) − график четной функции
симметричен относительно оси Oy , нечетности ( f (–x) = –f (x)) − график
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
35