2 ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ_6d8ffe3df0aed04cc5b0cf317729527f 2

1.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
И
ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

2.

2
Математическая логика, 9 класс
Логика, высказывания
Логика (др.греч. λογικος) – это наука о том, как правильно рассуждать,
делать выводы, доказывать утверждения.
Формальная логика отвлекается от конкретного
содержания, изучает только истинность и ложность
высказываний.
Аристотель
(384-322 до н.э.)
Логическое высказывание – это повествовательное предложение,
относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или
ложно.
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

3.

3
Математическая логика, 9 класс
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
История – интересный предмет.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

4.

4
Математическая логика, 9 класс
Логика и компьютер
⚫
двоичная логика
! Любое высказывание может быть ложно (0)
или истинно (1).
Логика изучает операции между 0 и 1!
! Связь с двоичным кодированием!
Алгебра логики — это математический аппарат, с
помощью которого записывают, упрощают и
преобразуют логические высказывания, вычисляют
их значения.
⚫
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Алгебра высказываний,
⚫ булева алгебра
http://kpolyakov.spb.ru
Джордж Буль

5.

5
Математическая логика, 9 класс
Простые и составные высказывания
A – Сейчас идет дождь.
B – Форточка открыта.
⚫
простые высказывания
(элементарные)
Составные высказывания строятся из простых с помощью логических
связок (операций) «и», «или», «не», «если … то», «тогда и только
тогда» и др.
AиB
Сейчас идет дождь и открыта форточка.
A или не B
Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
если A, то B
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
A тогда и только
тогда, когда B
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.
http://kpolyakov.spb.ru

6.

ЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ
ЗНАЧЕНИЯ
Алгебра логики определяет правила записи, вычисления
значений, упрощения и преобразования высказываний.
В алгебре логики высказывания обозначают буквами и
называют логическими переменными.
Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему
логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если
ложно - нулём (В = 0).
0 и 1 называются логическими значениями.

7.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ: ИНВЕРСИЯ
Инверсия - логическая операция, которая каждому
высказыванию ставит в соответствие новое высказывание,
значение которого противоположно исходному.
Другое название: логическое отрицание
Обозначения: НЕ, ¬ , ¯
Таблица истинности:
А
Ā
0
1
1
0

8.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ: КОНЪЮНКЦИЯ
Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие
каждым двум высказываниям новое высказывание,
являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба
исходных высказывания истинны.
Другое название: логическое умножение
Обозначения: , , &, И
Таблица истинности:
Таблица логического умножения:

9.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ: ДИЗЪЮНКЦИЯ
Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум
высказываниям ставит в соответствие новое высказывание,
являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных
высказывания ложны.
Другое название: логическое сложение
Обозначения: V, |, ИЛИ, +
Таблица истинности:
Таблица логического сложения:

10.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ: ИМПЛИКАЦИЯ
Импликация - логическая операция, ставящая в соответствие
двум высказываниям новое, являющееся ложным лишь тогда,
когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе
(следствие) - ложно.
Другое название: логическое следование
Таблица истинности:
Обозначения: →
Таблица импликации:

11.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ: ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
Эквиваленция - логическая операция, ставящая в соответствие
двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и
только тогда, когда оба исходных высказывания истинны или оба
исходных высказывания ложны.
Другое название: равнозначность
Таблица истинности:
Обозначения: ,
Таблица эквиваленции:

12.

НАЗВАНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Логическая связка
Логическая операция
Другое
название
НЕ
Логическое отрицание
Инверсия
И
Логическое умножение
Конъюнкция
ИЛИ
Логическое сложение
Дизъюнкция
ЕСЛИ - ТО
Логическое следование
Импликация
ТОГДА И ТОЛЬКО
ТОГДА
Эквиваленция
Равнозначность
Обозначение
,
¬
∧, ·, &
∨, +, |
→
,

13.

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Логическое выражение — это запись составного
высказывания, составленная
✦ из логических переменных,
✦ логических значений,
✦ знаков логических операций,
✦ скобок.
Приоритет логических операций:
1. инверсия,
2. конъюнкция,
3. дизъюнкция, строгая дизъюнкция,
4. импликация, эквиваленция
Для вычисления значения логического выражения необходимо:
1) вычислить значения выражений в скобках (при наличии скобок);
2) выполнить логические операции в соответствии с их приоритетом.

14.

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
А∨0=А
А∧0=0
— нулевой операнд не может повлиять на результат
логического сложения, который будет полностью зависеть
от значения А
— так как один из операндов равен 0, то результат
логического умножения тоже будет равен 0, независимо от
того, чему равно А
А∨1=1
— так как один из операндов равен 1, то логическая
сумма будет равна 1 при любом значении А
А∧1=А
— единичный операнд не может повлиять на результат
логического умножения, который будет полностью зависеть от
значения А.

15.

ПРИМЕР
• Пусть Х=0. Определим истинность высказывания
(X < 13) И НЕ (X < 2).
• Вначале определим истинность простых высказываний:
• 0 < 13 — истинное высказывание;
• 0 < 2 — истинное высказывание.
• Запишем логическое выражение, соответствующее исходному
высказыванию, и вычислим его значение:
• 1 ∧ ¬ 1 = 1 ∧ 0 = 0.

16.

ПРИМЕР
• Определим, при каких целых значениях Х высказывание «(X <
13) И НЕ (X < 2)» будет истинным.
• 1. Избавимся от отрицания: НЕ (X < 2)
(X 2).
• 2. Перейдём к системе неравенств:
• X < 13
•X 2
• 3. Изобразим решение системы неравенств графически:
• Решение системы неравенств - множество из следующих
одиннадцати чисел {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

17.

ПРИМЕР
• Какие из приведённых слов удовлетворяют логическому
условию «(1-я буква согласная → 2-я буква согласная) ∧
(последняя буква гласная → предпоследняя буква гласная)»:
1) ОЗОН
(0→1) ∧ (0→1)=1∧1=1
2) ИГРА
(0→1) ∧ (1→0)=1∧0=0
3) МАФИЯ
(1→0) ∧ (1→1)=0∧1=0
4) ТРЕНАЖ
(1→1) ∧ (0→1)=1∧1=1

18.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
В следующих составных высказываниях выделите простые
высказывания, обозначив каждое из них буквой; запишите с
помощью букв и знаков логических операций каждое составное
высказывание.
а) Число 376 чётное и трёхзначное.
б) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
в) Новый год мы встречаем на даче или на Красной площади.
г) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
д) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
е) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы
учителя, а также писали самостоятельную работу.

19.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
• Найдите значения выражений:
• а) (1 ∨ 1) ∨ (1 ∨ 0)
• б) (((1 ∨ 0) ∨ 1) ∨ 1)
• в) (0 ∧ 1) ∧ 1
• г) 1 ∧ (1 ∧ 1) ∧ 1
• д) ((1 ∨ 0) ∧ (1 ∧ 1)) ∧ (0 ∨ 1)
е) ((1 ∧ 1) ∨ 0) ∧ (0 ∨ 1)
ж) ((0 ∧ 0) ∨ 0) ∧ (1 ∨ 1)
з) (А ∨ 1) ∨ (В ∨ 0)
и) ((1 ∧ А) ∨ (В ∧ 0)) ∨ 1
к) 1 ∧ А ∧ 0

20.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
• Определите наименьшее целое число X, для которого
истинно высказывание:
• НЕ (X < 59) И НЕ (X — чётное).

21.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
• Определите наибольшее целое число X, для которого истинно
высказывание:
• НЕ (X >= 60) И НЕ (X — нечётное).

22.

23.

24.

25.

ОПОРНЫЙ
КОНСПЕКТ
A
B
A&B
A
B
AVB
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
А
Ā
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Инверсия
Конъюнкция
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Импликация
Эквиваленция
A
B
A→B
A
B
A B
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Дизъюнкция
Приоритет :
&
→,

26.

Домашнее
задание