Разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы (теорема Лапласа).

Алгоритм вычисления определителя методом эффективного понижения порядка.

1.07M

Category: $mathematics$ mathematics

1а Презентация матрицы

1. Лекция № 1.

Матрицы. Действия над
матрицами. Определители и
их свойства.

2. Введение в дисциплину

◼ Линейная
алгебра – раздел алгебры,
изучающий линейные и векторные
пространства. Исторически первым
разделом линейной алгебры была
теория линейных уравнений.
◼ Именно в связи с решением систем
линейных уравнений возникли понятия
матрицы и определителя.

3.

Определение . Числовой матрицей размерности
m n называется прямоугольная таблица чисел
состоящая из m строк и n столбцов:
a11
a 21
A=
a
m1
a12
a 22
am 2
a13
a 23
am 3
a1n
a2 n
a mn
Числа aij называются элементами матрицы A,
i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении
которых стоит элемент aij.

4.

Принятые обозначения матрицы:
Прописные буквы латинского алфавита A, B, C, …
Am×n ,если хотят указать размерность матрицы.
Пример .
5 −4 6,47 0
A2 5 =
2
9
80 1
3
7
Матрица может состоять из одного столбца или из
одной строки, и даже из одного элемента.

5.

Определение . Матрицы A и B
называются равными матрицами, если
они одинаковой размерности и все их
соответствующие элементы aij и bij
равны, т.е. aij=bij.
Замечание. Равными могут быть только
матрицы одинаковой размерности.

6.

Определение.
Матрица называется квадратной
матрицей, если число её строк равно числу её
столбцов, т.е. m=n.
Определение.
Главной диагональю квадратной
матрицы называется линия, вдоль которой
расположены элементы a11 , a22, a33, … , ann .
Определение.
Матрица называется нулевой
матрицей, если все её элементы равны нулю.

7.

Определение.
Квадратная матрица называется
диагональной матрицей, если на главной диагонали
расположены числа, отличные от нуля, вне главной
диагонали - нули.
Определение. Диагональная матрица, на главной
диагонали которой стоят единицы, а остальные
элементы – нули, называется единичной матрицей.
1 0
0 1
E =
0 0
0
0
,
1

8. Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц определено
только для матриц одинаковой размерности.
Определение. Суммой (разностью) матриц Am×n и
Bm×n одинаковой размерности является матрица
Cm×n той же размерности, каждый элемент которой
cij
равен сумме (разности) соответствующих
элементов этих матриц
cij = aij + bij
(cij = aij − bij ).

9.

Пример . Даны матрицы
1 3 5
A=
2
4
6
0 −2 1
B=
1
3
2
Найти C=А +B.
Решение
1 3 5 0 −2 1 1 1 6
C = A+ B =
+
=
.
2 4 6 1 3 2 3 7 8

10.

Свойства сложения
1. A+B=B+A
2. (A+B)+C=A+(B+C)
3. A+0=A, где O – нулевая матрица такой же
размерности, как и матрица A.

11. Умножение матрицы на число

◼ Это матрица, полученная умножением
соответствующих элементов на данное
число
Пример.
1 1 − 1
A=
3 2 − 5
− 3 − 3 3
− 3A =
− 9 − 6 15
Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:
1·А=А
0·А=0
(k+m)A=kA+mA
k(A+B)=kA+kB
k(mA)=(km)A

12.

Транспонирование матриц
Определение. Матрицу AT называют
транспонированной
матрицей
к
данной матрице А, если элементы
каждой строки матрицы А стали
элементами столбцами матрицы AT
под тем же номером.

13.

Умножение матриц
Определение. Произведением матрицы Am×n
на матрицу Bn×k называется матрица
Cm×k= A·B , имеющая
m строк и k
столбцов, у которой элемент cij равен сумме
произведений
элементов
i-й строки
матрицы A и j-го столбца матрицы B.
Замечание:
Произведение
матриц
существует
только
для
согласованных матриц, т.е. когда первый множитель имеет
число столбцов, равное числу строк второго множителя.

14. Пример умножения матриц

◼

15.

Определитель матрицы
A = aij = det A = det(aij ) = D .
A = a11.
a11 a12
A=
= a11a22 - a21a12
a21 a22

16.

Если порядок матрицы равен трем (n =3), то
определителем третьего порядка назовем число,
вычисленное по формуле:
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 =
a33
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a21a32 a13 - a31a22 a13 - a21a12 a33 - a32 a23 a11

17.

1 способ) Данную формулу можно запомнить приписав
к определителю первые два столбца.
Со знаком плюс берутся произведения элементов
стоящих на главной диагонали и на диагоналях,
параллельных к ней, со знаком минус – произведения
элементов на побочной диагонали и диагоналей,
параллельных к ней.
a11 a12
a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
=
a31 a32 a33 a31 a32
= a11 a 22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a31 a 22 a13 - a32 a 23 a11 - a33 a 21 a12

18.

Или, 2 способ) используем правило треугольников:
В этой схеме плюс означает, что произведения
указанных элементов берутся со своими знаками, а
минус – с противоположными.

19.

20.

21.

Пример . Для определителя |A| укажем
некоторые миноры и алгебраические дополнения:
A=
1
M11 = 0
1 - 1
2
- 2 0
1 =- 4
1
1
3
- 1 0 2
1 1 - 1
1
0 2
- 1 - 2 0
1
1
3
M12 = 1
1 - 1
2
- 1 0
1 = 2
1

22.

Свойства определителей.
1. При транспонировании матрицы ее определитель не
T
A
=
A
изменяется:
2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее
определитель меняет знак на противоположный.
3.
Определитель
с
двумя
равными
или
пропорциональными строками (или столбцами) равен
нулю.
4. Если все элементы некоторой строки (столбца)
определителя имеют общий множитель, то его можно
вынести за знак определителя.
5. Определитель с нулевой строкой (или столбцом) равен
нулю.

23.

6. Определитель не изменится, если к элементам
одной
строки
(столбца)
прибавить
соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженные на одно и то же число (не
равное нулю).
7. Определитель диагональной матрицы равен
произведению элементов на главной диагонали.
С помощью свойств 6-7 определитель можно
привести к треугольному виду и легко
вычислить. (долгий процесс)

24.

8.Определитель, все элементы i-ой строки (столбца)
которого представляют сумму двух слагаемых, равна
сумме двух определителей, все элементы которых,
кроме i-ой строки (столбца), те же, что и в исходном,
а в i-ой строке (столбце) первого определителя стоят
первые слагаемые, в i-ой строке (столбце) второго
определителя – вторые.
a11 +b11 a12 a13 a11 a12 a13 b11 a12 a13
a21 +b21 a22 a23 = a21 a22 a23 + b21 a22 a23
a31 +b31 a32 a33 a31 a32 a33 b31 a32 a33

25.

◼ Алгоритм вычисления определителя методом
приведения его к треугольному виду.

26. Разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы (теорема Лапласа).

Определение. Определителем
матрицы n-го порядка называется
число, которое сопоставляется
квадратной матрице n-го порядка,
получаемое по определенному
правилу (Теорема Лапласа).

27. Теорема Лапласа.

Определитель матрицы n-го
порядка равен сумме
произведений элементов какойлибо строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения.

28.

29.

30. 31. Алгоритм вычисления определителя методом эффективного понижения порядка.

◼ 1) Выбрать «ряд» определителя (строку или
столбец), содержащий нуль ( используя
свойства определителей можем получить
нуль ).
◼ 2) Вычислить алгебраические дополнения
элементов этого «ряда».
◼ 3) Применить теорему Лапласа для
вычисления данного определителя.

32.

Алгоритм отыскания обратной матрицы
Определение. Квадратная матрица
называется вырожденной матрицей,
если её определитель равен нулю.
Квадратная матрица А называется
невырожденной матрицей,
если | A | ≠ 0.
Определение. Матрица А-1
называется обратной матрицей к
матрице A, если А-1∙A = A∙А-1 = E.

33. Теорема об обратной матрице

Если квадратная матрица А
невырожденная, то существует
обратная матрица и находим ее по
формуле
Т
1
−1
*
А = (А )
А