iu_ai_presentation_2026-11-08_14-20-14

1.

Как доказать равенство
двух треугольников
Если треугольники равны, их можно совместить наложением:
соответствующие стороны и углы совпадут.
На практике часто достаточно сравнить только некоторые элементы —
по одному из трёх признаков равенства.

2.

Теорема связывает условие и вывод
Признак равенства — это теорема: по указанным равным
элементам заключают, что треугольники равны.
В задаче «дано» — известные равенства, «доказать» —
требуемый вывод.
Важно сопоставлять именно соответствующие вершины и
элементы.

3.

Первый признак: две стороны и угол между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.
Краткая схема: сторона — угол между сторонами — сторона.
Угол должен быть заключён между сравниваемыми сторонами.
Сторона — Угол — Сторона

4.

Второй признак: сторона и два прилежащих
угла
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим углам
другого, то треугольники равны.
Краткая схема: угол — сторона — угол.
Оба угла должны прилегать к выбранной стороне.
Угол — Сторона — Угол

5.

Третий признак: три стороны
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие
треугольники равны.
Краткая схема: сторона — сторона — сторона.
При одинаковых трёх сторонах форма треугольника определяется однозначно.
Сторона — Сторона — Сторона

6.

Три признака — три набора элементов
Во всех случаях сравниваемые элементы должны быть равны попарно и соответствовать друг другу.
Первый признак
Второй признак
Третий признак
Две стороны и угол между ними
Сторона и два прилежащих к ней
Три стороны
угла

7.

Как оформить доказательство
1
Запишите условие
Запишите, что дано, и какие треугольники нужно сравнить.
2
Найдите равные элементы
По условию, как общие элементы или по известному
свойству.
3
Определите признак
Определите, какой признак подходит.
4
Сделайте вывод
Треугольники равны по выбранному признаку.

8.

Пример: используем вертикальные углы
Дано: DO = OM, KO = OS. Докажем, что треугольники DOS и MOK равны.
DO = OM и OS = OK — по условию.
∠DOS = ∠MOK — вертикальные углы.
Следовательно, треугольники DOS и MOK равны по первому признаку:
по двум сторонам и углу между ними.
Первый признак: Сторона — Угол — Сторона

9.

Пример: общая сторона и равные углы
Дано: ∠QPR = ∠RPT, ∠QRP = ∠PRT. Докажем, что треугольники PQR и PTR равны.
PR — общая сторона.
Эта сторона прилежит к равным углам в обоих треугольниках.
Следовательно, треугольники PQR и PTR равны по второму признаку.
Второй признак: Угол — Сторона — Угол

10.

Треугольник сохраняет
форму
По третьему признаку равенства треугольник — жёсткая фигура: при
неизменных длинах его сторон форма не деформируется.
Это свойство используют в строительстве и конструкциях:
треугольные элементы помогают сохранять устойчивость.
Проверь себя: какие три элемента нужны для каждого из трёх
признаков?