Определение функции вебинар

1.

ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

2. Немного истории

Слово "функция" (от латинского functio —
совершение, выполнение) впервые употребил в
1673 г. немецкий математик Лейбниц.
В
главном математическом труде
"Геометрия" (1637) Рене Декарта впервые
введено понятие переменной
величины, создан метод координат, введены
значки для переменных величин (x, y, z, ...)
Определения функции «Функция переменного
количества есть аналитическое выражение,
cоставленное каким-либо образом из этого
количества и чисел или постоянных
количеств» сделал в 1748 г. немецкий и
российский математик Леонард Эйлер
Коломина Н.Н.

3.

Определение
Зависимость одной переменной от другой
Если каждому элементу из множества Х ставится
в соответствие единственный элемент из
множества У, то говорят, что на множестве Х
задана функция
y = f (x)

4.

Определение
Переменную x называют независимой
переменной или аргументом.
Переменную y называют зависимой
переменной.
Переменная y является функцией от
переменной x.
Значения зависимой переменной
называют значениями функции.

5.

Задание 1.
Определите, какая из данных зависимостей
является функциональной
1) x
y
2)
a
q
3) x
d
4)
n
f

6.

1. Функция , т.к. каждому значению
переменной х ставится в соответствие
единственное значение переменной у
2. Не функция, т.к. не каждому значению
переменной а ставится в соответствие
единственное значение переменной q
3. Не функция, т.к. одному из значений
переменной х ставится в соответствие не
единственное значение переменной d
4. Функция , т.к. каждому значению
переменной n ставится в соответствие
единственное значение переменной f
1) x
y
2) a
q
3) x
d
4) n
f

7. Графиком функции y=f(x) называют множество всех точек (х; у) координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям

аргумента, а ординаты
равны соответствующим
значениям функции.

8.

y = kx (k 0)

9.

k
y = , k 0.
x

10.

y=x
2

11.

Областью определения (существования)
функции называется множество всех
действительных значений аргумента (х), при
которых она может иметь действительное
значение.
Множество значений Х образуют областью
определения функции y=f(x). Обозначают D (у)
или D (f(x)).
6
Пример. Функция задана формулой у = х2 −9
Данная формула имеет смысл при всех значениях
х ≠ -3, х ≠ 3,
поэтому D( y ) х (- ∞;-3) U (-3;3) U (3; +∞)

12. Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке.

Найдите область определения функции,
график которой изображен на рисунке.
у
Проверка
5
Область определения
функции – значения, которые
принимает независимая
переменная х.
-5
0
-3
7
х

13.

Множеством значений функции называется
множество всех действительных значений
функции у, которые она может принимать.
Множество всех значений зависимой переменной у
образуют областью значения функции y=f(x).
Обозначают Е (у).
Например, множеством значений функции у= х+1
является множество R,
множеством значений функции у= Х2 +1 является
множество действительных чисел, больше или равных
1.
поэтому Е( y ) y [1; + ∞)

14. Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.

Найдите множество значений функции, график
которой изображен на рисунке.
у
Проверка
Множество значений
функции – значения,
которые принимает
зависимая переменная у.
6
-4
0
-6
6
х

15.

Способы задания функций
1. Аналитический
Функция задана формулой вида
y = f (x)
Например:
1
y=x
3
Область определения:
Область значений:
− x +
− y +

16.

2
y = 1− x
2
Область определения:
−1 x 1
Множество значений:
0 y 1
3
31 x 3 , x 0
y = x −1
x + 2 , x 0

17.

2. Табличный
Функция задана таблицей, в которой содержатся
значения аргумента х и соответствующие
значения функции f(x).
Например: таблицы логарифмов.
3. Графический
Функция задана в виде графика y=f(x).
4. Словесный

18.

Если график функции y=f(x) на некотором промежутке
есть непрерывная линия, то функцию называют
непрерывной на этом промежутке.
Можно сказать и так:
функцию называют непрерывной на промежутке, если
она определена в каждой точке этого промежутка и
малому значению аргумента соответствует малое значение
функции

19. ЗАДАЧИ

значение функции
Чтобы найти
значение
функции, надо
данное значение
аргумента
подставить в
функцию, вместо
переменной х.
значение аргумента
Чтобы найти значение
аргумента, при
данном значении
функции надо
СОСТАВИТЬ
УРАВНЕНИЕ (функцию
приравнять к данному
значению) и решить
полученное
уравнение.

20.

Определение
Значения аргумента, при которых значение функции
равно нулю, называют нулями функции.
Если f ( x) = 0, то х − нуль функции
Например ,
х = 5 − нуль функции .
y = f (x)
Где в координатной плоскости находятся точки
По графику
найдите
остальные
графика,
абсциссы
которых
являютсянули
нулями
функции?
функции

21.

Найти нули функции, заданной графически
Нуль функции – значение х, при котором y = 0.
На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох.
y = f (x)
Сколько нулей имеет данная функция?

22. На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количество нулей функции.

На рисунке изображен график функции
y = f(x).
Укажите количество нулей функции.
y
0
х

23.

Как найти нули функции, заданной
формулой?
y = х − 36
2
Пример
Так как y = 0, то решаем уравнение :
х − 36 = 0
2
х = 36
х = 6
2
Найдите нули функций:
б) y = х + 7
а ) y = х − 16

24. Свойства функции

Четность, нечетность
Функция называется четной , если
противоположным значениям аргумента
соответствуют равные значения функции.
y = f (х) четная, если
f (− х) = f (х)
.
Например, парабола у= Х2 является четной
функцией, т.к. (-Х2)= Х2 .
У(2) = 22 = 4
У (-2) = (-2)2 = 4
График четной функции симметричен относительно оси
Коломина Н.Н.
оу.

25. На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этоту график.

у
1
0
х
у
3
Проверка
Коломина
Н.Н.
0
х
2
у
4
0
х
0
График симметричен относительно оси Oу
х

26. y  f ( х)

Функция
называется
нечетной,
если
противоположным значениям аргумента,
соответствуют противоположные значения
функции.
y f ( х)
y = f (х) нечетная, если f (− х) = − f (х)
Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3.
У(2) = 23 = 8
У (-2) = (-2)3 = - 8
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Коломина Н.Н.

27.

Свойством четности или нечетности обладает не
всякая функция.
Например, функция
f ( х) = Х2+ Х3
не является ни четной, ни нечетной:
f (− 1) = (-1)2+ (-1)3 = 1 – 1 = 0;
f (1) = 12+ 13 = 1 + 1 = 2;
f (− 1) =/ f(1)
Коломина Н.Н.

28. На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот график.

На одном из следующих рисунков изображен
график нечетной функции. Укажите этот график.
у
у
О
1
х
у
О
2
Проверка
Коломина
Н.Н.
О
х
3
у
х
О
х
График симметричен относительно точки О.
4

29.

Свойства функции
Монотонность
Функцию называют
возрастающей,
если большему
значению
аргумента
соответствует
большее значение
функции
Функцию называют
убывающей, если
большему
значению
аргумента
соответствует
меньшее значение
функции

30.

y
y
y = f (x)
y = f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x1
x2
f ( x2 ) f ( x1 )
функция возрастает
x
f ( x2 )
x1
x2
f ( x2 ) f ( x1 )
функция убывает

31. На рисунке изображен график функции y = f(x) Укажите промежутки, где функция: а) возрастает б) убывает

1
[-6;7]
2
[-5;-3] U [2;6]
3
[-3;7]
у
7
3
-5
-3
0
-2
4
[-3;2]
-6
2
6
х

32.

Свойства функции
Промежутки знакопостоянства
Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой
знак и не обращается в нуль, называются промежутками
знакопостоянства.
y > 0 (график расположен выше
оси ОХ)
y<0 (график расположен ниже
OX)
y > 0 при х (- ∞; 1) U (3; +∞),
y<0 при х (1;3)
y
1
0 1
x

33. Обратная функция

Обратная функция
Если функция y = f (х) принимает каждое свое
значение только при единственном значении х, то
такую функцию называют обратимой.
Например, функция у=3х+5 является обратимой,
т.к. каждое значение у принимается при
единственном значении аргумента х. Напротив,
функция у= 3Х2 не является обратимой, поскольку,
например, значение у=3 она принимает и при х=1, и
при х=-1.
Для всякой непрерывной функции (такой, которая не
имеет точек разрыва) существует монотонная
однозначная и непрерывная обратная функция.
Коломина Н.Н.

34.

Функция x=φ(y) определенная на
множестве У с областью значений Х,
называется обратной к функции y=f(x) .
Традиционно функцию обозначают у а аргумент –
х. Поэтому обратную функцию обозначают
y = ( x) = f ( x)
−1

35.

Например:
Для функции
y=a
x
обратной будет функция
y = log a x
Графики взаимно обратных функций
симметричны относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.

36.

y
y = ax
x
y = log a x