Линейные уравнения с одной переменной

1.

МАТЕМАТИКА · 7 КЛАСС
ЛИНЕЙНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
с одной переменной

2.

08
·
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Линейное уравнение с одной переменной
Уравнение вида
ax + b = c или ax + b = 0
где a, b, c — числа, x — переменная.
Коэффициент a при переменной обычно не равен нулю (иначе уравнение перестаёт быть
линейным).
9 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3.

01
·
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Что называется корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором
уравнение обращается в верное числовое равенство.
Пример: в уравнении 2x + 4 = 10 корень x = 3, потому что 2·3 + 4 = 10.
2 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.

02
·
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Что значит — решить линейное уравнение?
Решить линейное уравнение с одной переменной — это значит
найти все корни уравнения или доказать, что их нет.
Возможны три случая:
• один корень
• бесконечно много корней
• корней нет
3 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.

03
·
КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ
Сколько корней может иметь уравнение?
4 / 14
1 корень
Бесконечно
много
Нет корней
a≠0
Пример: 2x − 4 = 0 → x = 2
a=0иb=0
Пример: 0·x = 0
a = 0, но b ≠ 0
Пример: 0·x = 5
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

6.

04
·
РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Как называются уравнения с одинаковыми корнями?
Уравнения, которые имеют одинаковые корни, называются
равносильными.
При решении мы заменяем уравнение на равносильное ему, используя свойства.
5 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.

05
·
СВОЙСТВА
При решении уравнений используют свойства:
1
Если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив
знак, то получится равносильное уравнение.
2
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не
равное нулю), то получится равносильное уравнение.
6 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.

06
·
ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ
Какие слагаемые называются подобными?
Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную
часть или не имеющие её вовсе.
Как привести подобные слагаемые?
Сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Пример: 3x + 5x = 8x
7 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

9.

07
·
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
Правила раскрытия скобок
8 / 14
Перед скобками «+»
Перед скобками «−»
Все слагаемые в скобках умножаются на
+1.
Все слагаемые в скобках умножаются на
−1.
Знаки слагаемых не меняются.
Знаки меняются на противоположные.
Пример:
+(3x − 5) = 3x − 5
Пример:
−(3x − 5) = −3x + 5
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10.

09
·
АЛГОРИТМ
Алгоритм решения линейного уравнения
1
2
3
4
10 / 14
Раскрыть скобки
если они есть
Собрать члены с неизвестными
в одной части, остальные — в другой (со сменой знака)
Привести подобные слагаемые
в обеих частях уравнения
Разделить обе части
на коэффициент при неизвестном
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

11.

10
·
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
2 − 3(x + 2) = 5 − 2x
1. Раскрываем скобки
2 − 3x − 6 = 5 − 2x
2. Переносим (со сменой знака)
−3x + 2x = 5 + 6 − 2
3. Приводим подобные
−x = 9
4. Делим на коэффициент
x = −9
11 / 14
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

12.

11
·
ПРАКТИКА
Решите уравнения (1–6)
12 / 14
1
10x + 9 = 7x
2
2 + 3x = −2x − 13
3
9 − 2(−4x + 7) = 7
4
2 − 3(2x + 2) = 5 − 4x
5
3x + 5 + (x + 5) = (1 − x) + 4
6
(4x − 6) − (9x − 4) = 18
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

13.

12
·
ПРАКТИКА
Решите уравнения (7–12)
13 / 14
7
x + 5(2x − 1) = 11(x − 2)
8
6x − 3 = 2(3x − 1,5)
9
x + 7 − x/3 = 3
10
x − x/12 = 55/12
11
(5x + 4)/2 + 3 = 9x/4
12
x/12 + x/8 + x = −29/6
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

14.

13
·
ИТОГИ
Что нужно помнить
14 / 14
Корень
значение x, при котором уравнение становится верным
Решить
найти все корни или доказать, что их нет
Алгоритм
Скобки → Перенос → Подобные → Деление
a≠0
один корень
a = 0, b ≠ 0
корней нет
a = 0, b = 0
любое число — корень
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ