Lek_8_TPS

1. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова

2.

Понятие о сигналах с ограниченным
спектром и их практическое назначение

3. Определение сигнала с ограниченным спектром

Решаемая задача: восстановление сигнала сообщения s(t) на выходе
канала связи (радиотехнической цепи) с допустимыми искажениями.
S ( ) = s (t )e − j t dt
−
Каждому мгновенному отсчету сигнала (s(ti)) соответствует значение
спектральной плотности S(ωi)·exp(jωti), откуда следует:
1) Чем больше спектральных составляющих на выходе канала связи- тем
точнее восстанавливается исходный сигнал сообщения;
1
j t
s (t ) =
S ( )e d 2) Непрерывному (аналоговому сигналу) соответствует
2 −
количество спектральных составляющих;
Ограничения в практической реализации: ограниченная полоса частот канала
связи (радиотехнической цепи).
Прикладное решение: 1) ограничение полосы частот сигнала, т.е. переход к сигналам
с ограниченным спектрам; 2) Снижение избыточности
передаваемой информации, т.е переход от аналоговых
сигналов к дискретным
Эффективная ширина спектра
бесконечное

4.

Определение сигнала с ограниченным спектром
Выбор функций с ограниченным спектром:
Гармонические функции: представляют собой идеальные сигналы для построения
ортогонального базиса пространства сигналов, но при наложении других сигналов могут
формировать сложные сигналы с бесконечным спектром.
Прямоугольный импульс: Обладает насыщенным спектром и может быть представлен как сигнал
с ограниченным спектром, но сложение спектральных плотностей нескольких импульсов разной
амплитуды (которые представляют собой отсчеты дискретного сигнала) позволяет синтезировать
сложный сигнал с ограниченным спектром.
Положительные свойства сигнала с ограниченным спектром
Бенд-лимит (ограничение полосы частот): Спектральная плотность таких сигналов быстро
убывает с ростом частоты, поэтому такие сигналы имеют максимальную частоту (ωВ), выше
которой амплитуда спектральных составляющих становится незначительной.
Периодичность: Многие сигналы с ограниченным спектром являются периодическими, что
облегчает их анализ.
Снижение шумов: Ограничение частот помогает снизить воздействие шумов на передачу сигнала

5.

Динамическое представление произвольного сигнала с помощью суммы
дельта-импульсов

6. Идеальный низкочастотный сигнал с ограниченным спектром в полосе частот от 0 до ωВ

S0 в j t
S0 в sin в t
s(t ) =
е d =
2 − в
в t
0, − в
S ( ) = S0 , − в в
0, в
(1)
1
j t
s (t ) =
S
(
)
e
d
2 R
(2)
(3)

7. Идеальный низкочастотный сигнал с ограниченным спектром в полосе частот Δω со сдвигом во времени на t0

S 0 B sin ( B (t − t0 ) )
s (t ) =
2
B (t − t0 )
(4)
(5)

8. Идеальный полосовой сигнал с ограниченным спектром в произвольной полосе частот Δω на несущей частоте ω0 (радиоимпульс)

+
s (t ) =
S0 0
cos td =
0 −
2 S0 sin t
=
cos 0t
t
S0 , − 0 − − 0 + ,
S ( ) =
0 − 0 + ,
0, вне указанных полос
(6)
(6)

9. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром. Ортонормированный базис . Теорема В.А. Котельникова

10. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром

u(t)
B t0 = k ,
k = 1, 2, 3... (7)
t
1
t0 = =
(8)
в
2 fв
t0
v(t)
t
1
1
*
(u, v) =
U(
)
V
(
)
d
=
(U,V) (9)
2 −
2
2 в
0
V( ) = U ( )exp( − j t0 ) (10)
2
S
S
j t0
0 в sin в t0
(u, v) =
e d =
.
2 − в
в t0
(11)

11. Ортонормированный базис, образованный ортогональными сигналами с ограниченным спектром

1
t <
t0 = =
t =2
в
2 fв
0
0
в t0 = k (k = 1, 2,...)
S 02 B sin ( B t0 )
(u, v) =
=0
B t0
Ортонормированный базис функций
sin ( B (t − k / B ) )
B
uk (t ) = A
, где
A=
B (t − k / B )
B sin ( B (t − k / B ) )
S k (t , B ) =
B (t − k / B )
Набор отсчетных функций сигнала, со спектром,
ограниченным сверху частотой ωВ, образует
базис Котельникова

12. Ряд Котельникова и теорема Котельникова

Если есть произвольный сигнал s(t), спектральная плотность которого ограничена в пределах частот -ωВ ≤ ω ≤ ωВ тогда
этот сигнал можно разложить в обобщенный ряд Фурье, используя отсчетные функции сигнала из базиса Котельникова
s (t ) = ck S k (t , B ), где ck = ( s (t ), S k (t , B ))
k = −
Используя формулу Рэлея о соответствие между произведением сигналов и их спектральных плотностей имеем:
B
j k
1
ck =
S ( ) exp
Sk
=
B 2 − B
B
B
Мгновенный
дискретный отсчет
сигнала s(t)
Ряд Котельникова
sin ( B (t − k / B ))
S (t ) = Sk
B (t − k / B )
−
Теорема Котельникова.
Произвольный сигнал s(t), спектр которого не содержит частот выше, чем fB, может быть полностью
восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала Sk, зафиксированные через равные
промежутки времени Δt ≤ 1/2fB.

13. Дискретизированный сигнал и применение теоремы Котельникова

D(t ) = (t − kT );
k = −
sk (t ) = s (t ) D(t ) = s (t ). (t − kT )
k = −

14. Ошибки аппроксимации, которые возникают при использовании ряда Котельникова

s (t ) = sOC (t , B ) + sОШ (t )
2
2
s (t ) = sOC (t , B ) + sОШ (t )
2
Мера ошибки аппроксимации сигнала рядом Котельникова
sОШ =
1
W
(
)
d
S
В

15. Спектр дискретного сигнала

16. Спектр дискретного сигнала

Дискретный сигнал это последовательность отсчетов
sk взятых из исходного непрерывного сигнала s(t) в
моменты времени tk=nT, где T- период дискретизации,
fd=1/T – частота дискретизации.
Спектр дискретного сигнала имеет принципиальны
особенности:
1) Периодичность повторения одинаковых структур
спектра;
2) Эффект наложения отдельных структур спектра друг
на друга (aliasing).

17. Спектр дискретного сигнала

Спектр дискретного сигнала Sk(ω) можно найти непосредственно из прямого преобразования
Фурье дискретного сигнала для момента tk=0.
Sk ( ) = sk (t )e
− j t
0
dt = e
− j t
0
k =0
k =0
− j kT
s
(
kT
)
(
t
−
kT
)
dt
=
s
(
kT
)
e
Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить исходный дискретный сигнал:
s(kT ) =
Sk(ω)
1
0.5 d
− j kT
S
(
)
e
d
k
d −0.5
d
Таким образом, спектр
дискретного сигнала
представляет собой сумму
бесконечно большого числа
«копий» спектра аналогового
сигнала, расположенных на оси
частот через одинаковые
интервалы.